《球的体积和表面积》习题
高中数学人教版必修球的表面积与体积作业（系列三）
⾼中数学⼈教版必修球的表⾯积与体积作业（系列三）球的体积和表⾯积练习基础巩固⼀、选择题1．如果三个球的半径之⽐是123，那么最⼤球的表⾯积是其余两个球的表⾯积之和的( )A ．59倍B ．95倍C ．2倍D ．3倍[答案] B[解析] 设⼩球半径为1，则⼤球的表⾯积S ⼤＝36π，S ⼩＋S 中＝20π，36π20π＝95.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球⼼的截⾯圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 设两球的半径分别为R 、r(R>r)，则由题意得4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π.解得R ＝2，r ＝1.故R －r ＝1. 3．⼀个正⽅体表⾯积与⼀个球表⾯积相等，那么它们的体积⽐是( ) A ．6π6 B ．π2C ．2π2D ．3π2π[答案] A [解析] 由6a 2＝4πR 2得a R＝2π3，∴V 1V 2＝a 343πR 3＝34π?2π33＝6π6.4．已知轴截⾯是正⽅形的圆柱的⾼与球的直径相等，则圆柱的全⾯积与球的表⾯积的⽐是( )A ．65B ．5 4C ．4 3D ．32[答案] D[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的⾼h ＝2R ，底⾯的半径也为R ，∴S 柱S 球＝2πR 2＋4πR 24πR 2＝32. 5．下图是⼀个⼏何体的三视图，根据图中数据，可得该⼏何体的表⾯积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π[答案] D[解析] 本题是三视图还原为⼏何体的正投影问题．．．．．，考查识图能⼒，空间想像能⼒．由题设可知，该⼏何体是圆柱的上⾯有⼀个球，圆柱的底⾯半径为1，⾼为3，球的半径为1，∴该⼏何体的表⾯积为2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.6．64个直径都为a4的球，记它们的体积之和为V 甲，表⾯积之和为S 甲；⼀个直径为a的球，记其体积为V ⼄，表⾯积为S ⼄，则( )A ．V 甲>V ⼄且S 甲>S ⼄B ．V 甲C ．V 甲＝V ⼄且S 甲>S ⼄D ．V 甲＝V ⼄且S 甲＝S ⼄[答案] C[解析] 计算得V 甲＝16πa 3，S 甲＝4πa 2，V ⼄＝16πa 3，S ⼄＝πa 2，∴V 甲＝V ⼄，且S 甲>S⼄．⼆、填空题7．(2013·陕西)某⼏何体的三视图如图所⽰，则其表⾯积为________.[答案] 3π[分析] 由三视图可知该⼏何体为半个球，利⽤球的表⾯积公式求解即可． [解析] 由三视图，易知原⼏何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.8．已知棱长为2的正⽅体的体积与球O 的体积相等，则球O 的半径为________. [答案] 36π[解析] 设球O 的半径为r ，则43πr 3＝23，解得r ＝36π. 三、解答题9．体积相等的正⽅体、球、等边圆柱(轴截⾯为正⽅形)的全⾯积分别是S 1、S 2、S 3，试⽐较它们的⼤⼩．[解析] 设正⽅体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底⾯半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，∴R ＝334πa ，r ＝312πa ，∴S 2＝4π? ????334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π? ????312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2，∴S 2⼜6a 2>332πa 2＝354πa 2，即S 1>S 3. ∴S 1、S 2、S 3的⼤⼩关系是S 210．如图，某种⽔箱⽤的“浮球”，是由两个半球和⼀个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒⾼为2 cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm 3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表⾯涂⼀层胶，如果每平⽅⽶需要涂胶100克，那么共需胶多少克？[解析] (1)因为半球的直径是6 cm ，可得半径R ＝3 cm ，所以两个半球的体积之和为 V 球＝43πR 3＝43π·27＝36π(cm 3)．⼜圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h ＝π×9×2＝18π(cm 3)．所以这种“浮球”的体积是：V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm 3)． (2)根据题意，上下两个半球的表⾯积是 S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π(cm 2)，⼜“浮球”的圆柱筒的侧⾯积为： S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π(cm 2)，所以1个“浮球”的表⾯积为 S ＝36π＋12π104＝48104π(m 2)．因此，2500个这样的“浮球”表⾯积的和为2500S ＝2500×48104π＝12π(m 2)．