显式&隐式求解
隐式求解与显式求解.
大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显示求解方法有明显的优越性。
下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。
动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。
在80年代中期以前，人们基本上采用纽曼法进行时间域的积分。
根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)] (1)v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)] (2)上面式子中 u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和V(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数，△t为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。
由式(1)和式(2)可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度、加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解，这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。
这就是通常所说的隐式求解法。
隐式求解法可能遇到两个问题。
一是迭代过程不一定收敛，二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。
隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。
如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系式：u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)(△t)^2 (3)v (i+1)=[u (i+1)-u (i-1)]／2(△t) (4)式中u(i-1)，为i -1时刻的位移。
由式(3)可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。
另外，只要将运动过程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
显式求解法的优点是它既没有收敛性问题，也不需要求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。
所谓显式和隐式
所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。
并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不通。
显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。
过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。
解题费用非常昂贵。
因此在建模划分网格时要非常注意。
隐式求解和时间无关，采用的是牛顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数方程组），因此存在一个迭代收敛问题，不收敛就的不到结果。
两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。
实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。
由于两者解题的出发点，所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。
隐式用来求解和时间无关的静力学问题。
但也不是绝对的。
比如，用隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改用显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费用也是相当客观的。
另外，隐式也可以求解动力学问题。
显式数组法-概述说明以及解释
显式数组法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述显式数组法是一种用于处理数据的方法，它通过明确地定义数组来存储和操作数据。
在该方法中，数组的大小和每个元素的类型都需要事先确定，这使得对数据的访问和修改变得更加高效。
显式数组法可以应用于各种领域，例如计算机科学、数学和工程等。
在显式数组法中，数组被视为一种包含多个元素的有序集合。
每个元素在数组中都有一个唯一的索引，通过索引可以快速访问和修改对应位置的元素。
这种明确的索引关系使得对数组的操作更加直观和方便。
显式数组法的应用场景非常广泛。
在计算机科学领域，它被广泛应用于数据结构和算法的实现中。
例如，很多排序算法和搜索算法都使用显式数组来存储和处理数据。
此外，显式数组法也可以用于编写游戏程序、图形处理和模拟等领域。
显式数组法具有一些优点和缺点。
其中的优点包括高效的数据访问和修改操作、直观的数据组织形式以及可以应用于各种领域。
然而，显式数组法也存在一些缺点，例如对数组大小的限制和需要事先确定数组元素的类型等。
总结起来，显式数组法是一种用于处理数据的有效方法，它通过明确地定义数组来存储和操作数据。
它在计算机科学和其他领域中有广泛的应用，并具有一些优点和缺点。
