二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方.

第八章二次型二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用•本章主要介绍二次型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题§ 8.1二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出：2 2ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去xy项，通常的坐标变换公式为：x x cos y sin(1.2)y x sin y cos从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只考虑二次齐次多项式.定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式：2f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n2a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3)1 2 2 2L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即2 2 2f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n称为标准形式的二次型，简称为标准形.说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便例8.1.2下列多项式都是二次型：2 2f (x, y) x 3xy 3yf (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2F列多项式都不是二次型f (x, y) x 2 3xy 3y 2 2x 1 f(x,y,z) 2x 3 2xy 4yz 3z 2 1定义8.1.3设X 1,X 2,L ,X n ；y i , y 2丄,y n 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式a ：1 X 2X 1a ：2X 2 L a ：n 卷XiLa n1X n X 1a n 2X n X 2La nn X na 11 a 12 L a 1nX 1a 21a 22La 2nX 2 记A,xLLL L M a n1a n2La nnX n则二次型可记为f T X Ax ,其中A 是对称矩阵•称(1.5)式为二次型的矩阵形式C 11 y 1C|2y 2LX 2C 21 y 1022 y2 L C 2n%(1.4)L L LX nC n2y 2 LC nn y n称为由 X 1,X 2,L ,X n 到 y 1, y 2, L ,y n 的一个 线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式q0,那么线性替换(1.4)就称为非退化的在研究二次型时，矩阵是- 「个有力工具 ,因此我们先把二次型用矩阵来表示 .令 a ija ji,则有 2a ij x i x ja j xxa ji X jX i , 于是(1.3)式可以改写为812^X 2 La 1n X 1X nf(x 1,X 2,L ,X n ) anxjX 1 (anX 1 LX 2(821X 1 822X 2 L L X n^nMa n2X 2 L(为,X 2,L ,X n ) (X i ,X 2,L ,X n )a^X ] a 〔2X L a 1n X n a 2[X 〔a 22X 2 La 2n片1La n1X 1an 2X2 L a nn^n a 11a12L a1n X 1 a 21 a 22L a2n X 2LLL LM a n1a n2La nnX n(1.5)a 1n^n )a 2n X n )a nn ^n )例8.1.4 二次型f (x, y,z) 2x2 2xy 3xz y2 4yz , 3z2的矩阵形式为21 x f(x ，y ，z) (x ，y ，z)1 12 y32z说明：任给一个二次型就唯一地确疋一个对称矩阵.反之，任给一个对称矩阵可唯一地确疋一个二次型.因此，二次型与对称矩阵之间有着 ---- 对应的关系 .把对称矩阵 A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为对称矩阵 A 的二次型.称对称矩阵 A 的秩为二次型的秩.例8.1.5给定对称矩阵12 13 2 2 31 A13 3 03104 则其对应的二次型为：样，对称矩阵B 同样定义了一个二次型.于是，线性替换将二次型化为二次型 定义8.1.6设A,B 是数域P 上的n 阶方阵，如果有数域P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得C T AC B则称矩阵A 与B 合同，记作A ; B .