随机多种群易感者、感染者和移出者传染病模型的阈值
传染病动力学模型
估计流行周期，预测爆发
1.估计基本再生数：
解析法
统计方法（简单直接）
下一代矩阵方法：1.将种群分类，广义感染者与广义易感者
2.改写广义感染者X的动力学方程：
3.计算无病平衡点DEF：
R0=
2.控制策略评估：
实施群体免疫：群体免疫覆盖率 ,R0要小一点
3.（1）存在周期解（2）发生环绕地方病平衡点的阻尼振荡
传染病动力学模型
常微分方程
仓室建模法：1.将研究群体分类：感染者，健康者；潜伏者，感染者/免疫者，易感者
2.将不同仓室用箭头加以连接（疾病传染规律）S->E->I->H；可再考虑出生、死亡、迁入
建立转移图
疾病类型：得病后免疫力：终身免疫：单向，不循环/暂时免疫，可循环
由病原体类型划分：病毒/细菌（能否循环）
R0>1:DEF不稳定，存在地方病平衡点，全局渐进稳定，疾病最终流行
R0= ,
R0的意义：在全部是易感者群体中引入一个感染者，最终感染人数
降维：变量可选各仓室人数与总的比例
讨论平衡点存在性：各导数为0（由实际意义所有解的分量非负），DEF,EE
平衡点稳定性
理论分析+数字模拟验证
模型应用：
估计基本再生数，预测流行趋势
SIR模型没有周期解，但EE可能是稳定焦点
课计算出EE的特征值，若根号里<0，则共轭复数根
当 时成立，由阻尼振荡可计算周期
真题：2003年SARS
基本概念生、死亡、额外（因病死亡率，输入，输出，隔离率，恢复率）
模型平衡点：无病平衡点DFE、地方病平衡点EE
经典SIR模型：
几个仓室几个变量，由转移图分别列常微分方程
(完整版)传染病动力学模型
课计算出EE的特征值，若根号里<0，则共轭复数根
当 时成立，由阻尼振荡可计算周期
真题：2003年SARS
传病动力学模型
常微分方程
仓室建模法：1.将研究群体分类：感染者，健康者；潜伏者，感染者/免疫者，易感者
2.将不同仓室用箭头加以连接（疾病传染规律）S->E->I->H；可再考虑出生、死亡、迁入
建立转移图
疾病类型：得病后免疫力：终身免疫：单向，不循环/暂时免疫，可循环
由病原体类型划分：病毒/细菌（能否循环）
评估控制策略
估计流行周期，预测爆发
1.估计基本再生数：
解析法
统计方法（简单直接）
下一代矩阵方法：1.将种群分类，广义感染者与广义易感者
2.改写广义感染者X的动力学方程：
3.计算无病平衡点DEF：
R0=
2.控制策略评估：
实施群体免疫：群体免疫覆盖率 ,R0要小一点
3.（1）存在周期解（2）发生环绕地方病平衡点的阻尼振荡
基本概念：
发生率：单位时间多少人被感染（双线性，标准型）
出生、死亡、额外（因病死亡率，输入，输出，隔离率，恢复率）
模型平衡点：无病平衡点DFE、地方病平衡点EE
经典SIR模型：
几个仓室几个变量，由转移图分别列常微分方程
基本再生数R0与阈值定理（现象）：
R0<1:存在无病平衡点且局部稳定/全局渐进稳定，疾病最终绝灭
R0>1:DEF不稳定，存在地方病平衡点，全局渐进稳定，疾病最终流行
R0= ,
R0的意义：在全部是易感者群体中引入一个感染者，最终感染人数
降维：变量可选各仓室人数与总的比例
数学建模_传染病模型
传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？关键字:传染病模型、建模、流行病摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。
20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。
还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。
长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，病人人数的增加，就有到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx==λ方程（1）的解为 )2()(0te x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
(完整word版)数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律,建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述,且针对甲流,SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系,并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果,从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作.