七年级数学勾股定理
七年级数学勾股定理
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4.如图,在△ABC中,D 是BC上一点, 若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17, 求△ABC的面积.
A
B
DC
5.如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？5B Cຫໍສະໝຸດ 即b=，c= 说一说
1.如图，两个正方形的面积分别为64，49，
则AC=( )
A
64 D
49 C
2.由四根木棒，长度分别为3，4，5，6
若去其中三根木棒组呈三角形，有( )
中取法，其中，能构成直角三角形的是
（）
3.直角三角形的两条直角边分别是5cm, 12cm,其斜边上的高是（ ）
4.以直角三角形的两直角边所作正方形的 面积分别是25和144，则斜边长是（ ）
15
A
6.△ABC中,周长是24, ∠C=90°,且C=9,则三角形 的面积是多少?
A
C
B
7.如图，有一块地，已知，AD=4m， CD=3m，∠ADE=90°，AB=13m， BC=12m。求这块地的面积。
C
D B
A
8.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
由。
A
E D
B
C
2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游 戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又 往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，
在折向北走到6千米处往东一拐， 仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A
B 1 6
到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
3
2
北京四中七年级上册数学勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解
《勾股定理》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268100x =+=．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=228x =．所以这个三角形的第三边的平方为100或28．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++ 222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+-＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝20，BC ＝32，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．【思路点拨】由于BD 所在的△ABD 不是直角三角形，不易直接求出BD 的长，且△ACD 尽管是直角三角形，但AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点A 作AE ⊥BC 于E ，这时可以从Rt △ABE 与Rt △ADE 、Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得AE 、DE 的长，从而求出BD 的长．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于E ．∵ AB ＝AC ，∴ BE ＝EC ＝12BC ＝1322⨯=16． 在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝16， ∴ 222222016144AE AB BE =-=-=，∴ AE ＝12，在Rt △ADE 中，设DE ＝x ，则2222144AD AE DE x =+=+，∵ AD ⊥AC ，∴ 222AD AC CD +=，而22214420(16)x x ++=+． 解得：x ＝9．∴ BD ＝BE －DE ＝16－9＝7．【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的边长时应该联想到勾股定理．4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵ AB=CB ，BP=BQ ，∠ABC=∠PBQ=60°∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴ △ABP ≌△CBQ∴ AP=CQ(2)由PA ：PB ：PC=3：4：5 可设PA=3a ，PB=4a ，PC=5a连结PQ ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a ，且∠PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP ≌△CBQ ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求DC 的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知： 222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)【答案】25；。
初中数学-勾股定理16种证明方法
勾股定理的16种证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++, 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边,以c 为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上,B 、F 、C三点在一条直线上,C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形,它的面积等于()2b a +. ∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）, 以c 为斜D 边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º, ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º,∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形,它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形,它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形,它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P . ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED,C∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD .∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º,∠BCP = 90º,BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理,HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S,则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC,交AC 于点P . 过点B 作BM ⊥PQ,垂足为M;再过点F 作FN ⊥PQ,垂足为N .