合同是矩阵之间的一个关系 •易知，合同关系具有： (1) 反身性：即A 与A 合同，因为A E T AE ；⑵ 对称性：即若A 与B 合同，则B 与A 合同，因为由B C T AC ，即得A (C 1)T BC 1; ⑶传递性：即若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同，由B C 1T AC 1和C C 2 BC 2，即得 C C 2 BC 2 (C 1C 2) A(GC 2).说明：经过非退化的线性替换 ，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.这样，我们就对于二次型f x T Ax ,作线性替换x Cy ，其中c 11C|2L Gn*Cp 21 C 22LOn,yy 2LLL LMC n1C n2LC nny nf x T A x (Cy)T A(Cy)y T c T ACyy T (C T AC)yB C T AC ,则有 B T (C T AC )T C TA T (C T )TC TAC则 B ,即B 是对称矩阵.这令f (X 1,X 2, X 3, X 4) x !24x-|X 26x-|X 4 2x 226x 2x 32 22x 2x 4 3x 3 4x 4把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以后的讨论提供了有力的工具•另外，在二次型变换时我们总是要求所作的线性替换是非退化的 , 因为这样我们可以把所得的二次型还原 . 定理 8.1.7 若 A 与 B 合同,则 rankA rankB .证明：因为A 与B 合同，所以存在n 阶可逆矩阵C ,使得C T AC B由于可逆矩阵乘以矩阵两边不改变矩阵的秩，故rankA rankB .说明：这个定理给我们化二次型为标准形提供了保证•这样，若B 是对角矩阵，则非退化的线性替换x Cy 就把二次型化为了标准形 .因此，把二次型化为标准形的问题其实质是 ：对于对称矩阵 A ，寻找可逆矩阵C ，使得C T AC B 为对角矩阵.§8.2 化二次型为标准形现在来讨论用非退化的线性替换化简二次型的问题 . 1 配方法定理 8.2.1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为标准形 ，即只含有平方项 .证明 ： 对变量的个数 n 作数学归纳法 .2对于 n 1，二次型就是 f (x 1) a 11x 12 ， 显然已经是平方项了 . 现假定对 n 1元的二次型 ，定nn 理的结论成立 .再设f (x 1，x 2，L ，x n) a ij x i x j(a ij a ji)i1 j 1分三种情形来讨论 ：⑴a H (i 1,2，L ，n)中至少有一个不为零，例如0，这时nn这里b ij x i x ji2j2是一个关于X 2, X 3，L ，X n 的二次型.令nf(x 1，x 2，L ，x n ) a 11x 12nna 1j x 1x j j2a i1x i x 1a ij x i x ji2j22a 11x 1n2 a 1j x 1x jj2 nna ij x i x j2j2a 11 ( x 1n12 a 11 a 1 j x j )j2a 11 (a 1j x j )j2a ij x i x jj2a 11 ( x 112 a 11 a 1 j x j )j2nnb ij x i x ji2j2n12 a 11 (a 1j x j )j2nna ij x i x ji2j2ny 11 x 1 a 11 a 1j x jj2y 2 x 2LL L y n x nn 1 x 1 y 1a 111a 1 j y jj2x 2 y 2 LLL x n y n这是一个非退化线性替换 ,它使nn 2f(x 1,x 2,L ,x n ) a 11y 1b ij y i y ji2j2nn由归纳法假定 ,对b ij y i y j 有非退化的线性替换i2j2z 2 c 22 y 2 c 23 y 3 L z 3 c 32 y 2 c 33 y 3 LLLLz n c n2 y 2 c n3y 3 L c nn y nz 1y 1z 2 c 22 y 2c 23 y 3Lc 2n y nLL Lznc n2 y 2 c n3y 3 Lc nn y n就使f (x 1,x 2,L ,x n) 变成f (x 1,x 2,L ,x n ) a 11z 12 d 2z 22 d 3z 32 L d n z n 2 即变成平方和了 .根据归纳法原理 ,定理得证 .⑵ 所有a ii (i 1,2,L , n)都等于零，但是至少有一个 的 0( j2,3丄，n),不失普遍性，设c 2n y n c 3n y n能使它变成平方和于是非退化线性替换d 2z 22 d 3z 32 L d n z n 2a 12 0.令x 1 z 1 z 2 x 2 z 1 z 2 x 3 z 3 LLL x n z n它是非退化线性变换 ,且使f (X i ,X 2,L ,X n ) 2a i2X i X 2 L2a i2(Z i Z 2)(Z i Z 2) L 22 2a i2Z i 2a i2Z 2 L2这时，上式右端是Z i ,Z 2丄，Z n 的二次型，且乙的系数不为零,属于第一种情况，定理成立.