关键词：传染病模型,简单模型，SI,SIS，SIR,微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型,利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究,以期对其传播蔓延进行必要的控制,减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题,建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望.1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病,而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系,并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭)进行预测.二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决.2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
传染病模型
传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？问题分析：关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。
20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。
长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。
数学建模模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，增加，就有病人人数的到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ∆+λ)(t t x t x t t x ∆=-∆+)()()(λ程有个病人，即得微分方时有再设00x t =)1()0(,d d 0x x x tx ==λ方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ=结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
具移民输入和时空时滞的非局部扩散传染病模型的行波解
具移民输入和时空时滞的非局部扩散传染病模型的行波解张丽娟; 王福昌【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2019(034)004【总页数】13页(P429-441)【关键词】移民输入; 非局部扩散; 行波解; Schauder不动点定理; 传染病模型【作者】张丽娟; 王福昌【作者单位】防灾科技学院河北三河 065201【正文语种】中文【中图分类】O175.14§1 引言传染病的数学模型研究从经典的“仓室”模型开始,已有大量的研究成果,许多传染病随着种群人员流动而扩散,故需要考虑空间因素的影响[1-3].最近很多学者采用积分算子来描述物种或疾病的扩散现象[4-5].Yang[5-6]等考虑了带有非局部扩散的传染病模型的行波解.Kendall[7]考虑了依赖空间的积分微分方程,即将模型中的线性发生率βSI换成具有积分形式的发生率:βSI(x,y)K(x−y)dy,其中核函数K(x−y)≥0表示位置y处染病个体对位置x处的易感个体的影响,且满足K(x−y)dy=1.另外,时滞的影响在分析传染病传播过程中也不可忽视[8-11].综合考虑上述因素结合文献[6]和文献[12],本文考虑一个更一般形式的具有移民输入和时空时滞的非局部扩散传染病模型:模型中传染力用βI/(1+αI)表示,这种传染率的重要性在于感染者和易感者的有效接触率将随着种群的拥挤作用或易感者采取保护措施而趋于饱和.di(i=1,2,3)表示三种状态人群的扩散系数,A表示种群输入率,β表示疾病的传染力,µ为种群自然死亡率,†为患病者因病死亡率,γ表示感染者的恢复率,G∗I(x,t)=,H>0是疾病的潜伏时间,表示易感者受到感染后变为感染者的最长潜伏时间[13-14],G(y,s)表示位置y处t−s时刻的感染者对位置x处t时刻易感者的影响.假设核函数J(x),G(x)满足下面条件:A1 J∈C1(R),J(x)=J(−x)≥0,J(x)dx=1且J具有紧支集.A2对∀(y,s)∈R×[0,H],G(y,s)是非负可积函数,且关于变量y是Lipschitz连续的.满足受文献[12]的启发,当R0=Aβ/µ(γ + µ+ †)>1,c>c∗ (c∗定义见引理1),通过在有界区域上构造一个初始函数的不变锥,利用Schauder不动点定理证明在该锥上存在不动点,得到行波解的存在性.§2 行波解的存在性本节给出系统(1)行波解存在性证明,即寻找形如(S(x+ct),I(x+ct),R(x+ct))的解.