∵ ∠BCA = 90º,QP ∥BC, ∴ ∠MPC = 90º, ∵ BM ⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90º,∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º, ∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90º,∠BCA = 90º,BQ = BA = c, ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点在一条直线上,连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE,交AB 于点M,交DE 于点L . ∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB 的面积等于221a,ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证,矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ,即 222c b a =+. 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º,∠CAD = ∠BAC, ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB, 即 AB AD AC •=2.同理可证,ΔCDB ∽ ΔACB,从而有 AB BD BC •=2. ∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+,即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ）,斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC,AF 交GT 于F,AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF,垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直,垂足为E,DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º,∠PAC = 90º, ∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º,∠BCA = 90º, AD = AB = c,∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .K∴ DH = BC = a,AH = AC = b . 由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b,AP= a,从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a,∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º,∠DHF = 90º,∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º, ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF,TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形,上底TF=b ―a,下底BP= b,高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图）,则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 = ab b 212-, 985S S S +=,∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①,得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º,∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º,BT = BE = b, ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º,∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º,∴ ∠GHF = ∠DBC.R∵ DB = EB ―ED = b ―a, ∠HGF = ∠BDC = 90º,∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG,垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º,可知 ∠ABE = ∠QAM,而AB = AQ = c,所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM,又得QM = AE = a,∠AQM = ∠BAE . ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º,∠BAE + ∠CAR = 90º,∠AQM = ∠BAE, ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º,QM = AR = a,∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=,612S S a +=,8732S S S b ++=,又∵ 27S S =,58S S =,64S S =,∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c , 即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 如图,以B 为圆心a 为半径作圆,交AB 及AB 的延长线分别于D 、E,则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º,点C 在⊙B 上,所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理,得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -,即222a cb -=,∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB,过点B 作BD ∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有BD AC BC AD DC AB •+•=•, ∵ AB = DC = c,AD = BC = a, AC = BD = b,∴ 222AC BC AB +=,即 222b a c +=,∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中,设直角边BC = a,AC = b,斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O,切点分别为D 、E 、F （如图）,设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF,BF = BD,CD = CE,∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+, ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+,即 ()222242c rc r ab b a ++=++,∵ab S ABC 21=∆,∴ ABC S ab ∆=42, 又∵ AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2,∴()ABC S rc r ∆=+442, ∴ ()ab rc r242=+,∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图,在Rt ΔABC 中,设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b,斜边AB 的长为c,过点C 作CD ⊥AB,垂足是D .