长方体和正方体的面棱顶点及体积公式的妙用
五年级数学下册长方体和正方体的认识、表面积、体积单位及进率
相交于一个顶点 的三条棱的长度分别 叫做长方体的长、宽、 高。
高
长
宽
说一说长方体的特征。 有6个面，都是长方形
面 （有时相对的两个面是正方形）， 相对的面形状相同、面积相等。
棱 有12条棱，相对的棱长度相等。 棱长总和=（长+宽+高）×4
顶点 8个顶点
正方体的特征
面 6个面，都是正方形，6个面完全相同 棱 12条棱，长度相等 顶点 8个顶点
A．2
B．4
C．6
D．8
(3)把一根 2 m 长的长方体木料沿横截面锯成两段后，表面积
增加了 100 cm2。原来长方体木料的体积是( B )。
A．200 cm3
B．10000 cm3
C．1 m3
D．100 m3
(4)如果长方体与正方体的棱长总和相等，那么正方体的体积
( A )长方体的体积。
A．大于
2．选择。
(1)在 3.15m3、 31500cm3、 3150dm3、 3150000cm3 这一组数
据中，数据( B )与其他数据不相等。
A．3.15m3
B．31500cm3
C．3150dm3
D．3150000cm3
(2)正方体的棱长扩大到原来的 2 倍，它的体积就扩大到原来的
( D )倍。
状元成才路
状元成才路
高级单位向低级单位化要（×状）元成才路 进率 状元成才路 状元成才路 状元成才路
状元成才路
cm3
m3
是由（低）级单位向（高）级单位化
低级单位向高级单位化要（÷）进率
3m3=（ 3000）dm3 4.5dm3=（ 4500）cm3 700dm3=（ 0.7）m3 95cm3=（ 0.095）dm3 2300cm3=（ 2.3 ）dm3
长方体与正方体知识点总结
长方体与正方体知识点总结一、长方体和正方体的认识1、长方体定义：长方体是由六个长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
特征：长方体有 6 个面，相对的两个面完全相同。
长方体有 12 条棱，相对的棱长度相等。
长方体有 8 个顶点。
长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）× 42、正方体定义：正方体是用六个完全相同的正方形围成的立体图形。
特征：正方体有 6 个面，6 个面完全相同。
正方体有 12 条棱，12 条棱长度都相等。
正方体有 8 个顶点。
正方体的棱长总和＝棱长×12二、表面积1、长方体的表面积定义：长方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。
计算公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）× 22、正方体的表面积定义：正方体 6 个面的总面积叫做它的表面积。
计算公式：正方体的表面积＝棱长×棱长× 6三、体积1、长方体的体积定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
计算公式：长方体的体积＝长×宽×高用字母表示：V ＝ abh （其中 a 表示长，b 表示宽，h 表示高）2、正方体的体积计算公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长用字母表示：V ＝ a³（其中 a 表示棱长）四、容积1、定义：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
2、单位：计量容积，一般就用体积单位。
计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成 L 和 mL。
3、换算：1 升＝ 1 立方分米，1 毫升＝ 1 立方厘米，1 升＝ 1000 毫升五、体积和容积的区别1、意义不同：体积是指物体所占空间的大小；容积是指容器所能容纳物体的体积。
2、测量方法不同：体积是从物体的外部测量长、宽、高；容积是从物体的内部测量长、宽、高。
3、单位名称不完全相同：体积单位一般用立方米、立方分米、立方厘米；容积单位一般用升、毫升。
小学数学重点之长方体与正方体的体积计算与应用
小学数学重点之长方体与正方体的体积计算与应用长方体与正方体是小学数学中的基本几何体，通过学习它们的体积计算与应用，可以帮助学生更好地理解空间的概念，并培养他们的抽象思维和问题解决能力。