令x+ct,得系统(1)的行波方程:其中假设初始平衡点为(S0,0,0),其中S0>0.考虑模型(2)满足以下边界条件的非负解:另外,若R是有界的,则R(ξ)存在且R(+∞)=首先,对∀λ,c>0,定义函数通过计算可得∀c>0,另,对给定的λ>0有引理1 设R0=>1,则有c∗>0 和λ∗>0,使得 =0 且f(λ∗,c∗)=0成立,并且有下列结论:A1 当c>c∗时,方程f(λ,c)=0 有两个实根λ1(c),λ2(c),且0<λ1(c)<λ∗<λ2(c)<+∞.当λ1∈ (λ1(c),λ2(c))时,f(λ,c)<0;当λ1∈ (0,λ1(c))∪ (λ2(c),+∞)时f(λ,c)>0.A2 当0<c<c∗时,对∀λ>0,都有f(λ,c)>0.定理1 假设条件(A1)(A2)成立,且R0>1成立.(i) 对∀c>c∗,方程 (1) 存在一个行波解(S(ξ),I(ξ),R(ξ)),满足(ii) 若limsupξ→+∞R(ξ)<+∞,则R(ξ)=(iii) 若 c>max{c∗,d3m1},其中 m1:=J(y)|y|dy,则limsupξ→+∞R(ξ)<+∞.构造另一个函数:因为则可得存在λ0>0,当λ∈ (0,λ0)时,∆(λ,c)>0.接下来总是假设R0>1,c>c∗,记λi表示λi(c)(i=1,2), 定义连续函数S+(ξ)=S0,S−(ξ)=max{S0−σeα1ξ,ε1e−α2ξ},R+(ξ)=M1eηξ,R−(ξ)=0.I+(ξ)=min{eλ1ξ,,I−(ξ)=max{eλ1ξ(1 −Meηξ),0}. 其中σ,α1,α2,η,M和M1是待定的正常数,η∈ (0,λ0)足够小,且满足η<max{λ1,λ2−λ1}.成立.由J,G,I+(ξ)定义可知引理3 函数R+(ξ)满足证因为η∈(0,λ0),则∆(η,c)>0,取 M1足够大且满足由R+的定义可知:对∀ξ>ξ0,只需证明成立即可.故只要M1满足则(5)式成立.当ξ<ξ0时只需证明引理4 假设α1<λ1且α1是足够小的正数,σ>S0为足够大的正数,α2=,ε是相当小的正数使得S0−σeα1ξ = εe−α2ξ有负实数,令ξ1是较大的一个负实数根,ξ 6= ξ1时函数S−(ξ)满足证若ξ<ξ1则S−(ξ)=S0−σeα1ξ,I+(ξ)≤ eλ1ξ,从而只需证明由S−及I+定义可知只需证整理可得由α1<λ1,ξ<ξ1可知,只需证明对于任意的(φ(·),ϕ(·),χ(·))∈ΓX,定义考虑下面的初值问题:其中S(−X)=S−(−X),I(−X)=I−(−X),R(−X)=R−(−X). 由微分方程理论可知上述问题存在满足SX(·),IX(·),RX(·) ∈C1([−X,X]) 的唯一解.定义算子F=(F1,F2,F3):ΓX→C([−X,X])满足引理6 算子F:ΓX→ΓX是全连续的.证由上述(8)-(10)式可知结论成立.F1(φi,ϕi,χi)=SX,i(ξ),F2(φi,ϕi,χi)=IX,i(ξ),F3(φi,ϕi,χi)=RX,i(ξ),i=1,2,3.简单计算可得和则可得同理得为得到模型的行波解,下面给出(ξ)的估计,为方便将记为SX(.),IX(.),RX(.). 引理7(1)存在常数>0,对∀X>max{lnM,−ξ1},满足更有(2) 给定Y>0,则存在常数C(Y)>0当∀X>max{lnM,−ξ1}和X>Y+R1,有其中R1是J的支撑半径.证由上述(8)-(10)式可知结论成立.显然SX(·),IX(·),RX(·)满足现给出(1)的证明,对上面两边从−X到X积分得继续做积分运算,对式两边从−X到X积分可得同理可得存在常数C0>0(独立于X)使得下面证明(2).由(1)可得对∀ξ,η∈[−Y,Y],都存在常数L1>0使得利用上面第一个公式得因为J是Lipschitz连续的,令Lj是相应的Lipschitz常数,因此可得定理1(i)的证明取满足Xn>max{(1/η)lnM,−ξ1},Xn>Y+R1且limn→+∞Xn=+∞的序列{Xn}.对∀n存在(SXn,IXn,RXn)∈ΓXn满足引理7.由引理7知,存在满足下列条件的子序列{Xnk}:当k→+∞时,Xnk→+∞且Snk→S,Ink→I,Rnk→R在(R)中成立. 根据核函数的假设,有勒贝格控制收敛定理可得从而可得(S,I,R)满足系统并且S−(ξ)≤S(ξ)≤S0,I−≤I(ξ)≤I+(ξ),0 ≤R(ξ)≤R+(ξ)和由S−(ξ),R+(ξ)的定义得S(−∞)=S0,R(−∞)=0. 又由于I(ξ)dξ,+∞且I'(ξ)一致有界.从而可得I(±∞)=0.下证: ξ→ +∞时,S(ξ)的极限存在. 由于S(ξ) ≤S0则有limsupξ→+∞S(ξ)=S0,则有limsupξ→+∞S(ξ)≤S0,可以断言limsupξ→+∞S(ξ)<S0.否则limsupξ→+∞S(ξ)=S0.则对式的第一个方程从−X到X积分可得令ξ→∞,则产生矛盾.要证S→ +∞的极限存在,只需证liminfξ→+∞S(ξ)=limsupξ→+∞S(ξ).