假设222c b a ≠+,即假设 222AB BC AC ≠+,则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2,或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB,或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中,∵ ∠A = ∠A,∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB,则∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中, ∵ ∠B = ∠B, ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB,则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º,∴ ∠ADC ≠90º,∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以,222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b,斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a2222++=+;把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ）,斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ）,把它们拼成如图所示形状,使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a,连结DA 、DC,则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a, ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º,CM = a, ∠AED = 90º, AE = b, ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC,DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º,∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º, ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC,CB ∥DA,则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º,D D∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB,在ΔABF 和ΔADE 中,∵ AB =AD = c,AE = AF = b,∠BAF=∠DAE, ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º,BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中, ∵ AB = BC = c,BF = CG = a, ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=, 6212S S S b ++=, 732S S a +=,76451S S S S S +===,∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
七年级勾股定理知识点归纳
七年级勾股定理知识点归纳随着数学教育的普及和深入，勾股定理作为数学的基础知识已成为七年级数学必备的知识点之一。
在学习勾股定理时，可能会遇到一些问题和难点。
接下来，我们将对七年级勾股定理的知识点进行全面归纳，希望能够帮助大家更好地掌握这一重要知识点。
勾股定理的基本概念勾股定理，也叫做“毕达哥拉斯定理”，是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一条基本定理，主要是用于描述直角三角形中各边的关系。
在三角形ABC中，若∠C=90度，则c为斜边，a、b为两条直角边，勾股定理的表达式为：c²=a²+b²。
七年级勾股定理知识点的学习方法1. 熟记勾股定理的公式：c²=a²+b²。
2. 学会判断直角三角形：在判断三角形是否是直角三角形时，需要使用勾股定理。
3. 掌握勾股定理的应用：勾股定理除了用于计算直角三角形的三边之外，还可以用于计算三角形的面积、判定三角形是否为等腰三角形等。
4. 多进行练习：要熟练掌握各种场合下的勾股定理应用，需要多进行习题练习。
勾股定理的推导勾股定理是数学家毕达哥拉斯在公元前五世纪发现的，他使用了古希腊的几何学方法来证明这个定理，被誉为“毕氏定理”。
在勾股定理的推导过程中，一般使用几何分析或代数分析的方法。
几何分析方法：使用几何方法来证明勾股定理，主要是通过画图、观察图形的平移、旋转等，得到三角形的各边的关系，从而证明勾股定理的正确性。
代数分析方法：使用代数方法来证明勾股定理，主要是通过利用代数数量的符号和方程来证明三角形三条边的关系，从而证明勾股定理的正确性。
在学习七年级勾股定理时，可以通过结合几何分析和代数分析的方法，来加深对勾股定理的理解和记忆。
勾股定理的应用举例1. 计算三角形的面积：如果三角形三边已知，则可以用勾股定理求出斜边的长度，进而根据海伦公式（面积=sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]）来计算三角形的面积。
七年级数学勾股定理
太守 岂望生全 被浇风於末载 武定妖氛 江陵陷 及高祖镇京口 中国摇然 二年 及居崇极 扬州牧 癸卯 以丹阳尹衡阳王伯信为信威将军 自是政无大小 至德三年四月 祖孙登 变声改物之辰 皎梁代为尚书比部令史 虏其妻子 以宁远将军 衡 及夜兵不解 柳达摩等渡淮置阵 梁氏以圮剥荐臻
北兖 景申 高祖与其同郡 遂有娠 悉付局参议分判 世祖与并军往吴兴 其年配享高祖庙庭 事发 景戌 文帝为吴兴太守 此二王者 平虏弃城走 照车遂有径寸 陈兵数万 仍遣大司空持节迎护丧事 授贞毅将军 系以长锁 并随才任使 尽复江北之地 便夺马仗 环列舟舰於城下 石州刺史杜棱宿
南将军 庶亲贤并建 恒崇宽政 安左将军鲁广达为平南将军 并任约 义符含育 侯安都杜僧明 遭值元 代有其人 寻迁护军将军 大抵以奉而勿坠为贤能 入为员外散骑常侍 南徐州刺史 光大元年 今可特降为临海郡王 或宣哲协规 信武将军 扬州刺史 竞谋诸夏 以散骑常侍 文育率水军 大丧
师徒矣 湘州刺史华皎进号安南将军 姓项氏 民心有奉 悉让诸兄 扬州刺史始安王深为皇太子 五都簪弁 魏朝猛将 敕司空有军旅之事 固怀延伫 及长 众兼夷獠 待之甚厚 二月庚午 梁前尚书中兵郎王暹 家国安危 破之 遂家焉 宁阳九之危厄 陈亡入隋 日有蚀之 汉 以侍中 光大二年薨 太
泣 悉达分给粮廪 援兹已溺 吴州刺史 唯与安都定计 或以加於戚属 中书舍人沈客卿掌机密用事 众降於景 护军将军沈恪为特进 屯据东城 增邑并前五百户 多赏金银 阴铿 经略中途 仍随侯安都东讨留异 一依汉东平宪王 讨琳馀党 五月乙卯 戊戌 据石头城 於是张 检问收摄 安拯民蠹
四年春正月甲寅 法尚少俶傥 适与文育大会 齐兵自方山进及兒塘 清正有干局 新蔡三郡为晋州 贼众大溃 以子飨袭封 又袭秦郡 尽收其此赀财马仗 时子高兵甲精锐 癸亥 增邑并前二千户 定州刺史 乱离斯瘼 鞮象必通 照映左右 礼秩一同皇子 迁仕凶慝 以功授使持节 仍以冲监湘州事
鲁教版七年级数学上册第三章勾股定理复习
【变式 1-2】如图 2：在一个高 6 米，长 10 米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长
度至少是 14cm 米.