对于未来的发展，显式数组法有望进一步改进和扩展，以适应更多领域的需求。
1.2文章结构1.2 文章结构本文总共分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要对显式数组法进行概述并介绍文章的结构和目的。
首先，我们会简要介绍什么是显式数组法以及它的定义和原理。
接下来，我们会探讨显式数组法在实际应用场景中的具体应用，并分析其优缺点。
最后，我们将总结显式数组法的特点，并对其未来的发展进行展望。
正文部分是本文的核心内容，将详细介绍显式数组法的定义、原理、应用场景以及优缺点。
在2.1节中，我们将对显式数组法进行准确定义，并解释其背后的基本原理。
在2.2节中，我们会探讨显式数组法在不同领域的应用场景，并举例说明其实际应用的价值和效果。
ansys中显式与隐式
显式与隐式方法对比：隐式时间积分——不考虑惯性效应（[C]and[M]）。
——在t＋△t时计算位移和平均加速度：{u}={F}/[K]。
——线性问题时，无条件稳定，可以用大的时间步。
——非线性问题时，通过一系列线性逼近（Newton－Raphson）来求解；要求转置非线性刚度矩阵[k]；收敛时候需要小的时间步；对于高度非线性问题无法保证收敛。
显式时间积分——用中心差法在时间t求加速度：{a}=([F(ext)]-[F(int)])/[M]。
——速度与位移由：{v}={v0}+{a}t,{u}={u0}+{v}t——新的几何构型由初始构型加上{X}={X0}+{U}——非线性问题时，块质量矩阵需要简单的转置；方程非耦合，可以直接求解；无须转置刚度矩阵，所有的非线性问题（包括接触）都包含在内力矢量中；内力计算是主要的计算部分；无效收敛检查；保存稳定状态需要小的时间步。
关于文件组织：jobname.k——lsdyna输入流文件，包括所有的几何，载荷和材料数据jobname.rst——后处理文件主要用于图形后处理（post1），它包含在相对少的时间步处的结果。
jobname.his——在post26中使用显示时间历程结果，它包含模型中部分与单元集合的结果数据。
时间历程ASCII文件——包含显式分析额外信息，在求解之前需要用户指定要输出的文件，它包括：GLSTAT全局信息，MATSUM材料能量，SPCFORC节点约束反作用力，RCFORC接触面反作用力，RBDOUT刚体数据，NODOUT 节点数据，ELOUT单元数据……在显式动力分析中还可以生成下列文件：D3PLOT——类似ansys中jobname.rstD3THDT——时间历程文件，类似ansys中jobname.his关于单元：ANSYS/LSDYNA有7中单元（所有单元均为三维单元）:LINK160:显式杆单元；BEAM161：显式梁单元；SHELL163：显式薄壳单元；SOLID164：显式块单元；COMBI165：显式弹簧与阻尼单元；MASS166：显式结构质量；LINK167:显式缆单元显式单元与ansys隐式单元不同：——每种单元可以用于几乎所有的材料模型。
显式计算公式是什么意思
显式计算公式是什么意思在数学和物理学中，我们经常会遇到各种各样的公式和方程式。
这些公式和方程式用来描述各种现象和规律，帮助我们理解世界的运行方式。
其中，有一种特殊的公式叫做显式计算公式，它在数学和物理学中都有着重要的应用。
那么，显式计算公式究竟是什么意思呢？本文将对此进行详细的解释。
首先，我们来看一下显式计算公式的定义。
在数学上，显式计算公式是指用特定的数学表达式来表示一个函数或者序列的公式。
这个数学表达式可以直接计算出函数或者序列的值，而不需要通过递归或者迭代的方式来计算。
换句话说，显式计算公式是一种直接计算出函数或者序列值的公式，而不需要通过其他方式来求解。
在物理学中，显式计算公式也有着类似的定义。
在物理学中，我们经常会遇到各种各样的物理规律和定律，这些规律和定律通常可以用数学公式来表示。
而显式计算公式就是这些物理规律和定律的数学表达式，它们可以直接计算出物理量的值，而不需要通过其他方式来求解。
显式计算公式在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，显式计算公式常常用来表示各种函数和序列，比如等差数列、等比数列等。
通过显式计算公式，我们可以直接计算出函数或者序列的值，而不需要通过递归或者迭代的方式来求解。
这在数学中有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解和应用各种数学概念和定理。
在物理学中，显式计算公式同样有着重要的应用。
物理学中常常会用到各种物理规律和定律，这些规律和定律通常可以用数学公式来表示。
而显式计算公式就是这些物理规律和定律的数学表达式，它们可以直接计算出物理量的值，而不需要通过其他方式来求解。
这在物理学中同样有着重要的意义，可以帮助我们更好地理解和应用各种物理规律和定律。
总的来说，显式计算公式是一种用特定的数学表达式来表示函数或者序列的公式，它可以直接计算出函数或者序列的值，而不需要通过其他方式来求解。
在数学和物理学中，显式计算公式都有着重要的应用，可以帮助我们更好地理解和应用各种数学概念和物理规律。
显式与隐式方法对比.
显式与隐式方法对比显式与隐式方法对比：隐式时间积分——不考虑惯性效应（[C]and[M]）。
——在t＋△t时计算位移和平均加速度：{u}={F}/[K]。
——线性问题时，无条件稳定，可以用大的时间步。
——非线性问题时，通过一系列线性逼近（Newton－Raphson）来求解；要求转置非线性刚度矩阵[k]；收敛时候需要小的时间步；对于高度非线性问题无法保证收敛。
显式时间积分——用中心差法在时间t求加速度：{a}=([F(ext)]-[F(int)])/[M]。
——速度与位移由：{v}={v0}+{a}t,{u}={u0}+{v}t——新的几何构型由初始构型加上{X}={X0}+{U}——非线性问题时，块质量矩阵需要简单的转置；方程非耦合，可以直接求解；无须转置刚度矩阵，所有的非线性问题（包括接触）都包含在内力矢量中；内力计算是主要的计算部分；无效收敛检查；保存稳定状态需要小的时间步。