因为每平⽅⽶需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)．能⼒提升⼀、选择题1．(2015·深圳⼀模)⽤⼀个平⾏于⽔平⾯的平⾯去截球，得到如图所⽰的⼏何体，则它的俯视图是( )[答案] B[解析] 选项D 为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有⼀个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B ．2．已知球的两个平⾏截⾯的⾯积分别为5π和8π，它们位于球⼼的同⼀侧，且相距为1，那么这个球的半径是( )A ．4B ．3C ．2D ．5[答案] B[解析] BD ＝5，AC ＝22，CD ＝OD －OC ＝R 2－BD 2－R 2－AC 2＝R 2－5－R 2－8＝1.解得R ＝3. 3．⼀个球与⼀个正三棱柱的三个侧⾯和两个底⾯都相切，已知这个球的体积为323π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．16 3C ．24 3D ．48 3[答案] D[解析] 由题意可知正三棱柱的⾼等于球的直径，从棱柱中间截得球的⼤圆内切于正三⾓形，正三⾓形与棱柱底的三⾓形全等，设三⾓形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43×πr 3＝32π3解r ＝2.S △＝12a 2sin60°＝12a·r×3，得a ＝23r ＝43，所以V 柱＝S △·2r ＝48 3.4．(2015·河北衡⽔中学下学期⼆调考试)已知某⼏何体的三视图如图所⽰，其中正视图、侧视图均是由三⾓形与半圆构成，俯视图由圆与内接三⾓形构成，根据图中的数据可得此⼏何体的体积为( )A ．2π3＋12B ．4π3＋16C ．2π6＋16D ．2π3＋12[答案] C[解析] 由已知的三视图可知原⼏何体的上⽅是三棱锥，下⽅是半球，∴V ＝13×(12×1×1)×1＋[43π(22)3]×12＝16＋2π6，故选C ．⼆、填空题5．(2015·⽢肃武威铁路中学专题训练)⼀个半径为2的球体经过切割后，剩余部分⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为________.[答案] 16π[解析] 该⼏何体是从⼀个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该⼏何体的表⾯积为34×(4π×)＋2×π×2＝16π. 6．若圆柱、圆锥的底⾯直径和⾼都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的⽐为________. [答案] 31 2[解析] V 柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 锥＝13πR 2×2R ＝2π3R 3，V 球＝43πR 3.V 柱V 锥V 球＝31 2.三、解答题7．某街⼼花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm 3)，每个钢球重145 kg ，并且外径等于50 cm ，试根据以上数据，判断钢球是空⼼的还是实⼼的．如果是空⼼的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1 cm,2.243≈11.24098)．[解析] 由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×43π×(502)3≈516792(g)，街⼼花园中钢球的质量为145 000 g ，⽽145 000<516 792，所以钢球是空⼼的．设球的内径为2x cm ，那么球的质量为 7．9×[43π×(502)3－43πx 3]＝145 000.解得x 3≈11 240.98，∴x≈.4,2x≈45(cm)．即钢球是空⼼的，其内径约为45 cm.8．已知正四⾯体的棱长为a ，求它外接球的体积及内切球的半径．[解析] 如图，设SO 1是正四⾯体S －ABC 的⾼，则外接球的球⼼O 在SO 1上．设外接球半径为R.∵正四⾯体的棱长为a ，O 1为正△ABC 中⼼，∴AO 1＝23×32a ＝33a ，SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ，在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R)2，即R 2＝(33a)2＋(63a －R)2，解得R ＝64a ，∴所求外接球体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.∴OO 1即为内切球的半径，OO 1＝63a －64a ＝612a ，∴内切球的半径为612a.。
球体的表面积和体积计算练习题
球体的表面积和体积计算练习题球体是一种几何图形，由无限多个位于同一距离中心的点所组成。
球体通常被用于计算体积和表面积。
在本文中，我们将通过一系列练习题来练习计算球体的表面积和体积。
练习题1：已知一个球体的半径为5厘米，计算其表面积和体积。
解答：首先，我们需要了解球体的公式。
球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中π为圆周率，r为半径。
球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
代入已知数据，我们可以计算出球体的表面积和体积：表面积S = 4π(5)² ≈ 314.16平方厘米，体积V = (4/3)π(5)³ ≈ 523.60立方厘米。