⑶ an a i2 L am0,由对称性知 a ?ia 3i L a ni 0nn这时f(X i ,X 2,L ,x n )a j X j X j 是n 1元的二次型,根据归纳法假定,它能用非退化线i2j2性替换变成平方和 . 证毕 . 例 8.2.2 用配方法化二次型为标准形 ,并写出所用的非退化线性替换 解: 由定理的证明过程 ,令y i X i X 2 X 3y 2 X 2 , 即 y 3 X 3得: f(X i ,X 2,X 3) y i 2 y 22 4y 2y 3 4y 32 上式右端除第一项外已不再含y i , 继续配方 ,令y 3 Z 3得: f(X i ,X 2,X 3)Z i 2 Z 22所有的非退化线性替换为f(X i ,X 2,X 3)2X i2X 22 5X 322X i X 2 2X i X 3 6X 2X 3X i y i y 2 y 3X 2 y 2 X 3 y 3y i Z iy 2 Z 2 2Z 3 Z i y iZ 2y 2 2y 3 ,即Z 3 y 3X 1 Z 1 z 2 z 3为标准形，并写出所用的非退化性替换 解：由定理的证明过程，令X i y iy 2X 2 y i y 2X 3 y 3X 4 y 4代入原二次型得：2f (X i ，X 2，X 3, X 4) 2y i2y 222y 』3 2y 』4 2丫3丫42这时y i 项不为零，于是f(X i ,X 2,X 3,X 4) (2y i 2 2yy 2y 』4)2暇 2y 3『4 2[(y i i 2y3i 2卯i 24y3i 2屛丫4] 2y 22 2 y 3『42(y i i i y3i 2尹4)2y 22i 2i 2 i y42(y ii 2y3i、2y 4)2y 22如3y 4)2令Z i y i 1iy 3y 4 2 2Z 2 y 2Z 3 y 3 y 4Z 4 y 4于是，f (X i ，X 2，X 3,X 4)2z i 22Z「2 Z32其中Z 4的系数为零，故没有写出•为求非退化线性替换，我们可将第二个替换代入第一个替换中，得例8.2.3用配方法化二次型f (X i ,X 2,X 3,X 4)X Z 2 2 Z 3X 3 Z 32X 1X 2 X 1X 3 X 1X 4 X 2X 3 X 2X 4 2X 3X 4的乘积，即C RP 2L P m ERP 2L P m(2.2)X i Z i Z 2 2Z3 1ZX 2 Z i Z 2 Z 3 Z 42X 3 Z3 Z 4X 4 Z 4说明：在用配方法化二次型为标准形时，必须保证线性替换是非退化的 •有时,我们在配方过程中会遇到看似简单的方法，但得到的结果未必正确•如2 2 22X 1 2X 2 2X 3 2X 1X 2 2X 1X 3 2X 2X 3X i X 3)2 若令然而，2初等变换法矩阵的方法做到，由§ 8.1我们知道，矩阵合同可以将矩阵化为对角阵 .于是，定理8.2.1可以用矩阵的语言描述出来定理8.2.4数域P 上任意一个对称矩阵A 都合同于一对角矩阵 D .即存在可逆矩阵C ,使d id n现在我们就根据定理 8.2.4,讨论用矩阵的初等变换来求定理8.2.4中的可逆矩阵C 及对角矩阵D .由前面的知识，我们知道，可逆矩阵C 可以表示为有限个初等矩阵P 1, P 2,L ,P mf (捲公2必) (X i X 2)2 X 3)2y i X i y 2 X i X 3 y 3X 2 X 3则 f(X i ,X 2,X 3)2y i2y 22 y3 .所以，此处所作的线性替换是退化的,于是最后的结果并不是所求的由于二次型与对称矩阵对应 ,所以能用非退化线性替换化标准形的过程也可以用C T AC Dd 2(2.i)f (x 1,x 2,x 3) 2x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3(2.3)式表明，对对称矩阵 A 施行m 次初等行变换及相同的 m 次初等列变换,A 就变为了对角矩阵D .而(2.2)式表明对单位矩阵 E 施行上述的初等列变换,E 就变为可逆矩阵 C .C 及对角矩阵D ,使得A 与D 合同的方法称为 初等变A对A 施行初等行变换D对2n n 矩阵施行相同的初等列变换则 C T AC D . 例 8.2.5 已知对称矩阵111 A 1 2 3 135且 C T AC D . 例 8.2.6 已知二次型1 1 11 0 11 0 0 12 30 1 20 1 2A 解: 1 3 5r 2 ( 1)r 11 2 5r 3 ( 1)r 10 2 4E 1 00c2 ( 1)c 11 1 0 c 3 ( 1)c 11 1 10 1 00 1 01 00 0 10 0 10 0 11 0 00 1 0r 3 ( 2)r 2 0 0 0c 3 ( 2)c 21 1 1120 1所求可逆矩阵C 及对角矩阵D 为:11 110 0C01 2 ,D 01 00 0 100用初等变换法求可逆矩阵C 及对角矩阵D ,使得A 与D 合同.