关于文件组织：jobname.k——lsdyna输入流文件，包括所有的几何，载荷和材料数据jobname.rst——后处理文件主要用于图形后处理（post1），它包含在相对少的时间步处的结果。
jobname.his——在post26中使用显示时间历程结果，它包含模型中部分与单元集合的结果数据。
时间历程ASCII文件——包含显式分析额外信息，在求解之前需要用户指定要输出的文件，它包括：GLSTAT全局信息，MATSUM材料能量，SPCFORC节点约束反作用力，RCFORC接触面反作用力，RBDOUT刚体数据，NODOUT节点数据，ELOUT单元数据……在显式动力分析中还可以生成下列文件：D3PLOT——类似ansys中jobname.rstD3THDT——时间历程文件，类似ansys中jobname.his关于单元：ANSYS/LSDYNA有7中单元（所有单元均为三维单元）:LINK160:显式杆单元；BEAM161：显式梁单元；SHELL163：显式薄壳单元；SOLID164：显式块单元；COMBI165：显式弹簧与阻尼单元；MASS166：显式结构质量；LINK167:显式缆单元显式单元与ansys隐式单元不同：——每种单元可以用于几乎所有的材料模型。
函数的三种表示方法
函数的三种表示方法函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种特殊的关系，即对于每一个自变量，都有唯一确定的因变量与之对应。
在数学中，函数的表示方法有很多种，本文将介绍函数的三种表示方法，显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
首先，我们来看显式表示法。
显式表示法是指通过一个公式或者表达式来明确地表示函数。
例如，对于函数y = 2x + 3，这就是一个显式表示的函数。
在这个表示方法中，我们可以直接通过公式或者表达式来求解函数的值，而不需要进行其他的转换或者计算。
其次，我们来介绍参数方程表示法。
参数方程表示法是一种将自变量用参数表示的函数表示方法。
通常情况下，参数方程表示法常常用于描述曲线或者曲面。
例如，对于二维平面上的一条曲线，可以用参数方程表示为x = f(t)，y = g(t)，其中t为参数。
通过参数方程表示法，我们可以更加直观地描述曲线的形状和特征。
最后，我们来讨论隐式表示法。
隐式表示法是一种将自变量和因变量之间的关系用方程式表示的函数表示方法。
在隐式表示法中，通常会出现方程中同时包含自变量和因变量的情况，例如x^2 + y^2 = 1。
通过这种表示方法，我们可以描述一些复杂的函数关系，例如圆、椭圆等。
综上所述，函数的三种表示方法分别是显式表示法、参数方程表示法和隐式表示法。
每种表示方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体的问题和需求来选择合适的表示方法。
通过灵活运用这三种表示方法，我们可以更加深入地理解和应用函数的概念，为数学建模和问题求解提供更多的可能性。
希望本文的介绍能够帮助读者更加清晰地理解函数的表示方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
显示算法与隐式算法
以下内容转自abaqus版面的总结：显式一般用于动态问题的分析, 对于大型问题, 或复杂的接触情况可能需要几百万的增量步的计算, 所用时间可能是几天或更长. 而隐式的增量步长要长得多, 一般用于静态问题的求解.显式算法别explicit method use direct iterative method, which has small cost in eachtime increment but require relatively small increment. Abaqus pre-determinethe time increment based on wave propagation speed and minimum meshsize. This method could be efficient for highly nonlinear and contact problem.For quasi-static problem, properly adjust model parameter as density and totaltime is important to achieve good computation time.standard-隐式算法Implicit method use newton method for iteration, which means high cost foreach time increment but could mean large time increment. Convergencecould be a problem in this case. It could be efficient for linear and some nonlinear problem. More materials, elements and procedures are available in standard.所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。
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通过(03)(09)可以得到两种方法的计算特点，显式算法是每一步求解为矩阵乘法，时间步 选择为条件稳定；隐式算法是每一步求解为线性方程组求解，时间步选择为无条件稳定。 下面主要分析两种方法的应用范围。 在求解动力学问题时，将方程在空间上采用有限元法（或其他方法）进行离散后，变为 常微分方程组