本文将介绍长方体和正方体的基本性质，探讨它们的体积计算方法，并介绍几个实际应用的案例。
一、长方体的体积计算与应用长方体是一种有六个面的立体，它的六个面都是矩形。
在计算长方体的体积时，我们需要知道它的长度、宽度和高度。
体积的计算公式为体积=长度×宽度×高度。
长方体的体积计算常常应用于日常生活中的实际问题，例如计算房间、柜子、书架等物体的容积。
通过了解长方体的体积计算方法，我们可以更好地解决这些问题。
二、正方体的体积计算与应用正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。
与长方体类似，正方体的体积计算也需要知道它的边长。
体积的计算公式为体积=边长×边长×边长，也可以写为体积=边长的立方。
正方体在建筑、工程和制造等方面有着广泛的应用。
例如，计算水箱、容器或建筑体量等都需要用到正方体的体积计算。
通过掌握正方体的体积计算方法，我们可以更好地解决这些实际问题。
三、长方体与正方体体积计算的比较长方体与正方体都是由长、宽、高确定的，但是它们的计算方法稍有不同。
长方体的体积计算需要将长度、宽度和高度相乘，而正方体的体积计算只需边长的立方。
对于同样的体积，长方体与正方体的形状不同。
长方体可以是高瘦的，也可以是矮胖的，而正方体的六个面都是相等的正方形。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的形状。
四、长方体与正方体体积计算的应用案例1.柜子容量计算小明想购买一个柜子来放置他的书籍。
他测量了柜子的尺寸，长为1.2米，宽为0.8米，高为1.5米。
现在，他想计算柜子的容量，以确定能否放下他的所有书籍。
根据长方体的体积计算公式，柜子的体积=1.2×0.8×1.5=1.44立方米。
长方体与正方体的表面积与体积
长方体与正方体的表面积与体积长方体和正方体是几何体中常见的两个形状。
它们在日常生活中广泛应用于建筑、设计等领域。
本文将探讨长方体和正方体的表面积和体积计算公式，并解释其应用。
一、长方体的表面积与体积长方体是一个具有六个矩形面的立体形状。
其中，有三个对面的边长相等，被称为底面；而另外的三个对面也有相等的边长，被称为侧面。
为了计算长方体的表面积和体积，我们需要知道长方体的边长。
1. 表面积计算公式：长方体的表面积等于底面积与侧面积的和。
底面积等于长乘以宽，而侧面积等于底面的周长乘以高。
表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)2. 体积计算公式：长方体的体积等于底面积乘以高。
体积 = 长×宽×高二、正方体的表面积与体积正方体是是一个六个相等正方形面构成的立体形状。
相比于长方体，正方体的特点在于所有的边长都相等。
1. 表面积计算公式：正方体的表面积等于其中一个正方形面的面积乘以6。
表面积 = 6×边长×边长 = 6a²2. 体积计算公式：正方体的体积等于正方形底面积乘以高。
体积 = 底面积×高 = a²×高其中，a代表正方体的边长，高代表正方体的高度。
三、应用举例1. 长方体：假设某个长方体的长为4cm，宽为3cm，高为5cm。
我们可以使用上述的公式计算该长方体的表面积和体积。
表面积 = 2(4×3 + 4×5 + 3×5) = 2(12 + 20 + 15) = 2×47 = 94cm²体积 = 4×3×5 = 60cm³2. 正方体：假设某个正方体的边长为6cm，高度为6cm。
我们可以使用上述的公式计算该正方体的表面积和体积。
表面积 = 6×6×6 = 216cm²体积 = 6×6×6 = 216cm³以上是长方体和正方体表面积与体积的计算公式和应用举例。
长方体正方体所有公式
长方体正方体所有公式长方体和正方体是我们学习过的基本几何体形，它们在日常生活和各个领域都有着广泛的应用，如建筑、制造、工程等。
为了更好地理解和运用长方体和正方体，我们需要掌握它们的一些基本公式，本文将介绍长方体和正方体的基本公式和应用。
一、长方体公式长方体是由长方体的面围成的几何体形。
它有3个不同的面，每个面都是由2个长方形组成的。
长方体的6个面分别是底面、顶面、前面、后面、左面和右面。