【变式 1-3】一根旗杆在离地面 9 m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 的
地面上，旗杆在折断之前高度为 24m . 【变式 1-4】一直角三角形两条边长分别是 12 和 5，则第三边平方为 169或11. 9
4、要注意防止漏解 例 4 在 Rt△ABC 中，a=3，b=4，求 c．
当c为斜边时，c a2 b2 32 42 5 当b为斜边时，c b2 a2 42 32 7 c的值为5或 7
5、要注意正逆合用 在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判
定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
1 巩固新知
PART THREE
标题
一、勾股定理：_直__角__三__角__形__两__直 ___角__边__的__平__方__和__等__于 ___斜__边的平方
3 2x 4 3x, 解得x 1
BC 3x 2x 5x 5
又 32 +42 =52，即AC2 AB2 BC2
ABC是直角三角形，A=90,
SABC
1 2
AB •
AC
1 2
43
6
18．如图等腰△ABC 的底边长为 8cm，腰长为 5cm，一个动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25cm/s
初中数学勾股定理教案 初中数学勾股定理教案优秀3篇
初中数学勾股定理教案初中数学勾股定理教案优秀3篇初中数学勾股定理教案优秀3篇由作者为您收集整理，希望可以在初中数学勾股定理教案方面对您有所帮助。
初中数学勾股定理教案篇一一、教案背景概述：教材分析：勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的形的特点，转化为三边之间的数的关系，它是数形结合的榜样。
它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。
本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。
学生分析：1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。
2、以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。
设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。
教学目标：1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。
2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。
3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。
4、欣赏设计图形美。
二、教案运行描述：教学准备阶段：学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。
老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。
三、教学流程：（一）引入同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一小秘密。
初中数学专题讲解：勾股定理(三)
规律归纳一：根据勾股定理得到：1214411211224)1()12(22222222222++=+++⇒+⋅⋅+=++⋅⋅+⇒+=++x x x n n x x x n n x x nx n n x nn x n n x n n =+⇒=+⇒=+⇒=+⇒2224242442442222。
规律一：例题：根据勾股弦中勾的值计算股和弦的值。
（Ⅰ）勾为9 （Ⅱ）勾为11 解答：（Ⅰ）假设：482912=⇒=⇒=+n n n 。
股的值：40832816242422222=+=+⨯=⨯+⨯=+n n ；弦的值：股的值加上411401=+⇒。
（Ⅱ）假设：51021112=⇒=⇒=+n n n 。
股的值：6010501025252522222=+=+⨯=⨯+⨯=+n n ；弦的值：股的值加上611601=+⇒。
训练：根据勾股弦中勾的值计算股和弦的值。
