三年级上册数学奥数课件-容斥原理人教版(共22张PPT)

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三年级上册数学奥数课件-容斥原理人教版(共22张PPT)

包含与排除
当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称为包含排除原理，也称容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视，但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人）总体＝各部分之和—重复的部分
总体＝各部分之和
提升1
五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，问两样都会的有多少人？
26+39-45=20（人）答：两样都会的有20人。
提升2
五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，两样都会的有20人，问会游泳的有多少人？
3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
45-26+20=39（人）答：问会游泳的有39人。
提升3
五(1)班学生在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，两样都会的有20人，问全班有多少学生？
26+39-20=45（人）答：全班有45名学生。
例1 、一个班有48人，班主任在班会上问： “谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？

容斥原理讲义

容斥原理例题在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理。

为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。

在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑。

如：A=｛五（1）班全体同学｝。

我们称一些事物的全体为一个集合。

A=｛五（1）班全体同学｝就是一个集合。

例1. B=｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体的有无限多个元素的集合。

例2. C=｛在1，2，3，…，100 中能被3 整除的数｝=｛3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。

例3. 通常集合用大写的英文字母A、B、C、…表示。

构成这个集合的事物称为这个集合的元素。

如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A 的一个元素。

又如在例1 中任何一个自然数都是集合B 的元素。

像集合B 这种含有无限多个元素的集合称为无限集。

像集合C 这样含有有限多个元素的集合称为有限集。

有限集合所含元素的个数常用符合︱A︱、︱B︱、︱C︱、…表示。

例4. 记号A∪B 表示所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，就是下边示意图中两个圆所覆盖的部分。

集合A∪B 叫做集合A与的并集。

“∪”读作“并”，“A∪B”读例5. 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝。

元素2，4 在集合A、B 中都有，在并集中只写一个。

记号A∩B 表示所有既属于集合A 也属于集合B 中的元素的全体。

就是上面图中阴影部分所表示的集合。

即是由集合A、B 的公共元素所组成的集合。

它称为集合A、B 的交集。

符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A 交B”。

如例3 中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。

例6. 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝，A=｛属于集合，但不属于集合A 的全体元素｝=｛1，9｝。

我们称属于集合I 但不属于集合A 的元素的集合为集合A 在集合I 中的补集（或余集），如下图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I），常记作A。

组合数学课件(第五章容斥原理)

5.1.3 包含排斥原理
推论若Ai (i=1,2,…,n) S，且Ai是S中具有性质pi的元素的子集，则S中至少具有性质Pi (i=1,2,…,n)的一个性质的元素个数为： n |A1 A2 ... An | |Ai |
i j k
|Ai Aj |
i j
i j k
|Ai Aj |
i j
|A A
i
j
Ak | ... ( 1) |A1 A2 ... An |
n
i 1
证明：可以利用数学归纳法证明。或用组合分析方法如下：为证明等式成立，只需证明等式右端不具有性质Pi (i=1,2,…,n) 的元素被计算的次数净值为1，而至少具有性质Pi 中之一的元素被计算的次数净值为0即可。考虑S中一个不具有n个性质中任何一个性质的元素x，因为 x∉Ai(i=1,2,…,n)，故x被计算的次数净值为1-0+0-…(-1)n0=1。
目录（2）
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用本章小结习题
第六章递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系本章小结习题第七章生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问题 7.5 Catalan数和Stiring数本章小结习题
********************** 课程总结
第5章包含排斥原理
本章重点介绍包含排斥原理及其在排列组合中的应用： §5.1包含排斥原理 §5.2 多重集的r-组合数 §5.3错位排列 §5.4 有限制条件的排列问题 §5.5有禁区的排列问题