下面是长方体的一些重要公式：1. 面积公式长方体的表面积等于2倍长与宽的和再加上2倍长与高的和再加上2倍高与宽的和。
根据这个公式，我们可以得到长方体的表面积公式：S = 2(LW + LH + WH)其中S为长方体的表面积，L为长方体的长度，W为宽度，H为高度。
2. 体积公式长方体的体积可以通过将长、宽和高相乘得出，即：V = LWH其中V为长方体的体积。
3. 对角线长公式长方体的对角线(斜面对角线)长可以使用勾股定理来计算。
假设对角线长为d，则：d² = L² + W² + H²二、正方体公式正方体是长方体的特殊情况，长、宽和高相等。
正方体是最简单的立方体，它有6个正方形面。
下面是正方体一些重要的公式：1. 面积公式正方体的表面积等于6倍其边长的平方。
因此，正方体的表面积公式为：S = 6a²其中S为正方体的表面积，a为其边长。
2. 体积公式正方体的体积等于其边长的立方。
因此，正方体的体积公式为：V = a³其中V为正方体的体积。
3. 对角线长公式正方体的对角线长同样可以使用勾股定理来计算。
对角线长为d，则：d² = 3a²正方体是一种广泛应用于各个领域的几何形体，学习其公式非常重要。
在计算正方体或长方体的体积或表面积时，我们需要牢记上述公式，以便更好地理解并在实际应用中运用。
另外，这些公式也为我们解决一些实际问题提供了有力的工具。
初中数学知识归纳长方体与正方体
初中数学知识归纳长方体与正方体初中数学知识归纳：长方体与正方体长方体与正方体是初中数学中的重要概念，对于立体几何的学习至关重要。
下面将对长方体与正方体的定义、特性以及相关公式进行归纳总结。
一、长方体的定义及性质：长方体是一个有六个矩形面的立体图形，其中所有的矩形都是相似的。
它有六个面、八个顶点和十二条边。
长方体的相邻面是相互平行的，并且每一对相邻面的面积相等。
长方体的性质如下：1. 体积：长方体的体积可以通过公式 V = lwh 来计算，其中 l、w、h 分别表示长方体的长度、宽度和高度。
2. 表面积：长方体的表面积可以通过公式 S = 2lw + 2lh + 2wh 来计算。
3. 对角线：长方体的对角线可以通过公式d = √(l² + w² + h²) 来计算。
4. 对称性：长方体具有多个对称轴，其中最重要的是中心对称轴，它将长方体分成两个完全相同的部分。
二、正方体的定义及性质：正方体是一种特殊的长方体，它的六个面是正方形。
正方体的特点是六个面相等且相互平行，八个顶点以及十二条边都是相等的，所有的面角都是直角。
正方体的性质如下：1. 体积：正方体的体积可以通过公式 V = s³来计算，其中 s 表示正方体的边长。
2. 表面积：正方体的表面积可以通过公式 S = 6s²来计算。
3. 对角线：正方体的对角线可以通过公式d = √(3s²) 来计算。
4. 对称性：正方体具有多个对称轴，其中最重要的是中心对称轴，它将正方体分成两个完全相同的部分。
三、长方体与正方体的关系：正方体可以看做是长方体的一种特殊情况，长方体的任意一个面都是长方形，而正方体的任意一个面都是正方形。
因此，正方体是长方体的一种特殊形式。
从体积和表面积的公式可以看出，当长方体的长、宽、高相等时，即为正方体。
因此，正方体的体积和表面积公式都可以简化为一个变量 s 的函数。
结论：通过对初中数学知识中的长方体与正方体进行归纳及总结，我们可以清晰地了解它们的定义、性质以及相关公式。
正方体与长方体知识点总结
正方体与长方体知识点总结一、正方体1、正方体有8个顶点、12条棱、6个面。
2、公式: 棱长总和＝棱长×12棱长＝棱长总和÷12正方体表面积＝棱长×棱长×6正方体体积＝棱长×棱长×棱长(V=a·a·a=a³)二、长方体1、长方体有8个顶点、12条棱、6个面。
2、公式: 棱长总和=(长+宽+高)×4长=棱长总和÷4-宽-高宽=棱长总和÷4-长-高高=棱长总和÷4-长-宽长方体表面积＝(长×宽+长×高+宽×高)×2前面/后面：长×高左边/右面：宽×高上面/下面：长×宽长方体体积＝长×宽×高=底面积×高=横截面面积×长长=体积÷宽÷高宽=体积÷长÷高高=体积÷长÷宽三、常用知识点总结1、正方体的棱长扩大n倍，棱长总和也扩大(n)倍，表面积扩大(n×n)倍，体积扩大(n×n×n)倍。
2、面积与体积无法比较，因为它们的意义不同。
3、占地面积=底面积=长×宽长方体体积公式可改写为:长方体体积＝底面积×高高=体积÷底面积4、将一个物体投入水中，物体的体积=水面上升部分的体积。