将 (2.2) 式代入 (2.1)式, 得P m T L P 2T P 1T AP 1P 2L P m D(2.3)这种利用矩阵的初等变换求可逆矩阵 换法 . 具体做法 : 对以 n 阶对称矩阵A 和n 阶单位矩阵E 做成的2nn 矩阵进行初等变换用初等变换法将其化为标准形，并求非退化的线性替换 解：二次型对应的矩阵为：于是有，0 1121 0 31A 1 3 0r 1 r22 E1 0C 1 C1 0 110 0121 22「3 *22 「3 (4)r 2 C 3 C 111 2 1C 3 (4)C 21 1 210 10 1 1A 1 0 3131220 231 22 3 0 r 2（丄兀22 2 00 0 C 2(21 12 0 1 01 1 210 12 0 0120 061 1231 1 210 01故非退化线性替换为X i X X 3这样，二次型化为21 2 22y 1y 2 6y 3§ 8.3惯性定理我们知道，二次型与对称矩阵一一对应，并且对称矩阵可以合同化为对角矩阵 •又因为合同不改变矩阵的秩，这样一来，任意一个对称矩阵合同的对角矩阵对角线上不为零的元素的个数是不变的，就是矩阵的秩•因此，在一个二次型的标准形中，系数不为零的项的个数是唯123y i1 41y20 0 1 y 3一确定的，与所作的非退化的线性替换无关•至于标准形中的系数，就不是唯一确定的•比如在例8.2.6中，我们还可以进一步，令2则二次型化为 2 2 2Z 1Z 2Z 3.这说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化的线性替换有关 F 面只就实数域和复数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 设对称矩阵A 的秩为r ,则由定理 824知,存在可逆矩阵C ，使得矩阵A 合同于对角矩 阵D ,即 d 1C T ACD d r ,d i 0,i 1,2,L ,r即此时原二次型化为 2 f (X 1,X 2 ,L , X n ) d 1X 1 在这些不为零的 d j 中,假设d 1 0, d 2 (1)在实数域内，我们令 2 2 d 2X 2 d 3X 3d r X r 2 (3.1)0,L ,d p 0;d p 1 0,d p 20,L ,d r0 ,这样:d 2 X 2 ,L y 1 小必小 y p 1 \ d p 1 X p 1，y p 2 ,y p d p 2 X p 2,L,y r、.、d r X r则(3.1)式变为：f(X|,X 2,L ,X n ) yj 鸟2 2 2 y p y p 1 2y p ■ 22Ly r这就是说对称矩阵 A 合同于下列对角矩阵：,其中有p 个 1, rp 个 1, n r个0.(2)在复数域内，我们令 y 1则(3.1)式变为:f (知 X 2,L ,x n )4必，y 22y 1 y2.d 2X 2 ,L ,y r . d r X rL y r 2这就是说对称矩阵 A 合同于下列对角矩阵1, 其中有r 个1.O定义8.3.1在实数域内, 称f(x1,x2,L ,x n) y12y22L2 2 2 2y p2y2p 1y2p 2L y r2为实二次型的规范形; 在复数域内, 称f (x1,x2,L2,x n ) y122y2 L y r 为复二次型的规范形.定理8.3.2 (惯性定理) 设 f (x1,x2,L,x n)是一个n 元实二次型,且f 可化为两个规范形222222y12y22L y p2y2p 1y2p 2L y r2,222222z1z22L z q2z q 1z q 2L z r则必有p q.证明: 用反证法. 设p q,由前面知识知,222222y1y2 L y p2y p 1y p 2 L y r222222(3.2)z1z22 L z q z q 1z q 2 L z r又设x By,x Czx1 y1 z1其中x x2,yMx n y2M,zy nz2M z n于是，z C By .令c11c12L c1n1c21c22L c2nC1B 21L L L Lc n1c n2L c nnz1c11y1c12 y2L c1n y n 则z2c21y1c22 y2L c2n y nLLLz n c n1y1c n2 y2L c nn y n 因为p q ,齐次线性方程组c 11y 1c 12 y 2L c 1n y n 0 c 21y 1c22 y2L c 2n y n 0L LLc q1y 1 c q2y 2L c qn y ny p 1 0LLLy n 0必有非零解(n 个未知数,n ( p q)个方程式).令其中一个非零解为y 1 a 1,y 2 a 2,L ,y p a p ,y p 1这样就得出了矛盾 . 同理可证 p q 也不可能 . 是 p q .证毕.说明 : 这个定理表明了实二次型的规范形是唯一的f 的 符号 推论 8.3.4 两个实二次型合同当且仅当它们有相同的秩和正惯性指数 .定理835设f(XsX 2丄,x n )是一个n 元复二次型，则f 经过适当的非退化线性替换可以 化为规范形 ,且规范形是唯一的 .推论 8.3.6 两个复二次型合同当且仅当它们有相同的秩 .