设liminfξ→+∞S(ξ)<limsupξ→+∞S(ξ)成立,则存在点列{ξn}和{ηn}满足且limn→+∞S(ξn)=limsupξ→+∞S(ξ):= σ1≤S0,S'(ξn)=0,limn→+∞S(ηn)=limsupξ→+∞S(ξ):= σ2≤σ1,S'(ηn)=0,limn→+∞J∗S(ξn)≤σ1,limn→+∞J∗S(ηn)≥σ2>0.由于I(+∞)=0和则limn→+∞J∗S(ξn)= σ1.令Sn(y)=S(ξn+y),取很小的正数ε,令其中Ω:=suppJ,可得则m(ε)=0,其中m表示测度.所以Sn(y)→σ1在Ω上处处成立.即对任意y∈Ω,都有Sn(y)→σ1.因为J∈Cl,故必存在R'≥δ'>0,使得[R'−δ',R'+ δ']∪ [−R'−δ',−R'+ δ']⊆Ω成立.令=ξn±R',则对任意y∈Ω当n→+∞时,有S(ξ±n+y)→σ1.特别的,对任意y∈[−δ',δ'],当n→ +∞时,有S(ξn+y)→σ1.重复上面过程可得:对任意y∈[−R1,R1],当n→∞时,有S(ξn+y)→σ1.其中Rl表示Ω的半径.另一方面,因为I(+∞)=0且则limn→+∞J∗S(ηn)= σ2.同理可得y∈ [−R1,R1],当n→∞时,有S(ξn+y)→σ1.对式从ηn到ξn积分可得产生矛盾,所以liminfξ→+∞S(ξ)=limsupξ→+∞S(ξ):=S∞<S0,证毕.定理1(ii)的证明若limsupξ→+∞R(ξ)<+∞,先证存在正数R∞使得limξ→+∞R(ξ):=R∞. 假设limsupξ→+∞R(ξ)>liminfξ→+∞R(ξ),同前一步方法类相同,可得存在正数R∞使得limξ→+∞R(ξ)=R∞.对式(8)-(10)的第一个方程两边从−∞到+∞积分可得由式(8)-(10)的第二个方程可得由式(8)-(10)的第三个方程可得定理1(iii)的证明由上可得系统的渐进行波解得渐进行为.知limsupξ→+∞R(ξ)<+∞是模型的存在行波解得一个充分条件,目的是确保R(+∞)存在.但并不能排除limsupξ→+∞R(ξ)=+∞这种情况.事实上当波速c相当时,可得出R(+∞)是有接的.具体证明可参考文献[5].§3 讨论本文考察一个具有时空时滞的非局部扩散的传染病模型,并对其行波解的存在性做了论述,临界条件与微分方程结论相同,因此可以说疾病的传播不依赖于个体之间的非局部扩散和非局部反应.由=0可得所以传染者的扩散能力越大,疾病传播的最小波速越小,也可以看出移民输入比率越大,最小波速越小,移民比率的快速增长是疾病传播中比较重要的因素,这与实际吻合.另外,可以通过设定特殊的核函数来研究潜伏期对最小波速的影响,从而实现更好的对疾病的控制.参考文献:【相关文献】[1] Li Jing,Zou Xingfu．Modeling spatial spread of infectious disesses with a fixed latent period in a spatially continuous domain[J]．Bulletin of MathematicalBiology,2009,71(18):2048-2079．[2] Hosono Y,Llyas B．Traveling waves for a simple diffusive epidemicmodel[J]．Mathematical Models&Methods in Applied Sciences,1995,5(7):935-966．[3] Wu Chufen,Weng Peixuan．Asymptotic speed of propagation and traveling wave fronts for a SIR epidemic model[J]．Discrete and Continuous Dynamical Systems(SeriesB),2011,15(3):867-892．[4] MurraryJD．MathematicalBiologyII:SpatialModelsandBiomedicalApplications[M]．Berlin:Springer,2003．[5] Yang Feiying,Li Wantong,Wang Zhicheng．Traveling waves in a nonlocal dispersal SIRepidemic model[J]．Nonlinear Analysis:Real World Applications,2015,23(7):129-147．[6] 邹霞,具有时空时滞的非局部扩散SIR模型的行波解[J],应用数学和力学,2018,39(5):611-630.[7] Kendall D G．Mathematical models of the spread ofinfection[J]．Mathematics&Computer Science in Biology&Medicine,1965:213-225. [8] Diekmann O．Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection[J]．