初中数学青岛版八年级上册第5章 几何证明初步5.6 几何证明举例-章节测试习题(5)

章节测试题1.【题文】如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分，与轴交于点，．（）求证：．（）如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长．（）如图，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【答案】见解析．【分析】（1）利用AAS证明ACD和BCD全等，可以得到AC=BC.(2) 过作于，利用(1)的结论证明EMD和BOD全等，MD和COD全等，利用等量代换可得的长.(3) 由（）可知：，在轴负半轴上取，连接，证明和全等，≌，可以得到.【解答】（）证明：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴≌，∴．（）解：过作于，由（）得，∵，∴，∵，又∵平分，∴，，∴≌，∴，∴，，，，∴≌，∴，∴．（）解：由（）可知：，在轴负半轴上取，连接，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴≌，∴．2.【题文】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是．是等边三角形，点在所在直线上运动，连接，在所在直线的右侧作，交的外角的角平分线所在直线于点．（）如图，当点在线段上时，请你猜想与的大小关系，并给出证明．（）如图，当点在线段的反向延长线上，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．【答案】（）；（）成立．【分析】（1）利用等边三角形的特殊条件，证明ABD和ACE全等，AD=AE.【解答】（）证明：∵为等边三角形，∴，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴≌，∴．（）成立．证明：∵为等边三角形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴≌，∴．3.【题文】如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．【答案】答案见解答．【分析】选择①、②、④作为题设，③作为结论，由BE=CF可得BC=EF，再结合已知条件不难证明△ABC≌△DEF，所以证明出∠ABC=∠DEF.【解答】解：题设：AB=DE，AC=DF，BE=CF，结论：∠ABC=∠DEF．证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，,∴△ABC≌△DEF（SSS）,∴∠ABC＝∠DEF．4.【题文】如图1，OA＝1，OB＝3，以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求点C的坐标;（2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向下运动时，以P点为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求PO-DE的值．【答案】见解析【分析】（1）如图1，过C作CD⊥x轴于D．构建全等三角形：△CDA≌△AOB （AAS），则AD=OB=3，CD=OA=1，故OD=4，所以易求C（﹣4，﹣1）；（2）如图2，过点Q作QR⊥y轴于R．则四边形QEOR是矩形，通过证△OPA≌△RQP（AAS），推知OA=PR，则OR=OP﹣PR=OP﹣OA，所以OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始终保持不变．【解答】解：（1）如图，过C作CD⊥x轴于D．∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，∴∠1+∠OAB=∠2+∠OAB=90°，∴∠1=∠2在△CDA与△AOB中，∵∠CDA=∠AOB，∠1=∠2，CA=AB，∴△CDA≌△AOB （AAS），∴AD=OB=3，CD=OA=1，∴OD=4，∴C（﹣4，﹣1）；（2）如图，过点Q作QR⊥y轴于R．则四边形QEOR是矩形，∴QE=OR．∵∠APQ=90°，∴∠1+∠QPR=∠2+∠QPR=90°，∴∠1=∠2在△APO与△PQR中，∵∠AOP=∠PRQ，∠1=∠2，AP=PQ，∴△OPA≌△RQP （AAS），∴OA=PR，∴OR=OP﹣PR=OP﹣OA，∴OP﹣OR=OA=1，即OP﹣QE=1，始终保持不变．5.【题文】如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.【答案】详见解答.【分析】要证明AB=AD，证明△ABC≌△ADC即可，根据已知条件不难证明. 【解答】∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ADC，∵在△ABC和△ADC中，,∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB=AD.6.【题文】如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C， BE=3，求CD的长．【答案】3【分析】要求CD，需要证明BE=CD，把BE与CD分别放在两三角形中，证明两三角形全等即可得到，而证明两三角形全等需要三个条件，题中已知一对边和一对角对应相等，观察图形可得出一对公共角，进而利用ASA可得出三角形ABE与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．【解答】在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．∴CD=37.【题文】如图所示，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）AE=AF；（2）DA平分∠EDF．【答案】（1）答案见解答；（2）答案见解答．【分析】由已知易得∠1=∠2，∠AED=∠AFD=90°，结合AD=AD可证△ADE≌△ADF，再由全等三角形的性质就可得到结论（1）和（2）.【解答】（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠1＝∠2，∠ AED＝∠ AFD=90°，∴在△ADE和△ADF中，∴△ ADE≌△ ADF（AAS），∴ AE=AF．（2）由（1）知△ADE≌△ADF，∴∠ADE=∠ADF，∴ DA平分∠EDF．8.【题文】如图，已知△ABF≌△DEC，且AC＝DF，说明△ABC≌△DEF的理由．【答案】证明见解答。