组合数学幻灯片31容斥原理

p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子

容斥原理课件.doc

1、某艺术团的小演奏家们每人都至少会演奏小提琴和钢琴中的一种。

他们中有32 人会拉小提琴，27 人会弹钢琴，小提琴和钢琴都能演奏的有11 人。

这个团共有多少个小演奏家？32＋27－11=482、一个班有学生42 人，参加体育队的有30 人，参加文艺队的有25 人，并且全班每人至少参加一个队。

问：这个班两队都参加的有多少人？30＋25－42=133、京华小学五年级学生采集标本。

采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19 人，两种标本都采集的有8 人。

全班学生共有40 人，没有采集标本的有多少人？19＋25－8=36 40 －36=44、有100位旅客，其中有10 人既不懂英语又不懂日语，有75 人懂英语，83 人懂日语。

既懂英语又懂日语的有多少人？100－10=90 75 ＋83－90=685、一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。

其中会开车床的有235 人，会开铣床的有218 人，会开刨床的有207 人。

既会开车床又会开铣床的有112 人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63 人，三种都会的有19 人。

这个工厂一共有多少人？235＋218＋207－112－71－63＋19=4336、外语学校有英语、法语和日语教师共27人。

其中只能教英语的有8 人，只能教日语的有 6 人，能教英语和日语的有 5 人，能教法语和日语的有 3 人，能教英语和法语的有 4 人，能教英语、法语和日语的只有 2 人。

只能教法语的教师有多少人？8＋6＋（5－2）＋（4－2）＋（3－2）＋2=22 27 －22=57、某校五年级有学生54 人，每人至少爱好一种球。

其中爱好乒乓球的有40 人，爱好足球的有20 人，爱好排球的有30 人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18 人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14 人，既爱好足球又爱好排球的有12 人。

这三种球都爱好的有多少人？54－（40＋20＋30－18－14－12）=88、如图，在一个边长为90 厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20 厘米和45 厘米的正方形纸。

小学数学三年级难点问题——容斥原理

小学数学三年级难点问题——容斥原理容斥原理是小学数学的难点之一，对于三年级的同学来说，这个知识点比较新，会有一些不适应，今天我们就用一道例题来介绍一下容斥原理及其计算方法。

文氏图三（2）班共有60人，其中，喜欢足球的23人，喜欢跑步的30人，既喜欢足球又喜欢跑步的有6人，问既不喜欢足球，也不喜欢跑步的有几人？首先，我们把喜欢足球的23人列出来。

喜欢踢球的23人再将喜欢跑步的30人列出来。

喜欢踢球的23人和喜欢跑步的30人注意，有6个同学既喜欢踢球又喜欢跑步，我们用红色标记出来。

6个人既喜欢踢球又喜欢跑步这样的话，我们可以看得出来，喜欢踢球，喜欢跑步的同学就是上图中所有的圆点，其中包括蓝色圆点、棕色圆点和红色圆点，它们一共有23+30-6=47个，也就是有47人喜欢踢球或者喜欢跑步，那么既不喜欢踢球，又不喜欢跑步的同学就是总数减去这47人，即60-47=13人，他们是不是在教室里当学霸呢？实际上，容斥原理问题我们可以用画图的方法很快的计算出来，具体地说，就是画一个文氏图，对于此题，我们先画一个椭圆，表示喜欢踢球的人，如下图所示。

用一个椭圆表示喜欢踢球的人（抽象画法）然后再画一个与刚才的椭圆有重叠的椭圆，表示喜欢跑步的同学。

喜欢踢球和喜欢跑步的同学两个椭圆重叠的部分就是既喜欢踢球又喜欢跑步的同学。

题目问的是既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人数，从图中可以看出，蓝色部分就是要求的既不喜欢踢球又不喜欢跑步的人。