Journal of Mathematical Biology,1978,6(2):109-130．[9] Thieme H R ．A model for the spatial spread of an epidemic[J]．Journal of Mathematical Biology,1977,4(4):337-351．[10]ThiemeH R．Theasymptoticbehaviourofsolutionsofnonlinearintegralequations[J]．Mathematische Zeitschrift,1977,157(2):141-154．[11]Huang G,Takeuchi Y．Global analysis on delay epidemiological dynamic models with nonlinear incidence[J]．Journal of Mathematical Biology,2011,63(1):125-139．[12]Yang Feiying,Li Yan,Li Wantong,et al.Traveling waves in a nonlocal dispersal Kermach-Mckendrick epidemic model[J],2013,18(7):1969–1993.[13]Beretta E,Takeuchi Y.Global stability of an SIR epidemic model with timedelays[J].Journal of Mathematical Biologym1995,33(3):250-260.[14]Bai Zhenguo,Zhang Shengli.Traveling waves of a diffusive SIR epidemic model with a class of nonlinear incidence rates and distributed delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2015,22(1/3):1370-1381.。
传染病模型
指标评估
使用预测准确率、召回率、F1 分数等指标对模型进行评估， 综合考虑模型的精度和召回能 力。
可解释性评估
对模型的预测结果进行可解释 性分析，了解模型在各个特征
上的权重和影响程度。
05
传染病预测与决策支持
预测方法与技术
统计模型
利用历史数据，通过回归分析、时间序列分析等统计方法，预测 传染病发展趋势。
传播路径
疾病在网络中的传播路径 取决于节点之间的连接方 式和边的权重。
时变接触率模型
接触率的定义
01
接触率是指单位时间内个体与他人接触的概率或频率。
时变接触率
02
随着时间的变化，个体的行为和社交模式会发生变化，导致接
触率也随之变化。
模型构建
03
时变接触率模型需要考虑时间因素，根据不同时间段的数据来
04
模型参数估计与验证
数据收集与处理
数据来源
收集与传染病相关的监测数据、病例报告、实验 室检测数据等。
数据清洗
对数据进行预处理，包括缺失值填充、异常值处 理、数据格式转换等。
数据标准化
对数据进行标准化处理，消除量纲和单位对模型 的影响。
参数估计方法
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的残差平方和来估计模型参数。
跨学科合作
传染病模型研究需要跨 学科合作，包括数学、 生物学、医学、社会科 学等。
数据驱动方法
利用大数据和人工智能 技术，可提高传染病模 型的预测精度和实用性 。
前景展望
随着技术的不断进步， 传染病模型将更加精细 化，为观看
SEIRS模型
总结词
易感者、暴露者、感染者、康复者、再次易感者模型
详细描述
传染病模型
染病类(Infectives)：其数量记为I(t)，表示t时刻已经
被感染成病人而且具有传染力的人数；
移出类(Removed)：其数量记为R(t)，表示t时刻已经从染
病类移出的人数；
Susceptibles
Infectives
模型1
假设 建模
已感染人数（病人）
i (t )
1/ σ 阈值
• s0 < 1 / σ ( P2 ) → i (t )单调降至0
模型4
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——
s0 < 1 / σ
• 提高阈值1 / σ ⇒ σ ( = λ / µ ) ↓⇒ λ ↓, µ ↑
λ (日接触率)↓ ⇒ 卫生水平↑ µ(日治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑
• 降低s0 ( s0 + i0 + r0 = 1) ⇒ r0 ↑
t
tm~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率)↓ → tm↑
1 − 1 t m = λ ln i 0
t → ∞ ⇒ i →1 ?