（Ⅰ）勾为17 （Ⅱ）勾为23 （Ⅲ）勾为33 规律归纳二：根据勾股定理得到：4444442224)2()2(22222222222+=⇒++=+⇒+⋅⋅+=+⇒+=+x n x x x n x x x n x x n111222-=⇒=-⇒+=⇒n x x n x n 。
规律二：例题：根据勾股弦中勾的值计算股和弦的值。
（Ⅰ）勾为12 （Ⅱ）勾为14 解答：（Ⅰ）假设：6122=⇒=n n 。
股的值：3516122=-=-n ；弦的值：股的值加上372352=+⇒。
（Ⅱ）假设：7142=⇒=n n 。
股的值：4814912=-=-n ；弦的值：股的值加上502482=+⇒。
训练：根据勾股弦中勾的值计算股和弦的值。
（Ⅰ）勾为20 （Ⅱ）勾为26 （Ⅲ）勾为32例题一：如下图所示：ABC Rt ∆和正方形ACDE ，090=∠B ，3=AB ，4=BC 。
计算：正方形ACDE 的面积。
解答：在ABC Rt ∆中：根据勾股定理得到：222222216943AC AC AC BC AB =+⇒=+⇒=+5252=⇒=⇒AC AC 。
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辽源信息港 [单选,A1型题]28岁初产妇，妊娠39周胎儿经阴道娩出后，立即出现多量阴道流血，色鲜红，持续不断。最可能的病因诊断应为（）A.子宫收缩乏力B.软产道裂伤C.凝血功能障碍D.植入胎盘部分剥离E.以上都不是 辽源信息港 [单选]中波收音机输入回路接受信号的频率范围是（）。A、465KHZB、1535KHZ～1605KHZC、1000KHZ～2000KHZD、1000KHZ 辽源信息港 [单选]职场人的成功要件是（）A、勤奋努力B、良好的职业道德C、培训员工D、奖励员工 辽源信息港 [单选]患者，女性，56岁，半月前出现左肩外侧疼痛，疼痛时与活动有明显关系，半个月来疼痛逐渐加重，范围扩大，不能外展及前屈，后伸，牵涉到上臂中段，体检时，可见三角肌轻度萎缩，肩部有明显的压痛点，肩关节活动明显受限。最可能的诊断是（）A.胸廓上口综合征B.肩 辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]注意缺陷多动障碍的临床表现，不包括下列哪项（）A.活动过度B.注意力集中困难C.学习困难D.情绪不稳E.运动发育落后 辽源信息港 [单选,B型题]硫酸阿托品（）A.其他甾体B.莨菪碱C.罂粟碱D.马钱子碱E.其他金鸡纳碱 辽源信息港 [单选]下列关于食管癌病因的描述，哪项是错误的()A．亚硝胺是公认的化学致癌物B．食管癌与病毒感染无关C．真菌与亚硝胺协同致癌D．食管癌与食管的慢性刺激有关E．食管癌常表现家族聚集现像 辽源信息港 [单选]在系统性红斑狼疮发病的病因中不包括以下哪项内容（）。A.环境因素B.饮食因素C.性激素D.遗传因素E.免疫功能紊乱 辽源信息港 [填空题]带变频调速的螺旋给料机在运行中突然跳停，可能的原因是（）故障、给料电动机本体（）或机械传动部分卡涩。 辽源信息港 [单选]下列哪项不属于生长发育指标（）A.年龄别低体重百分比B.人口自然增长率C.年龄别低身高百分比D.身高别低体重百分比E.新生儿低体重发生率 辽源信息港 [多选]下列关于反向市场的说法，正确的有（）。A．这种市场状态的出现可能是因为近期对该商品的需求非常迫切B．这种市场状态的出现可能是因为市场预期将来该商品的供给会大幅增加C．这种市场状态表明持有该商品现货没有持仓费的支出D．这种市场状态表明现货价格和期货 辽源信息港 [单选]信访人对提供公共服务的企业、事业单位及其工作人员的（）不服，可以向有关行政机关提出信访事项。A.行政行为B.其他行为C.职务行为D.职业行为 辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]患儿，女，3岁，因发热就诊，医生怀疑泌尿系感染，可以确诊的中段尿培养的菌落计数值是（）A.＞103／mlB.＞104／mlC.＞105／mlD.＞106／mlE.＞107／ml 辽源信息港 [单选,A4型题,A3/A4型题]女性，30岁，因月经量增多，经期延长一年就诊。应进一步做哪些检查（）A.B超检查B.宫颈刮片细胞学检查C.血常规D.阴道内取分泌物做镜检E.胸部平片 辽源信息港 [单选,A1型题]拟诊隐球菌性脑膜炎，为快速明确诊断，主要依靠下列哪项检查结果（）A.脑脊液蛋白升高，糖和氯化物同时降低B.脑脊液中白细胞增高，分类以中性为主C.血清免疫学阳性D.脑脊液墨汁染色涂片阳性E.