【名师一号】2016届高三数学一轮总复习课件：选修4选4-5-2 不等式证明的基本方法

J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 识 梳 理 知识点一 基本不等式
定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等 号成立． a＋b 定理 2：如果 a、b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． a＋b＋c 3 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则 ≥ abc，当且仅当 3 a＝b＝c 时，等号成立．
2 2 (2)若 ai，bi(i∈N*)为实数，则(a2 )( b ) ≥ ( a b ) i i i i ，当且仅 i ＝1 i＝1 i＝1 n n n
b1 b2 bn 当 ＝ ＝„＝ (当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1,2，„，n)时等号 a1 a2 an 成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则 |α ||β|≥ |α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立. 知识点三 不等式证明的基本方法
考点二
综合法与分析法证明不等式
1 【例 2】 (1)已知 x， y 均为正数， 且 x>y， 求证： 2x＋ 2 x －2xy＋y2 ≥2y＋3； (2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
听课记录
1 (1)因为 x>0，y>0，x－y>0,2x＋ 2 2－2y x －2xy＋y
b a 1 1 1 a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法 2： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝3＋ ＋ ＋ a b c a b c a b c a c b ＋ ＋ ＋ ≥3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 9( 当且仅当 a c b c
1 a ＝ b ＝ c＝ 时等号成 3
(2)已知 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a.
证明 3 3 ≥3· abc· 3·
1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ (1) 证 法 1 ： ＋ ＋ ＝ (a ＋ b ＋ c)· a b c a b c
1 1 ＝9(当且仅当 a＝b＝c＝3时等号成立)． abc
选修 4-5 不等式选讲
第二节
不等式证明的基本方法
基础回扣· 自主学习
热点命题· 深度剖析
高考明方向 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放 缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的最值.
备考知考情 1.不等式的证明是考查的重点， 主要考查学生分析解决问题的 能力．题型主要为解答题，难度为中档题．如全国卷Ⅰ22 题． 2.柯西不等式主要用来求最值和证明不等式， 要能够将所给关 系式通过“配”“凑”，转化为可以利用柯西不等式的形式．一 般以二元、三元为主，难度中等.
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等．
对 点 自 测 知识点一 基本不等式
1. 若 0<a<b<1 ，则 a ＋ b,2 ab ， a2 ＋ b2,2ab 中最大的一个是 ________．
解析
∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab.
又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
1 1 ＜2( 2－ 1)， ＜2( 3－ 2)， 2 3 „ 1 ＜2( n－ n－1)． n 1 1 1 各式相加，1＋ ＋ ＋„＋ ＜2 n(n∈N*)． 2 3 n
考点四
柯西不等式的应用
【例 4】 (2014· 福建卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x＋1| ＋|x－2|的最小值为 a. (1)求 a 的值； (2)若 p，q，r 为正实数，且满足 p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2 ＋r2≥3.
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小 值是__________．
解析 1 1 1· z) ×3＝3.
2
1 x2 ＋y2 ＋ z2 ＝(12 ＋12 ＋12)(x2 ＋y2 ＋z2)×3 ≥(1· x＋1· y＋
答案
1 3
4．若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的 最大值为________．
a a＋m ma－b 解析 M－N＝ － ＝ <0，即 M<N. b b＋m bb＋m
答案 M<N
1 1 1 6．设 a，b，c 为正实数，求证： 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 证明 因为 a，b，c 为正实数，
3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得 3＋ 3＋ 3≥3 ··， a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3＋ 3＋ 3≥ . a b c abc 1 1 1 3 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥ ＋abc. a b c abc 而 3 ＋abc≥2 abc 3 · abc＝2 3. abc
考点三
*
放缩法证明不等式
nn＋1 【例 3】 已知 n∈N ，求证： 2 ＜ 1×2＋ 2×3＋„ n＋12 ＋ nn＋1＜ . 2
听课记录
k＋k＋1 k＜ kk＋1＜ 2
1 ＝ (2k＋1)(k＝1,2，„，n)， 2 若记 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋„＋ nn＋1，则 nn＋1 Sn＞1＋2＋„＋n＝ 2 ， n＋12 1 1 2 Sn＜2(3＋5＋„＋2n＋1)＝2(n ＋2n)＜ 2 ，故原不等式成 立．
解析 ( a ＋ b ＋ c )2 ＝ (1× a ＋ 1× b ＋ 1× c＋b＋c)＝3. 1 当且仅当 a＝b＝c＝3时，等号成立． ∴( a＋ b＋ c)2≤3，故 a＋ b＋ c的最大值为 3.
答案
3
知识点三
不等式证明的基本方法
a＋m a 5.已知 a、b、m 均为正数，且 a<b，M＝ ，N＝ ，则 M、 b b＋m N 的大小关系是________．
1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问 题 探 究 问题 1 在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系？
综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立． 分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与 分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探 求解题思路，用综合法表达．
立)．
(2)要证
b2－ac< 3a，只需证 b2－ac<3a2.
∵a＋b＋c＝0，只需证 b2＋a(a＋b)<3a2， 只需证 2a2－ab－b2>0， 只需证(a－b)(2a＋b)>0， 只需证(a－b)(a－c)>0. ∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0. ∴(a－b)(a－c)>0 显然成立，故原不等式成立．
答案 a＋b
2 ．已知 x ， y ∈ R ，且 ________．
1 1 1＋ 1＋ ≥1＋ x y
1 1 xy ＝ 1 ，则 1＋ x 1＋y 的最小值为
解析
1 2 ＝4. xy
答案 4
知识点二
柯西不等式
【规律方法】 (1)一般地，当所证不等式的两边均为整式(多 项式)时，可考虑用作差比较法． (2)步骤：作差、变形、判断符号、得出结论． (3)变形整理是关键，常用的变形方法有因式分解、配方、通 分、拆项、添项(如本题解法中利用了因式分解)等．
变式思考 1
设 a，b 是非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋
【规律方法】
综合法是由因导果，要求考生要有较强的观
察与变形的能力．分析法是执果索因，利于思考，但是表述格式 要求严谨，二者各有所短，相互补充．凡是能用分析法证明的不 等式，一定可以用综合法证明．
变式思考 2 1 1 1 证： ＋ ＋ ≥9. a b c
(1)已知 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，求
a 利用函数的单调性，真分数性质“若 0＜a＜b，m＞0，则 ＜ b a＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． b＋m (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．
变式思考 3
1 1 1 求证：1＋ ＋ ＋„＋ ＜2 n(n∈N*)． 2 3 n
1 1 证明 ∵ k－ k－1 ＝ ＞ ， k＋ k－1 2 k 1 ∴ ＜2( k－ k－1)． k 1 令 k＝1,2,3，„，n，则有 ＜2( 1－ 0)， 1
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法． (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．
高 频 考 点 考点一 比较法证明不等式
【规律方法】
(1)在不等式的证明中，“放” 和 “缩”是常
用的推证技巧．“放 ”和 “缩” 的方向与“ 放” 和“缩 ”的量的 大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和 1 1 1 1 1 2 1 分母，如 2＜ ， 2＞ ， ＜ ， ＞ k k kk－1 kk＋1 k k k＋ k－1 2 k＋ k＋1 .上面不等式中 k∈N*，k＞1.
【例 1】 已知 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
听 课 记 录 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝ (a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0. 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即 2a3－b3≥2ab2－a2b.
问题 2
在什么条件下用分析法证明不等式？