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染
SIS 模型
3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率
建模 N [i (t + ∆t ) − i (t )] = λNs (t )i (t ) ∆t − µNi (t ) ∆t
第二部分 建立模型前的准备工作
1. 艾滋病发展阶段
感染
潜伏
发病
死亡
2个 月
8年
1年
每年的新发HIV感染数
年龄段 性别 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 男 13.5 0 10.65 8.18 5.63 4.39 1.24 0 0 0.34 0 0 0 0 合计(千人) 45.06 2000 女 6.44 2.31 2.25 3.43 0.89 0.98 0.89 0.32 0 0.28 0 0 0 0 18.86 男 12.48 0 9.86 7.23 6.5 5.06 1.08 0 0 0.39 0 0 0 0 43.78 2001 女 5.94 1.08 1.73 2.94 0.47 1.26 0.71 0.36 0 0.25 0 0 0 0 15.89 男 21.21 7.83 22.7 24.19 22.51 15.96 8.21 0 0.76 0.73 0 0 0 0 125.5 2002 女 9.02 5.81 7.04 7.79 4.15 3.26 2.22 1.35 0 0.42 0 0 0 0 42.45 男 19.13 5.32 16.14 17.34 18.67 12.27 4.13 0 1.04 0.51 0 0 0 0 96.2 2003 女 8.91 4.75 5.53 6.75 3.73 3.43 1.52 1.3 0 0.42 0 0 0 0 37.9 男 25.7 10.6 20.52 24.78 27.45 18.05 6.35 0 1.84 0.48 0 0 0 0 137.7 2004 女 11.62 7 6.6 8.17 5.42 4.43 2.09 1.91 0 0.58 0 0 0 0 49.65 男 35.95 19.4 28.71 38.62 43.4 29.7 12.58 0.96 3.18 0.55 0 0 0 0 215.5 2005 女 16.64 11.79 10.15 13.12 9.81 7.22 3.53 3.21 0 1.11 0 0 0 0 78.89
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Abstract: For a stochastic differential equation epidemic model of multi-group susceptical infective and removal (SIR) S type, we define the basic reproduction number R0 and show that it is a sharp threshold for the dynamics of the stochastic multi-group SIR model which determines whether the epidemic occurs or not. Our analytic results of stochastic stabilization applies a new viable measure to disease control. Furthermore, we investigate the global asymptotic behaviour of the disease. Finally we give numerical simulation to illustrate our analytical results. Key words: stochastic multi-group SIR model; sharp threshold; asymptotically stable; stochastic stabilization
Sharp threshold of a multi-group susceptical infective and stic perturbation
ZHONG Xiao-jing1,2 , DENG Fei-qi1†
(1. School of Automation, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong 510640, China; 2. School of Mechanical and Electric Engineering, Guangzhou University, Guangzhou Guangdong 510006, China)
第 33 卷第 10 期 2016 年 10 月 DOI: 10.7641/CTA.2016.50240
控 制 理 论 与 应 用
Control Theory & Applications
Vol. 33 No. 10 Oct. 2016
随机多种群易感者、 感染者和移出者传染病模型的阈值
钟晓静1,2 , 邓飞其1†
1 Introduction
Epidemic models have been proposed for modeling the spread process of infectious diseases, they describe the transmission dynamics of an infectious disease in a host population. Multigroup model is a special type of epidemic model which describes infectious diseases transmission in heterogeneous host populations, such as meals, mumps, gonorrhea, HIV/AIDS, WestNile virus and vector borne diseases such as Malaria. Groups can be separated by different factors: region graphical, gender, differences and so on. One of the earliest works on multi-group models is the seminal paper by Lajmanovich and Yorke[1] on a class of multi-group SIS model for the transmission dynamics of Gonorrhea, they established a complete analysis of the global dynamics. The global stability of the unique equilibrium is proved by using a complete analysis of the global Lyapunov function. Subsequently, much research has been done on multi-group models, such as[2] , Beretta and Capasso developed a graph theoretic method to analysis the global stability of a multi-group SIR model. This
(1. 华南理工大学 系统工程研究所, 广东 广州 510640; 2. 广州大学 机械与电气工程学院, 广东 广州 510006)
摘要: 本文建立了一类随机多种群易感者、 感染者和移出者(susceptical infective and removal, SIR)传染病微分方程 模型, 针对模型找到与随机因素相关的阈值用于判定疾病的消亡与否. 通过阈值里随机干扰的作用给出疾病防控的新方 法—–随机镇定. 与此同时, 本文探究无病平衡点的全局稳定性并通过数据仿真实例解释上述理论结果的正确性和可行 性. 关键词: 随机多种群SIR传染病模型; 阈值; 渐进稳定性; 随机镇定 中图分类号: TP273 文献标识码: A