5、将一个正方体模型熔化变成长方体模型，解题关键在于变化前后的体积不变。
6、单位换算口诀:大变小～乘进率～小数点向右移动小变大～除以进率～小数点向左移动。
7、几个同样大小的小正方体，搭成一个长方体，如何摆放长方体的表面积最大？（一条龙一样的摆放）如何摆放表面积最小？(形状越接近于正方体，表面积越小)。
四、关于涂色的正方体的一些规律正方体棱等分的份数三面涂色的个数（在顶点处）两面涂色的个数（在棱中间）一面涂色的个数（在面中间）没有涂色的正方体个数2 8个0 0 03 8个4 8个n 8个12x（3-2）=1212x（4-2）=2412x（n-2）6 x（3-2）²6 x（4-2）²6 x（n-2）²（3-2）³（4-2）³（n-2）³。
长方体和正方体知识点总结
第二单元长方体和正方体总结一、长方体和正方体的特征：形体相同点不同点关系面棱顶点面的形状面的大小棱长长方体6128一般六个面都是长方形（也有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等平行的四条棱长度相等正方体是特殊的长方体正方体6128六个面都是正方形六个面的面积相等十二条棱长都相等长方体：①有6个面，相对的面完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到3个面。
②有12条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；12条棱可以分为3组（分别为长、宽、高），每组的4条棱一样长；长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4③有8个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。
正方体：①有6个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3个面。
②有12条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长=棱长×12。
③有8个顶点。
练一练：1.一个长方体长、宽、高分别是10cm、7 cm、4 cm ，这个长方体的棱长和是多少厘米？（提示：根据长方体的总棱长公式计算）2.一个长方体的棱长和是160dm，其中，长是20dm，宽是8dm，它的高是多少？从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？3.将一根铁丝长720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？二、长方体和正方体的表面积定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
1.法一：(1)长方体的表面积（有六个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2（因为长方体相对的面完全相同）法二：前、后面：长×高×2左、右面：长×高×2上、下面：长×宽×2则长方体的表面积（有六个面）= 前后 + 左右 + 上下2.正方体的表面积（有六个面）=棱长×棱长×6（因为正方体的六个面完全相同）在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。
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巧用长方体和正方体的面、棱、顶点及体积、表面积公式
在九年制义务教育六年制小学教科书，苏教版小学数学第十册第34页，有这样一道思考题：
把一个六面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相等的小正方体木块（如图）。
其中：
（1）三面涂色的小正方体有多少块？
（2）两面涂色的小正方体有多少块？
（3）一面涂色的小正方体有多少块？
我们不妨再加一个问题（4）六面都不涂色的小正方体有多少块？
这个问题看起来好象很棘手，如果我们换个角度来考虑的话，问题便会迎刃而解。
我们不妨从正方体的顶点、棱、面和体积公式的角度去解决这几个看似棘手的问题。