C u K u f M u
只不过，在显示动力分析中最消耗 CPU 的一项就是单元的处理。由于积分点的个数与 CPU 时间成正比，采用简化积分的单元便可以极大的节省数据存储量和运算次数，进而提高 运算效率。除节省 CPU 外，单点积分单元在大变形分析中同样有效，Ansys/ls-dyna 单元能承 受比标准 Ansys 隐式单元更大的变形。因此，每种显示动力单元确省为单点积分。但单点积 分有两个缺点：1.出现零能模型（沙漏模态）；2.应力结果精确度与积分点相关。为了控制沙 漏，可以采用全积分单元。 总结一下，显示算法、隐式算法与单点积分、全积分不是一个层次上的概念。 我们在求解问题的时候应先根据我们的问题类型来决定是采用显示算法还是隐式算法。 如果是采用显示算法，默认是单点积分，如果产生了沙漏，改用全积分。
u (i 1) 2u (i ) u (i 1) a (i )(t )2 v(i 1) u (i 1) u (i 1) 2t
由上式可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻 的位移求解无需迭代过程。另外，只要将运动方程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时 刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式算法。显式算 法的优点是它即没有收敛性问题，也不需求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分 稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。 显式算法是 ansys/ls-dyna 中主要的求解方法，用于分析大变形、瞬态问题、非线性动力 学问题等。 对于非线性分析， 显示算法有一些基本的特点， 如： 块质量矩阵需要简单的转置； 方程非耦合，可以直接求解；无须转置刚度矩阵，所有的非线性问题（包括接触）都包含在 内力矢量中；内力计算是主要的计算部分；无效收敛检查；保存稳定状态需要小的时间步。 显式算法和隐式算法， 有时也称为显式解法和隐式解法， 是计算力学中常见的两个概念， 但是它们并没有普遍认可的定义，下面收集的一些理解。先看看一般对两种方法的理解和比 较 ============================================================= 显式算法 隐式算法 ----------------------------------------------------------------------------------(01)适用问题 动力学（动态） 静力学（静态） (02)阻尼 人工阻尼 数值阻尼 ----------------------------------------------------------------------------------(03)每步求解方法 矩贮量 小 大 (06)每步计算速度 快 慢 (07)迭代收敛性 无 有 (08)确定解 有确定解 可能是病态无确定解 ----------------------------------------------------------------------------------(09)时步稳定性 有条件 无条件 (10)时间步 小 大 (11)计算精度 低 高 ============================================================= (01)是明显不对的， 只是对两种方法的初级理解， (02)也是同样。 下面要详细讨论这两点。 (03)是每一步求解的方法，(04)(05)(06)(07)(08)是由(03)所决定的，它们不是两种方法的基本 特点。同样，(09)是时间步选择的方法，(10)(11)是由(09)所决定的。
<显式动力学&隐式动力学分析>
1、显式算法基于动力学方程，因此无需迭代；而静态隐式算法基于虚功原理，一般需要迭代 计算 2、显式算法最大优点是有较好的稳定性。 动态显式算法采用动力学方程的一些差分格式，不用直接求解切线刚度，不需要进行平 衡迭代，计算速度快，时间步长只要取的足够小，一般不存在收敛性问题。因此需要的内存 也比隐式算法要少。并且数值计算过程可以很容易地进行并行计算，程序编制也相对简单。 但显式算法要求质量矩阵为对角矩阵，而且只有在单元级计算尽可能少时速度优势才能发挥, 因而往往采用减缩积分方法，容易激发沙漏模式，影响应力和应变的计算精度。静态显式法 基于率形式的平衡方程组与 Euler 向前差分法，不需要迭代求解。由于平衡方程式仅在率形 式上得到满足，所以得出的结果会慢慢偏离正确值。为了减少相关误差，必须每步使用很小 的增量。 3、隐式算法 隐式算法中，在每一增量步内都需要对静态平衡方程进行迭代求解，并且每次迭代都需 要求解大型的线性方程组，这个过程需要占用相当数量的计算资源、磁盘空间和内存。该算 法中的增量步可以比较大，至少可以比显式算法大得多，但是实际运算中上要受到迭代次数 及非线性程度的限制，需要取一个合理值。 4、求解时间 使用显式方法，计算成本消耗与单元数量成正比，并且大致与最小单元的尺寸成反比； 应用隐式方法，经验表明对于许多问题的计算成本大致与自由度数目的平方成正比； 因此如果网格是相对均匀的，随着模型尺寸的增长，显式方法表明比隐式方法更加节省计算 成本 隐式算法 将冲压成型过程的计算作为动态问题来处理后，就涉及到时间域的数值积分方法问题。 在 80 年代中期以前，人们基本上使用纽曼法进行时间域的积分。根据纽曼法，位移、速度和 加速度有着如下的关系：