§8.4 正定二次型在实二次型中 ，正定二次型占有特殊的地位 . 所以本节主要介绍实二次型 ，并讨论它们的 正定性 .定义8.4.1设f (X i ,X 2,L ,X n ) X T A X 是一个n 元实二次型,如果对任意n 维列向量x 0 都有 : (1) f 0,则称 f 为正定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为正定矩阵 ; (2) f 0,则称 f 为负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为负定矩阵 ; (3) f 0,则称f 为半正定二次型，并称实对称矩阵 A 为半正定矩阵； (4) f 0,则称 f 为半负定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为半负定矩阵 ;(5) f 既不满足 (3) ,又不满足 (4) ,则称 f 为不定二次型 ,并称实对称矩阵 A 为不定矩阵 . 例 8.4.2 已知 A 和 B 都是 n 阶正定矩阵 , 证明 A B 也是正定矩阵 .0,L , y n把这组解代入 (3.2)式中的上式 , 得到:2 2 2 2y12y 22 L yp 2 y 2p 1 Lz 2 Lz q0,故(3.2)式中的下式为2 2 2 2 2z 1z 2Lz qz q 1 Lz r但这时 z 1 2y r 22a122a222a p2z q 12 z r定义 8.3.3 在实二次型的规范形 f (x 1, x 2,L ,x n )2 y 12y 22 y p 22y p 1中 , 则称 r 是该 二次型的秩 , p 是它的 正惯性指数 ,q r p 是 负惯性指数 ,22y p 2L y r s p q 称为证明：因为A和B都是n阶正定矩阵，所以A A, B T B ,于是(A B)T A T B T A B即A B 也是对称矩阵.又任意x 0，有x T Ax 0，x T Bx 0，从而x T(A B)x x T Ax x T Bx 0即X T(A B)X是正定二次型，故A B是正定矩阵.定理843 n元实二次型f(X i,X2丄，X n) X T A X正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n.证明：设n元实二次型f (X I,X2,L ,X n) X T A X经过非退化线性替换X Cy化为标准形nf d i y i2i1充分性.已知d j 0(i 1,2,L , n),对于任意X 0有y C 1X 0,故nf d i y i 2 0i1必要性.用反证法.假设有某个d t 0,当取y t (0,L ,1,L ,0)T时，有X C t 0 ,此时f x T Ax t T C T AC t d t 0 这与已知f为正定二次型矛盾•故d j 0(i 1,2丄，n).证毕.推论8.4.4实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正数.推论8.4.5实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A合同于单位矩阵E .推论8.4.6 实对称矩阵A 为正定矩阵的必要条件是detA 0.证明：因为A为正定矩阵，由推论8.4.5, A合同于单位矩阵E,所以有可逆矩阵C使A C T EC C T C两边取行列式,有T T 2detA det(C T C) detC T detC (detC)20说明：从定义可以看出,如果我们根据定义来判断二次型的正定性是比较麻烦的.所以我们下面给出一个方便判断的结论.定义8.4.7 子式,(i1,2丄,n)称为矩阵A (3j )nn 的顺序主子式式全大于零n n证明：f (x 1, x 2,L ,x n ) x T Axa q X j X ji 1 j 1必要性•已知二次型f 是正定的•令f k (X 1,X 2,L ,X k )k ka ij XX j (k 1,2,L ,n)i 1 j 1则对任意的列向量(VX 2丄,x k )T 0,有f k (X i ,X 2,L ,xj f(X i ,X 2, L ,X k ,O,L ,0) 0 (k 1,2,L , n)从而f k (x 1,x 2,L ,x k )是k 元正定二次型•由上面的推论846知,a 11312L a 1k321 322L32k0,(k 1,2,L ,n)LLL L 3k13k2 L 3kk2 充分性•已知k0(k 1,2,L ,n).对阶数n 作数学归纳法•当n 1时,f 內凶,由1 a 11 0知f 是正定的•假设论断对n 1元二次型成立•以下来证n 元二次型的情形•注意到13110,将f 关于X 1配方，得1(311X 1 812X 2 LamX n )2a 11n nb j X i X ji 2 j 2其中 b ja j31i C j 311(i, j 2,3,L ,n)k k由3ja ji知 b ijb ji•如果能证明n 1元实二次型b j X j X j 是正定的，则由定义知f 也i 2 j 2是正定的.