练习题2：已知一个球体的表面积为201.06平方米，求其半径和体积。
解答：根据球体的表面积公式S = 4πr²，我们可以将已知的表面积代入公式中，并解方程以求得半径r。
201.06 = 4πr²r² = 201.06 / (4π)r² ≈ 16.08r ≈ √16.08 ≈ 4所以，球体的半径约为4米。
接下来，我们可以利用球体的体积公式V = (4/3)πr³来计算体积：V = (4/3)π(4)³ ≈ 268.08立方米。
练习题3：已知一个球体的体积为523.60立方厘米，求其半径和表面积。
解答：根据球体的体积公式V = (4/3)πr³，我们可以将已知的体积代入公式中，并解方程以求得半径r。
523.60 = (4/3)πr³r³ = 523.60 / ((4/3)π)r³ ≈ 83.68r ≈ ∛83.68 ≈ 4.99所以，球体的半径约为4.99厘米。
接下来，我们可以利用球体的表面积公式S = 4πr²来计算表面积：S = 4π(4.99)² ≈ 314.06平方厘米。
通过以上练习题，我们得以熟悉了如何计算球体的表面积和体积。
数学上册球的体积和表面积计算练习题
数学上册球的体积和表面积计算练习题在数学上册中，球的体积和表面积计算是一个重要的练习内容。
理解和掌握球的计算方法不仅可以帮助我们解决实际问题，还能拓展我们的数学思维。
本篇文章将通过一系列的练习题来讲解球的体积和表面积的计算方法。
练习题1：已知一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。
解析：首先计算球的体积。
根据数学公式，球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。
代入已知数据，可得V = (4/3)π(5)³ = (4/3)π125 ≈ 523.6cm³。
接下来计算球的表面积。
球的表面积公式为S = 4πr²，其中r为球的半径。
代入已知数据，可得S = 4π(5)² = 4π25 = 100π ≈ 314.16cm²。
练习题2：一个篮球的直径为26cm，求它的体积和表面积。
解析：首先需要计算篮球的半径。
已知篮球的直径为26cm，可以将其除以2得到半径r = 26/2 = 13cm。
接下来计算篮球的体积。
利用球的体积公式V = (4/3)πr³，代入已知数据可得V = (4/3)π(13)³ ≈ 9200.4cm³。
最后计算篮球的表面积。
利用球的表面积公式S = 4πr²，代入已知数据可得S = 4π(13)² = 676π ≈ 2125.48cm²。
练习题3：一个水池的形状为半球形，直径为8m，求水池的体积和表面积。
解析：首先需要计算水池的半径。
已知水池的直径为8m，可以将其除以2得到半径r = 8/2 = 4m。
接下来计算水池的体积。
由于水池形状为半球形，可以将其体积视为整个球的一半。
利用球的体积公式V = (4/3)πr³，代入已知数据可得V = 1/2 * (4/3)π(4)³ = 4/3 * π(4)³ ≈ 268.08m³。
考点练习(必修二)：球的表面积和体积(附答案)
球的表面积和体积一、球的表面积和体积1. 已知地球半径为,R 北纬60 纬线的长度是_________．2. 已知球的表面积为64π，求它的体积3. 已知球的体积为5003π，求它的表面积．4. 两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.2∶ 3 D.8∶275. 两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．6. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A ．3B ．2C ．1 D.127. 一个球的表面积是16π，则它的体积是( )A ．64π B.64π3 C ．32π D.32π38. 两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm10. 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分当以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)二、与球有关的三视图问题1. 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．2. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．3. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋124. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋185. 某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )三、球的截面问题1. 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为________．2. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α则此球的半径为（ ）A B C ． D ．3. 过球半径的中点，作垂直于这条半径的截面，截面面积为248cm π，求此球的半径．4. 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π．求球的半径．5. 在半径为6cm 的球的内部有一点，该点到球心的距离为4,cm 过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A ．