附加说明： 1)求解线性静力学问题，虽然求解线性方程组，但是没有时步的关系，所以不应将其看作隐 式算法。 2)求解非线性静力学问题，虽然求解过程需要迭代，或者是增量法，但是没有明显的时步问 题，所以不应将其看作隐式算法。 3)静态松弛法，可以认为是将动力学问题看作静力学问题来解决，每一步达到静力平衡，需 要数值阻尼。 4)动态松弛法，可以认为是将静力学问题或者动力学问题，分为时步动力学问题，采用向后 时步迭代的思想计算。对于解决静力学问题时，需要人工阻尼。 按照计算每一时刻动力反应是否需要求解线性方程组，可将直接积分法分为隐式积分方法和 显式积分方法两类。 隐式积分法是根据当前时刻及前几时刻体系的动力反应值建立以下一时刻动力反应值为未知 量的线性方程组， 通过求解方程组确定下一时刻动力反应。 隐式方法的研究和应用由来已久， 常用的方法有线性加速度法、 常平均加速度法、 Newmark 方法、 Wilson-θ 法、 Houbolt 方法等。 显式积分法可由当前时刻及前几时刻的体系动力反应值直接外推下一时刻的动力反应值，不 需要求解线性方程组，实现了时间离散的解耦。解方程组一般占整个有限元求解程序耗时的 70％左右，因此，这一解耦技术对计算量的节省是可观的。 隐式方法大部分是无条件稳定的，显式方法为条件稳定。显式方法的稳定性可以按满足精度 要求的空间步距确定满足数值积分稳定性要求的时问步距来实现。显式方法受条件稳定的限 制，时间积分步长将取得较小，但计算经验表明，对于一些自由度数巨大且介质呈非线性的 问题，显式法比隐式法所需的计算量要小得多。 因此，随着所考虑问题复杂性的增加，显式积分法同益得到重视。
u (i 1) u (i) t v(i ) (1 2 p)a (i ) 2 pa (i 1) v(i 1) v(i) t (1 2q )a(i) 2qa(i 1)
上面式子中， u(i+1)和 u(i) 分别为当前时刻和前一时刻的位移， v(i+1)和 v(i)为当前时刻和 前一时刻的速度， a(i+1)和 a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p 和 q 为两个待定参数。由 上式可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度和加速度都相互关联，这就使得运动方程的求 解变成一系列相互关联的非线性方程的求解。这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组 才能实现。这就是通常所说的隐式算法。隐式算法可能遇到两个问题：一是迭代过程不一定 收敛；二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。隐式算法的最大优点是它具有无条件稳 定性，即时间步长可以任意大。 隐式算法不考虑惯性效应[C]和[M]。对于线性问题，无条件稳定，可以用大的时间步。 对于非线性问题，通过一系列线性逼近（Newton-Raphson）来求解；要求转置非线性刚度矩
求解这种方程的其中两种方法为，中心差分法和 Newmark 法。采用中心差分法解决动力学问 题被称为显式算法，采用 Newmark 法解决动力学问题被称为隐式算法。 在求解动力学问题时，离散元法（也有其他方法）主要有两种思想：动态松弛法（向后 时步迭代），静态松弛法（每一步要平衡）。动态松弛法是显式算法，静态松弛法是隐式算 法。其中冲压成型就是动态松弛法的主要例子。 在求解静力学问题时，有时候将其看作动力学问题来处理而采用动态松弛法，这是显式 算法。其中冲压成形就是主要例子。 最后总结， ============================================================= 显式算法 隐式算法 ------------------------------------------------------------------------------(01)每步求解方法 矩阵乘法 线性方程组 (02)时步稳定性 有条件 无条件 ------------------------------------------------------------------------------(03)适用问题 动力中心差分法 动力 Newmark 法 动力动态松弛法 动力静态松弛法 静力动态松弛法 ============================================================= 弄清楚了隐式和显示算法后，简单说一下单点积分和全积分。Ansys 作为一种有限单元 法，它是一种离散化的数值解法。 有限单元法中，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示，每一结构构件的力与位移之间 的关系不是精确推导出来的，而是利用每一单元中近似的位移函数得到节点位移，然后计算 积分点应变和应力，输出时才根据用户请求将积分点结果复制或线性外推至单元的节点上。 因此，有限单元法是一种近似的数值方法。先看一下积分点的概念： 计算刚度矩阵需要进行数值积分，Ansys 采用高斯积分法，即采用各积分点处函数值与 积分系数乘积之和，因此积分点也称高斯积分点。积分点位置的确定比较复杂，它是勒让德 多项式 Ln(x)的 n 个不同的实根，即需要求解勒让德多项式。对于面、体单元，在积分点处计 算单元结果也比较精确。 由此可知， 积分点与节点完全不同， 不同单元积分点位置也不一样， 个别梁单元也没有积分点。 Gauss 积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需阶数的积分称为缩减积分,简单地 说就是数值积分采用比精确积分要求少的积分点数。实际计算表明，采用缩减积分往往可以 取得较完全精确积分更好的精度。 因此，所谓单点积分和全积分实际上指的是高斯积分时所采用的积分点的个数。这样说 来，单点积分和全积分与显示算法和隐式算法没有本质的联系。