根据行列式性质，得311 312 La 21322L LLL 3i1a i2 L aiia 2i La ii定理848 n 元实二次型f(x 4,x 2丄,x n )x T Ax 正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子a 12LOi kb kk由归纳假设知n1元实二次型ib j xX j 是正定的例849判断下列二次型的正定性解：二次型f 的矩阵为所以f 是正定的.解：二次型对应的矩阵为1 t 1 0 t 42 0 A12 4 0 00 3 矩阵A 的顺序主子式为从而 On O 12 L O 1ka 21a 22La 2kL LL La k1 a k2La kkkO i1 r i A a ni 2,3,L ,nan 0 b 22 M 鸟2Lb 2nM 0(k Pk La 112,3,L,n)b 2nM (k 2,3 丄，n)b k25X 122 X25X 32 4X 1X 2 8X 1X 3 4X 2X 3因为 15 0, 20,例8.4.10试求t 的取值范围 ，使下列二次型为正定二次型2 X14X 22 4 X 32 3X 422txx 2 2X -|X 3 4X 2X 3 ;1 t 1t 4 2 4(t 1)(t 2),1 2 41 t 1 0 t 42 0 124 00 0 0 3解得 2 t 1.最后，我们注意到正、负定二次型的关系，于是有下面的结论.定理8.4.11 n 元实二次型f(x 1,X 2, L ,X n ) X T A X 负定的充分必要条件是下列条件之一成(1) f 的负惯性指数为n ； (2)A 的特征值全为负数；⑶A 合同于 E ;⑷A 的各阶顺序主子式负正相间，即奇数阶顺序主子式为负数，偶数阶顺序主子式为正数 定理8.4.12 n 元实二次型f(x 1,X 2,L ,X n ) X T A X 半正定的充分必要条件是下列条件之一成(1) f 的正惯性指数与秩相等； (2) A 的特征值全为非负数；E r 0⑶A 合同于 r，其中r 为矩阵A 的秩；0 0⑷存在实矩阵C 使得A C T C ；(5) A 的各阶主子式都非负，其中主子式就是指行指标与列指标相同的子式 说明：仅有顺序主子式非负是不能保证半正定性的•如20 0 x 1f(X 1，X 2) X 2(为，X 2)0 1 x 2就是一个反例.习题八(A)1. 证明：秩等于r 的对称矩阵等于r 个秩为1的对称矩阵之和•2.设i1，i2丄，in 是1，2，L ，n 的一个排列，则下面两个对角阵为了使A 正定,必须有:即有i0(i 123,4) 4 t 20,(t 1)(t 2)1 t 11 0,2t 1t 2,12(t 1)(t 2)1 i1（1） A 是反对称矩阵当且仅当对于任一个 n 维向量 2）如果 A 是对称矩阵，且对任一个 n 维向量 X 有 X T AX 0，那么 A 0.7.如果把实n 阶矩阵按照合同分类，即两个实 n阶矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问 共有几类？8. 证明： 一个秩大于 1 的实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式之积的充分必要条 件是它的秩等于 2 且符号差等于零 .9. 设 n 阶实对称矩阵 A 是正定的， P 是 n 阶实可逆矩阵，证明： P T AP 也是正定矩阵 . 10. 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明： A 是正定的当且仅当存在 n 阶实可逆矩阵 P ，使得 AP T P .11. 设 A 是一个正定矩阵，证明：（1） 对于任意正实数 k ， kA 是正定矩阵；（2）对于任意正整数 k ， A k 是正定矩阵；1*（3）A 1是正定矩阵；（4） A 的伴随矩阵 A * 也是正定矩阵 .12. 判别下列二次型是否正定：（1 ） 5x 12 8x 22 5x 32 4x 1x 2 8x 1x 3 4x 2x 3 ；2 2 2（2） 10x 1 8x 1x 2 24x 1 x 3 2x 2 28x 2x 3 x 3 ；1）4x 1x 2 2x 1x 3 2x 2x 3；2） 2 x 1 2x 1x 2 22 2x 2 4x 2x 3 4x 3；3） 2 x 1 2 x 2 2x 1x 2 4x 1x 3 2x 2x 32x 2x 4 2x 3x 4； 4） x 1x 2x 1x 3 x 1x 4 x 2x 3 x 2x 4 x 3x 4. 用初等变换法把下列二次型化为标准形，并求可逆矩阵 C 1） 3(x 1 22 x 2 2 x 3 x 42) 2x 1x 2 2x 1x 4 2x 2x 3 2x 2x 4 2） 2 x 1 2 x 2 3x 32 4x 1x 4 2x 1x 3 2x 2x 3；(3)2 x 13x 32 2x 1x 2 2x 1x 3 8x 2x 3;(4) x 1x 2x 2x 3 x 1x 4 4x 2x 4 6x 3x 44. 用配方法把下列二次型化成标准形52x 3x 4； 6. 设 A 是一个 n 阶矩阵，证明i2合同。