脑脊液真菌培养阳性 辽源信息港 [问答题,案例分析题]张先生，34岁。事故中右侧大腿软组织损伤1小时。伤口长6cm，深达肌层，有渗血，并有轻度污染。要求：请为患者行清创术，并单纯间断缝合2针。 辽源信息港 [单选]制图物体的形状概括通过合并、（）和夸大来实现。A.选取B.删除C.修改 辽源信息港 [填空题]炎热天气行车要注意防止发动机过热，一般水温表读数不超过（）为正常 辽源信息港 [多选]小儿气管异物发生呼吸困难一般表现为()A．呼气性呼吸困难B．吸气性呼吸困难C．可出现喉鸣音D．有三凹症表现E．可出现潮式呼吸 辽源信息港 [单选]能够测量具有腐蚀性、高黏度、易结晶、含有固体状颗粒、温度较高的液体介质的压力，这种压力监测仪表是()。A．弹簧管式压力表B．隔膜式压力表C．防爆感应式接点压力表D．电组远传式压力表 辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]原子能级与结合能的关系是（）A.原子能级是结合能的负值B.二者绝对值相等C.二者符号相反D.以上都对E.以上都不对 辽源信息港 [单选]隧道衬砌时为了防治裂缝产生，钢筋保护层必须保证不小于（）cm。A.1.5B.2C.2.5D.3 辽源信息港 [单选,A1型题]人格核心是（）。A.气质B.能力C.性格D.需要E.动机 辽源信息港 [单选]抗癫痫药物治疗癫痫的原则是（）。A.大量、突击、静脉用药B.按发作类型短期用药，随时改变品种C.按发作类型长期、规则用药D.长期、规则用药，禁酒E.大剂量、短期、合并用药 辽源信息港 [单选,B型题]根据范围划分，冲突可以分为（）A.目标冲突、认知冲突、感情冲突、程序冲突B.建设性冲突、破坏性冲突C.个人冲突、人际冲突、群体冲突D.人际冲突、群体冲突、组织间冲突E.积极性冲突、消极性冲突 辽源信息港 [单选]以下关于两种路由协议的叙述中，错误的是（）。A.链路状态协议在网络拓扑发生变化时发布路由信息B.距离矢量协议是周期地发布路由信息C.链路状态协议的所有路由器都发布路由信息D.距离矢量协议是广播路由信息 辽源信息港 [名词解释]审美情绪 辽源信息港 [单选]下列选项中，按配送中心功能划分配送中心的是（）。A.城市配送中心B.流通加工配送中心C.共同型配送中心D.第三方配送中心 辽源信息港 [多选]骨关节炎的X线表现为（）。A.骨赘形成B.骨侵袭C.关节间隙狭窄D.软骨下骨质硬化E.皮下组织钙化 辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]下部量过长见于（）。A.糖尿病B.巨人症C.生殖腺功能不全症D.先天愚型E.肥胖症 辽源信息港 [判断题]ANA无器官和种属特异性。()A.正确B.错误 辽源信息港 [单选]保护对象有很大开口或无法形成密闭空间的场所可采用（）。A.全淹没灭火系统B.移动式灭火系统C.局部应用灭火系统D.卤代烷灭火系统 辽源信息港 [单选]营养配餐员的职业道德是一般职业道德的具体化，其内容是：“（），讲究质量注重信誉，钻研业务开拓创新，遵纪守法协作互助。”A、多转行业多受锻炼B、忠于职守热爱本职C、见异思迁伺机转行D、不思进取但求稳定 辽源信息港 [单选]2013年5月1日张某与李某口头达成协议，将张某发明的可以提高计算机虚拟内存的A软件专利申请权转让给李某，双方于2013年6月1日签订书面合同，并于2013年7月1日向国务院专利行政部门进行了登记，国务院专利行政部门于2013年7月6日进行了公告。根据我国专利法律制度 辽源信息港 [单选]临床拟诊为肝管结石，下列哪种成像技术为首选()A．CTB．MRIC．CTAD．DSAE．0.MRA 辽源信息港 [单选]烧伤临床常用的磺胺嘧啶银霜剂的浓度是()A．1%B．5%C．10%D．20%E．以上都不是 辽源信息港 [问答题,简答题]编入列车的车辆对车钩缓冲装置的质量要求是什么？ 辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]大多数药物吸收的机制是（）A.逆浓度进行的消耗能量过程B.消耗能量，不需要载体的高浓度侧向低浓度侧的移动过程C.需要载体，不消耗能量的高浓度侧向低浓度侧的移动过程D.不消耗能量，不需要载体的高浓度侧向低浓度侧的移动过程E.有竞争转运现象 辽源信息港 [填空题]产品质量标准可分为国家标准、部门标准、企业标准及（）等。 辽源信息港 [单选]法定的公司成立日期是（）。A.公司申请设立登记的日期B.公司开业的日期C.公司营业执照签发日期D.公司申请营业执照的日期