【分析】根据全等三角形的性质和判定解答即可。

【解答】因为△ABF≌△DEC，所以AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E，所以BF＋FC＝CE＋CF．即BC＝EF．在△ABC与△DEF中，BC＝EF，∠B＝∠E，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF（SAS）．9.【题文】如图，AE＝DB， BC＝EF， BC∥EF，求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明见解答.【分析】根据平行线的性质推出∠ABC=∠FED，求出AB=DE，根据SAS推出两三角形全等即可．【解答】∵BC∥EF，∴∠ABC=∠FED，∵AE=BD，∴AE+BE=BD+BE，∴AB=DE，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.10.【题文】在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______°；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α与β有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α与β有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】（1）90；（2）①；②1）当D在B点左侧时，；2）当D在B点右侧时，．【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．【解答】解：（1）90°．理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°，∴∠BCE=90°；（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．11.【题文】如图，AC与BD相交于点O，AO=DO，，求证：△ABC≌△DCB．【答案】见解答。

【分析】先由条件，证出OB=OD,然后利用：“SAS”可证明△ABC≌△DCB．【解答】证明：因为，所以OB=OD,又因为AO=DO，所以AC=BD,在△ABC与△DCB中，，所以△ABC≌△DCB（SAS）．12.【题文】已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．(1)如图1，BF垂直CE于点F，交CD于点G，证明：AE＝CG；(2)如图2，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是_______，并说明理由．【答案】见解答.【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°∴∠CAD=∠CBD=45°∴∠CAE=∠BCG 又BF⊥CE∴∠CBG+∠BCF=90°又∠ACE+∠BCF=90°∴∠ACE=∠CBG∴△AEC≌△CGB∴AE=CG（2）BE=CM证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED ∴∠CMA+∠MCH=90°∠BEC+∠MCH=90°∴∠CMA=∠BEC又AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°∴△BCE≌△CAM∴BE=CM13.【题文】如图，，，，，直线与交于点，与交于点，连接．（）和的大小关系是__________，位置关系是__________；请给出证明．（）求证：平分．【答案】【分析】（1）利用SAS证明BCD与ACE全等.可得= ，证明∠AFG=90°，可得BD.（2）过C作BF与AE的垂线，得到全等三角形，从而j角平分线上的点到两边的距离相等.【解答】（）∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∵，∴，∴，∴．（）过作于，于，∵≌，∴，，∴，∴平分．14.【题文】如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点．（）请你利用尺规作图作出点．（）过点作于，于，若，，则__________．【答案】5【分析】（1）先作角平分线，再作直线垂直平分线.(2)先利用HL证明,所以BE=CF,所以可以得到BE与已知两的关系，从而求得BE长. 【解答】（）如图：（）解：连接，，∵为的平分线，，，∴，，∴，∴，∵为的垂直平分线，∴，∴≌，∴，∴．∵，，∴．15.【题文】如图，在中，，．请用尺规作一条直线，使其将面积分为两部分．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作的角平分线即可.【解答】如图，作的角平分线交于，直线即为所求．16.【题文】尺规作图：请把下面的直角进行三等分．（不写作法，保留作图痕迹．）【答案】答案见解析【分析】先BC为一条边作一个等边三角形得到一个60度角，再作60度角的平分线.【解答】解：如图，17.【题文】已知：如图，四边形中，，是的中点，平分，，求的度数．【答案】30°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=EC，然后求出CE=EF，再根据到角两边的距离相等的点在角的平分线上可得BE平分∠ABC，最后求出∠ABE的度数即可.【解答】过点作于，∵，平分，∴，，∵为中点，∴，∴CE=EF，∵，，∴，∵，，∴，∠DAE=60°，∴，∠DAB=120°，∴∠ABC=60°，∴．18.【题文】已知：如图，线段和射线交于点．（）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．①在射线上作一点，使，连接；②作的角平分线交于点；③在射线上作一点，使，连接．（）在（）所作的图形中，通过观察和测量可以发现，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵，∴____________________，①∵平分，∴，∴__________，②∵，∴，∵，∴，∴，∴．（）【答案】(1)见解析；（2）①，②，等角对等边③【分析】（1）以A为圆心AB长为半径画弧，进而得出C点位置，然后利用角平分线的作法得出点D，以C为圆心CD长为半径画弧，进而得出E点位置即可；（2）由作法可得，∠ACB，再由，，可得，从而可得，继而可得.【解答】（）如图所示；（）∵，∴∠ABC=∠ACB，①∵平分，∴，∴∠ACB，②∵，∴，∵，∴，∴，∴（等角对等边），故答案为：①，②，等角对等边③．19.【题文】已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）①在射线BM上作一点C，使AC=AB；②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明.【解答】（1）如图所示：（2）BD= DE.证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠ABC，∵AB = AC，∴∠ABC=∠4，∴∠1=∠4，∵CE=CD，∴∠2=∠3，∵∠4=∠2＋∠3，∴∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴BD= DE .20.【题文】如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【答案】（1）画图见解析；（2）DE∥AC，理由见解析.【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．。