显然，我们通过图形可以看出，蓝色部分等于整个长方形减去两个椭圆遮住的部分，而两个椭圆遮住的部分等于黄色区域+绿色区域-重叠区域，这样看是不是一目了然啊。

因此，列出算式就是60-（23+30-6）=13人。

奥数班三年级第5讲容斥原理

14
【课堂精练】
4. 两张长 4厘米，宽 2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？
4 厘米
2厘米图3
长方形面积： 4 × 2 = 8平方厘米正方形面积： 2× 2 = 4平方厘米
覆盖面积： 8 ＋ 8 - 4= 12平方厘米
15
【课堂精练】
5. 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
第5讲容斥原理
三年级奥数班
【知识点拨】
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，通常我们采用以下计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
9
【典型例题】
例6：某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有 34人，手中有黄旗的共有 26人，手中有蓝旗的共有18 人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有 6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有 3人，那么这个班共有多少人？
【典型例题】
【典型例题】
例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并
且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少
人？
数学得满分语文得满分语文得满分
维恩图
15人 4人 12人
12人
15 ＋ 12 – 4 = 23人
4
【典型例题】一、容斥原理1： A 人 AB人 B人总人数 = A ＋ B – AB

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答：参加跳舞的有40人。
部分＝总体-另一部分+重复的部分
拓展3、参加舞蹈演出的有32人，参加歌唱演出的有27人，两种都参加的有11人，两种都未参加的有 31人，一共有多少人？
舞蹈 32人
歌唱 27人
11人
都未参加31人
？人
参加：32+27-11=48（人）全部：48+31=79（人）答：一共79人。
例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
练习三
1，一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？
包含与排除
当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这一原理，我们称为包含排除原理，也称容斥原理。
脑筋急转弯：
有2个爸爸、2个儿子在家看电视，但是家里只有3个人，这是怎么回事呢？
2个爸爸
2个儿子
既是爸爸又是儿子
2 + 2-1=3（人）总体＝各部分之和—重复的部分
例1、三年级一班有23人喜欢音乐，25人喜欢美术，音乐和美术有喜欢的有8人，全班喜欢音乐美术的共有多少人？
23+25-8=40（人）答：全班喜欢音乐美术的有40人。
拓展1、一共有79人参加节目，参加小品类节目的有46人，参加曲艺类节目的有39人，并且每人至少参加一种节目，问两项节目都参加的有多少人？
共79人
小品类 46人
曲艺类 39人
？人
46+39-79=6（人）
答：两项节目都参加的有6人。
重复部分＝各部分之和-总体
拓展2、共有男生53人，分别参加了唱歌和跳舞
节目。已知参加唱歌的有33人，两样都参加的有 20人。问参加跳舞的有多少人？
共53人
唱歌33 人
20人
跳舞
？人
53-33+20=40（人）
3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
例2 、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
练习二
1，五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组， 23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
练习一
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
集合——容斥原理初步
有2个爸爸、2个儿子在家看电视，但是家里只有3 个人，这是怎么回事呢？
三年级（1）班有46人，一部分唱歌一部分舞蹈演出，有32人舞蹈演出，问参加唱歌的有多少人？
舞蹈32
全班46名学生
46-32=14（人）
三年级（1）班有46人，有16人舞蹈演出， 14人唱歌，问没有参加舞蹈演出也没有唱歌的有多少人？
2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32 人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？
45-26+20=39（人）答：问会游泳的有39人。
提升3
五(1)班学生在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，两样都会的有20人，问全班有多少学生？
26+39-20=45（人）答：全班有45名学生。
例1 、一个班有48人，班主任在班会上问： “谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
3，三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？
总体＝各部分之和
提升1
五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，会游泳的有39人，问两样都会的有多少人？
26+39-45=20（人）答：两样都会的有20人。
提升2
五(1)班有学生45人，在暑假中全都学会了骑车或者游泳，已知学会骑自行车的有26人，两样都会的有20人，问会游泳的有多少人？
舞蹈16
唱歌14
全班46名学生
46-16-14=16（人）
三年级（1）班晚会选手有30人舞蹈演出， 27人唱歌，即参加舞蹈又参加唱歌的有11人，问参加舞蹈演出和唱歌的共有多少人？
舞蹈30
唱歌27 人
11 人
30+27-11=46（人）
答：参加舞蹈演出和唱歌的共有46人。
总体＝各部分之和-重复的部分

三年级上册数学奥数课件-容斥原理 人教版(共22张PPT)