211cm πB ． 220cm πC ． 232cm πD ． 227cm π6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 37. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，留下一个直径为24cm ，深8cm 的空穴，则球的半径为____________．8. 已知三角形ABC 的三个顶点在同一球面上，若90,2,BAC AB AC ∠=︒==球心O 到平面ABC 的距离为1，则该球的半径为____________．9. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1BCD ．2四、球面距离1. 在北纬45︒圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50︒与东经140︒圈上，则甲、乙两地的球面距离是（ ）A ．12R πB ．13R πC ．14R πD R2. 已知球O 的半径为1，,,A B C 三点都在球面上，且每点间的球面距离为,2π则球心O 到平面ABC 的距离为_________．3. 在半径为R 的球内，有一个内接正三棱锥，它的底面上的三个顶点恰好在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三顶点后返回，则经过的最短路程是_______．4. 长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点在同一个球面上，且12,1,AB AD AA ==则顶点A B 、间的球面距离是________．5. 球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为（）A．B．C．2D．6. 在地球北纬60︒圈上有A B、两点，它们的经度相差180A B︒，、两地沿纬线圈的弧长与A B、两点的球面距离之比为（）A．3:2B．2:3C．1:3D．3:1参考答案 球的表面积和体积一、球的表面积和体积 1. 略2. 解 设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.3. 解 (2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.4. 由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.5. 设大球的半径为R ，由题意得43πR 3＝2×43π×13，得R ＝32.6. 答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.7. 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π. 8. 答案 B解析 设两球半径分别为R 1，R 2，且R 1>R 2，则4π(R 21－R 22)＝48π，2π(R 1＋R 2)＝12π，所以R 1－R 2＝2.9. 答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B.10. 解 过C 作CO 1⊥AB 于点O 1，由已知得∠BCA ＝90°，∵∠BAC ＝30°，AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，1AO S 圆锥侧＝π×32R ×3R ＝32πR 2，1BO S 圆锥侧＝π×32R ×R ＝32πR 2，∴S 几何体表＝S 球＋1AO S 圆锥侧＋1BO S 圆锥侧＝4πR 2＋32πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2.又∵V 球＝43πR 3，1AO V 圆锥＝13·AO 1·π·CO 21＝14πR 2·AO 1，1BO V 圆锥＝13·BO 1·π·CO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(1AO V 圆锥＋1BO V 圆锥)＝56πR 3.二、与球有关的三视图问题 1. 答案 4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R ＝1，所以S ＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.2. 答案 3π解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即12×4π＋π＝3π.3. 答案 C解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V ＝12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＋13×12×1×1×1＝2π6＋16，故选C.4. 答案 B解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＋3×3×2＝92π＋18. 5. 答案 D解析 根据几何体的正视图，得当几何体是球体与圆柱体的组合体，且球半径与底面圆半径相等时，俯视图是A ；当几何体上部为平放的圆柱体，下部为正方体的组合体，圆柱的高与底面圆直径都等于正方体的棱长时，俯视图是B ；当几何体的上部为球体，下部为正方体的组合体，且球为正方体的内切球时，其俯视图是C ；D 为俯视图时，与正视图矛盾，所以不成立．故选D.三、球的截面问题 1. 答案 12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为2，已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为3，所以球的表面积为4π(3)2＝12π. 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 答案 A解析 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5. ∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．7. 略 8. 略 9. 略 四、球面距离 1. 略 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 略。