首先我们来看第一个小问题：三面涂色的小正方体有多少个？这个问题假如我们从正方体的顶点来看就很简单，三面都涂色的小正方体只出现在未分割的大正方体的顶点上，而正方体又只有8个顶点，所以在分割成的64个小正方体中就会有8个三面涂色的小正方体（如下图）。
在这里图（1）是涂色的大正方体，图（2）是从（1）上取下的处在顶点位置的一个小正方体。
图（3）是成品演示（由于只研究顶点所以其他的面没有涂色以示区别，在解决下面的问题时，我们只给要研究的小正方体的面涂色以示区别，下同。
）。
其次我们来看第二个问题：两面涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的棱来考虑，如下图，我们从图中可以看出只有处在每条棱上的（顶点除外）2个小正方体是两面都涂色的。
所以两面涂色的小正方体有（4－2）×12＝24个。
（这里的4是表示把棱长分成的份数，根据题义和图一可得知，由于是把大正方体分成64块大小相等的小正方体，所以大正方体的棱是被平均分成了4份；减去2，是把顶点上的三面涂色的去掉；12是棱的条数。
）我们也可以用一个公式来表达两面涂色的小正方体的块数：（a－2）×12＝两面涂色的小正方体的块数（a是根据不同的分割情况得到的大正方体的棱长被平均分成的
份数，下同。
）。
再次我们来看第三个问题：一面涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的面来考虑，如下图，我们可以从图中看到只有处在每个面中央的小正方体是一面涂色的（中央：把处在顶点和棱上的小正方体都去掉所剩下的小正方体）。
由图我们可知一面涂色的小正方体在大正方体的每一个面上有4块，也就是（4－2）2×6＝24个，这个我们同样可以用一个公式来表达：（a－2）2×6＝一面涂色的小正方体块数。
最后我们来看第四个问题：六面都不涂色的小正方体有多少块？这个问题我们可以从正方体的体积公式下手来求，如下图所示，分割后所剩余的图（6）就是六面都不涂色的小正方体。
图（1）到图（6）是一层层的分割过程的演示。
由图我们可以知道：（4－2）×（4－2）×（4－2）＝（4－2）3＝8就是六面都没有涂色的小正方体的块数。
我们也可以用一个公式来表达：（a－2）3＝六面都不涂色的小正方体的块数。
这样一道看似棘手的问题就迎刃而解了，由此我们也可以用这样的一个总结来作为求类似问题的公式，在这里我们可以把正方体的棱用a来表示，那么就会有这样的计算公式：
（1）三面涂色的小正方体的块数就是顶点的个数（只要分割前后都是规则六面体）；
（2）两面涂色的小正方体的块数＝(a－2)×12；
（3）一面涂色的小正方体的块数＝（a－2）2×6；
（4）六面都不涂色的小正方体的块数＝（a－2）3
（在实际计算时，假设把正方体分成大小相等的8块，a就是2；假设把正方体分成大小相等的27块，a
就是3；假设把正方体分成大小相等的64块，a就是4；假设把正方体分成大小相等的125块，a就是5；假设把正方体分成大小相等的216块，a就是6，依次类推。
）
同样我们也可以找到适用于长方体的平均分割和不平均分割，分割的要求和正方体的相同。
（分割后的小的立体图形一定要是规则的，都要是具有8个顶点，6个面，12条棱规则六面体，正方体的不平均分割也要用以下的方法来计算）。
计算方法和公式如下(在长方体中长方体的棱要用长、宽、高来命名分组，并分别用a、b、h来表示，即表示每条棱被分割成的份数。
):
（1）三面涂色的小正方体的块数就是顶点的个数（只要分割前后都是六面体）；
（2）两面涂色的小正方体的块数＝[（a－2）﹢（b－2）﹢（h－2）]×4
（3）一面涂色的小正方体的块数
＝{[（a－2）×（b－2）]﹢[（a－2）×（h－2）]﹢[（b－2）×（h－2）]}×2
(4)三面都不涂色的小正方体块数＝（a－2）×（b－2）×（h－2）
（注意：在正方体中平均分割是指把大的正方体分割成完全相等的小的正方体，不平均分割是把大正方体分割成小长方体或小正方体和小长方体的组合图形；在长方体中是指把大长方体分割成大小完全相等的小正方体或小长方体。
不平均分割是指把大长方体分割成小的长方体大小可以不等或是小正方体和小长方体的组合图形。
但是在长方体和正方体的分割时每一条棱都要有分割，相对的棱一定要分割相同。
在这里无论分割成的是小长方体还是小正方体我们都暂称之为小正方体。
）。