新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(三)

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高中数学《第二章 平面向量》周练3 新人教A 版必修4

(时间：80分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知|a |＝12，|b |＝4，且a 与b 的夹角为π

3，则a ²b 的

值是( )．

A ．1 B.±1 C ．2 D.±2 解析 a ²b ＝|a |²|b |²cos π3＝12³4³1

2＝1.

答案 A

2．已知|a |＝|b |＝2，a ²b ＝2，则|a －b |＝( )． A ．1 B. 3 C ．2 D.3或2 解析 |a －b |＝|a －b |2＝

a －b

2

＝a 2－2a ²b ＋b 2＝22－2³2＋22＝4＝2. 答案 C

3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )． A.π

6 B.π4 C.π3

D.π2

解析 a ²b ＝3＋2＝5，|a |＝10，|b |＝5，设夹角为

2

θ，

则cos θ＝a ²b |a ||b |＝55³10＝2

2

.又θ∈[0，π]，∴

θ＝π

4.

答案 B

4．(2012²泉州测试)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →

＝(2,3)，则k 的值是

( )．

A ．5 B.－5 C.32

D.－32

解析 ∵∠C ＝90°，∴CB →²AC →＝0，∴(AB →－AC →)²AC →

＝0，即(k －2，－2)²(2,3)＝0，解得k ＝5.故选A. 答案 A

3

6．已知|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，如果(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为

( )．

A.3223

B.2342

C.2942

D.4223

解析 (3a ＋5b )²(m a －b )＝0，即3m a 2＋(5m －3)a ²b －5b 2＝0⇒3m ²32＋(5m －3)²3³2cos 60°－5³22＝0，解之得m ＝29

42.

答案 C

7．(2012²烟台高一检测)若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为

4

( )．

A.

655

B.65

C.135

D.13

解析 设a 与b 的夹角为θ，

则cos θ＝a ²b |a ||b |＝－4³2＋3³74＋9³16＋49＝5

5

，

∴a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13³55＝65

5.

答案 A

8．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )． A ．40 N B.10 2 N C ．20 2 N

D.10 3 N

解析 由题意，知|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，当其夹角为120°时，利用平行四边形法则可构造一个菱形，其合力大小等于10 2 N. 答案 B

二、填空题(每小题5分，共20分)

5

9．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝________.

解析 ∵m ⊥b ，∴m ²b ＝0. 即2x －y ＝0. 又|m |2＝x 2＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝5

5，y ＝255

或⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－5

5，y ＝－25

5.

∴|x ＋2y |＝ 5. 答案

5

10．一个重20 N 的物体从倾斜角30°，斜面长1 m 的光滑斜

面顶端下滑到底端，则重力做的功是________． 解析 由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小 |F |＝1

2³20 N＝10 N ，

∴W ＝|F |²|s |＝10 J. 或由斜面高为1

2

m ，

W ＝|G |²h ＝20³1

2

J ＝10 J.

6

答案 10 J

11．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，1

2)，直线l 过点A (3，－

1)且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．

解析 a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝

⎛⎭⎪⎫

－4，12＝(－2,3)．

设P (x ，y )为所求直线上任意一点，则 AP →

＝(x －3，y ＋1)． ∵AP →

²(a ＋2b )＝0， ∴－2(x －3)＋3(y ＋1)＝0， 整理得2x －3y －9＝0.

∴2x －3y －9＝0即为所求直线方程． 答案 2x －3y －9＝0

12．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →

的值为________． 解析 DE →²CB →＝(DA →＋AE →)²CB →

＝DA →²CB →＋AE →²CB → ＝|CB →

|2＝1.

7

答案 1

三、解答题(每小题10分，共40分)

13．设平面上向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α≤2π)，b ＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－12，32，a 与b 不共线． (1)证明向量a ＋b 与a －b 垂直；

(2)当两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求角α.

(1)证明 a ＋b ＝⎝

⎛⎭

⎪⎪

⎫

－12＋cos α，32＋sin α

，a －b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫12＋cos α，sin α－32， (a ＋b )²(a －b )＝cos 2

α－14＋sin 2

α－34

＝0，

∴(a ＋b )⊥(a －b )．

(2)解 由题意：(3a ＋b )2＝(a －3b )2得：a ²b ＝0， ∴－12cos α＋3

2

sin α＝0，

得tan α＝33，又0≤α<2π得α＝π6或7π6

.

14．已知点A (1,2)和B (4，－1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ACB ＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C 点的坐标．