球的体积和表面积模拟试题
1.3.2 球的体积和表面积1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是( )A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2.已知正方体''''D C B A ABCD -棱长为1，顶点D C B A ，，，在半球的底面内，顶点''''D C B A ，，，在半球球面上，则此半球的体积是 （ ） A.π63 B.π22 C.π23 D.π263．若球的体积与其表面积相等，则球的半径为( )．A ．1B ．3C ．2D ．124．直径为10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm 的小球，如果不计损耗，则可铸成这样的小球的个数为（ ）．A ．110 Ｂ．115 Ｃ．120 Ｄ．1255．棱长为a 的正方体的内切球的表面积等于_________．6．圆柱形容器的内壁底面半径为5cm ，两个直径为5cm 的小球浸没于容器中，若同时取出这两个小球，则是水面下降_________．答案提示：1、A ．解析： 对于本题，若直接去想图画图，则不利于解答。
但若把问题特殊化，在如右图所示的正方体模型中去找图，将四棱锥S —ABC 置放于正方体中，由正方体的性质和已知条件可知，正方体的棱长是1，所以，正方体的对角线长 是3，由于正方体外接球的直径与正方体的对角线 长相等，故，此球的表面积S=4π2)23(=3π，所以应选A 。
2. D.依题意，正方体底面ABCD 的中心O 即为球心， 所以球的半径26)22(12'=+==O A R ， 所以半球的体积为ππ26)26(34213=⨯⨯. 3．B ． 由于343R π=24R π，解得R = 3．4．Ｄ． 由3453π⋅＝n 3413π⋅⋅，解得n=125.5．因为内切球的直径等于正方体的棱长，所以内切球的表面积S =24()2a π=2a π．6．由水面下降的体积等于两球的体积之和，得25h π= 2×345()32π， 解得h =53，即水面下降的高度为53cm ．。
球的体积和表面积
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的体积与圆柱体积的比为
________．
[答案]
2 3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[解析] 作 CD⊥AB，垂足为 D，在 Rt△ABC 中，AB ＝5，AC＝3，∴CD＝152，绕 AB 旋转一周，阴影部分所形 成的几何体为一个球中间挖去两个同底的圆锥，其体积
V＝V 球－V 锥＝43π·OC3－π3·CD2·(AD＋BD) ＝43π×523－3π×1522×5＝33370π.
πa2 B. 2 D．3πa2
[解析] 正方体内接于球，则由球及正方体都是中心 对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的对角线是 球的直径．设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r.
依题意，2r＝ 3· a62， 即 r2＝18a2. ∴S 球＝4πr2＝4π·18a2＝π2a2. ∴应选 B.
(3)火星直径约为地球的一半，则地球表面积约为火星 的 4 倍．
(4)木星的表面积约是地球表面积的120倍，则它的体
积约为地球的
倍．
1.3.2 球的体积和表面积
A.72π
B.48π
C.30π
D.24π
2.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为
.
【解题探究】1.典例1中的三视图表示什么几何体? 提示:典例1中几何体是半球与一个圆锥的组合体. 2.典例2中的几何体表示什么? 提示:该几何体为一个半球.
【解析】1.选C.由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体 的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公 式可得组合体的体积为30π. 2.由三视图得该几何体为半径为1的半球,则表面积为半球面+底面圆, 代入数据计算为S= 1 ×4π×12+π×12=3π.
【变式训练】球的大圆面积扩大到原来的4倍,那么球的表面积扩大到 ( A.16倍 B.2倍 C.4倍 D. 4 倍
3
)
【解析】选C.球的大圆面积扩大到原来的4倍,则半径成为原来的2倍, 所以球的表面积也变为原来的4倍.
类型二
由三视图求球的体积与表面积
【典例】1.(2015·济宁高一检测)某几何体的三视图如图所示,它的 体积为 ( )
答案:12π
【补偿训练】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的 体积为 m 3.
【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6,3,1的长方体,下面 是两个半径为
3 的相切的球体,所以所求的体积是:V=2V球+V长方体=2× 2
4 3 π × ( )3 +6×3×1=9π +18. 3 2
【方法技巧】求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键:把握住球的表面积公式S球=4π R2,球的体积公式V球=
4 π R3 3
是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件.把握住 公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. (2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方; ②两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方.
立体几何表面积体积和球专题(有答案)
A． B．
C． D．
6．如图，直角梯形 中， ， ， ．若将直角梯形绕 边旋转一周，所得几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
7．如图，在四面体 中，已知 ， ， ，则四面体 被截面 分得的上下两部分的体积之比为（）
（2）内切球的半径.
35．如图所示，正方体 的棱长为 ，过顶点 、 、 截下一个三棱锥.
（1）求剩余部分的体积；
（2）求三棱锥 的高.
36．如图所示，正四棱台 的高是 ，两底面的边长分别是 和 .
（1）求这个棱台的侧棱长和斜高.
（2）求该棱台的侧面积与表面积.
37．如图，正三棱锥 的底面边长为2，侧棱长为3.
29．在三棱锥 中， 平面 ， ， ，其外接球表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为________.
30．在三棱锥 中， ， ， ， ，若该三棱锥的体积为 ，则棱锥 外接球的表面积为_________.
31．在三棱柱 中侧棱垂直于底面， ，三棱柱 的高为4，则三棱柱 的外接球的表面积为________．
A． B． C． D．
17．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，Q是边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
18．三棱锥 中， ， ，面 的面积为 ，则此三棱锥外接球的表面积为___．
19．已知 是球 的球面上的四个点， 平面 ，则该球的表面积为________．
A． B． C． D．
4．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 ， ，若线段 的最小值为 ，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）
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《球的体积和表面积》习题
一、基础达标
1．正方体的内切球和外接球的半径之比为( ).
A
B
2 C
. 2D
2．设正方体的全面积为224cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ). A
3cm B .
3323cm π C . 383cm π D . 34
3
cm π 3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则( ). A . 以上四个图形都是正确的 B . 只有(2)(4)是正确的 C . 只有(4)是错误的 D . 只有(1)(2)是正确的 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).
A . 25π
B . 50π
C . 125π
D . 都不对
5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为( ). A .
49 B . 94 C . 427 D . 27
4
6．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是___________.
7． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则这个球的表面积为___________，体积为_____________.
二、能力提高
8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.
(2)
(3)
(4)
9．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，求球的表面积和体积.
三、探究创新
10．祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的. 祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，
那么这两个几何体的体积相等.可以用诗句“两个胖子
一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必
然同样胖”形象表示其内涵.利用祖暅原理可以推导几
何体的体积公式，关键是要构造一个参照体.试用祖暅原理推导球的体积公式.
R
A '
C '
C
O
A '
B '
C '
D '
D C
B
A
O
参考答案
1～5 DDCBC ； 6. 1:22:33； 7. 2312,43cm cm ππ. 8.解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则2323
23O A '=⨯⨯=
， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222
231()4
R R =+，∴43R =，
∴264
49
S R ππ==
. 9.解：作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径
为
R ，
则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=，∴3R =， ∴2
436S R ππ==球，34363
V R ππ==球.
10.解：我们先推导半球的体积. 为了计算半径为R 的半球的体积，我们先观察V 圆锥、V 半球、V 圆柱这三个量(等底等高)之间的不等关系，可以发现V 圆锥<V 半球<V 圆柱，即331
3
R V R ππ<<半球，根据这一不等关
系，我们可以猜测32
3
V R π=半球，并且由猜测可发现V V V =-半球圆柱圆锥.
下面进一步验证了猜想的可靠性. 关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如右图所示. 下面利用祖暅原理证明猜想.
证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截
面分别为圆面和圆环面. 如果截平面与平面α的距离为l ，那么圆面半径22r R l =-，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为r .
因此222()S r R l ππ==-圆，2222
()S R l R l πππ=-=-环， ∴ S S =圆环.
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即2
231233V R R R R R πππ=-=g g 半球，
所以3
43
V R π=球.
C B
A
O O'。