运筹学最短路问题实际应用--上课路线选择
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
运筹学课件 最短路、最大流、邮路
最短路径问题的应用
例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径
例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23
最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
最短路课程设计
最短路课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解最短路径问题的基本概念，掌握其在现实生活中的应用。
2. 学生掌握图的基本表示方法，能够建立问题的图模型。
3. 学生能够阐述Dijkstra算法和Floyd算法的基本原理，并理解其适用场景。
技能目标：1. 学生能够运用图的相关知识建立实际问题模型，解决最短路径问题。
2. 学生通过案例学习和实践操作，掌握Dijkstra算法和Floyd算法的具体步骤，具备运用算法解决问题的能力。
3. 学生能够运用所学知识，对实际生活中的最短路径问题进行合理分析和有效解决。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对图论和算法的兴趣，激发他们探究问题的热情。
2. 培养学生面对复杂问题时，运用所学知识进行分析和解决的能力，增强自信心。
3. 通过团队合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力，提高他们的集体荣誉感。
本课程针对学生年级特点，结合图论和算法知识，以实际问题为载体，引导学生通过自主学习、合作探究和实际操作，培养解决问题的能力。
课程目标具体、可衡量，旨在使学生在掌握知识、技能的同时，培养积极的情感态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念：图、顶点、边、权、路径、最短路径等。
相关教材章节：第二章 图论基础2. 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等。
相关教材章节：第二章 图论基础3. 最短路径问题：介绍最短路径问题的背景和应用。
相关教材章节：第三章 最短路径问题4. Dijkstra算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题5. Floyd算法：算法原理、步骤、示例。
相关教材章节：第三章 最短路径问题6. 实践案例分析：结合实际案例，运用Dijkstra和Floyd算法解决最短路径问题。
相关教材章节：第三章 最短路径问题教学内容安排和进度：第一课时：图的基本概念及表示方法。
第二课时：最短路径问题引入，介绍Dijkstra算法。
第三课时：Dijkstra算法实践操作。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例介绍最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是找到两个顶点之间的最短路径。
这个问题在日常生活中有着广泛的应用，例如导航系统、网络路由以及物流配送等场景中都需要解决最短路问题。
本文将通过实际案例来深入探讨最短路问题及其应用。
什么是最短路问题？最短路问题是指在一个给定的图中，找到两个顶点之间的最短路径。
通常情况下，路径的长度可以通过边的权重来衡量。
最短路问题可以分为单源最短路问题和全源最短路问题，前者是指从一个固定的起点出发，求到图中其他所有顶点的最短路径；后者是指求图中任意两个顶点之间的最短路径。
实际案例：导航系统导航系统是最短路问题的一个典型应用。
当我们使用导航系统来规划路线时，系统需要找到最短路径以优化我们的行车时间。
下面以一个具体案例来说明导航系统如何解决最短路问题。
案例场景假设我们身处一座陌生的城市，想要前往城市中心的一个著名景点。
我们打开导航系统，输入起点和终点信息。
导航系统会根据地图数据自动生成最短路径，并提供导航指引。
导航系统的实现导航系统实现最短路径规划的过程可以分为以下几个步骤：1.构建路网图：将城市中的道路以及交叉口等信息转化为图的形式。
图中的节点表示交叉口，边表示道路，边的权重可以表示行驶距离、时间等。
2.选择算法：根据实际需求选择合适的最短路径算法。
常见的算法有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和A*算法等。
3.计算最短路径：根据选定的算法，在路网图上计算起点到终点的最短路径。
算法会考虑边的权重以及路径的方向等因素。
4.导航指引：根据计算得到的最短路径，导航系统会生成具体的导航指引，包括行驶指示、路口转向、距离和预计时间等信息。
优化策略导航系统通过不断的优化，提高了最短路径的计算效率和准确性。
以下是几种常见的优化策略：1.路网数据更新：导航系统会及时更新路网数据，包括道路信息、交通状况等。
这样可以保证计算得到的最短路径更准确。
2.平行算法：为了加快计算速度，导航系统采用并行算法来计算最短路径。
运筹学第六章6.2最短路问题
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令
T ( v j0 ) =ຫໍສະໝຸດ min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。 此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想： 算法思想： 利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。 最短路线和最短距离。
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间 寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。 注意： 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 开的初等链中所有的弧 图中，通路 开的初等链 应是首尾相连 首尾相连的 应是首尾相连的） （2）应用背景 应用背景——管道铺设、线路安排、 管道铺设、线路安排、 管道铺设 厂区布局、设备更新等。 厂区布局、设备更新等。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的经典问题之一，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、通信网络、物流配送等领域都有着重要的作用。
在解决最短路问题时，我们需要找到图中两个顶点之间的最短路径，即使得路径上的边的权值之和最小。
针对不同的图，我们可以采用不同的方法来求解最短路问题，下面将介绍几种常见的求解方法。
首先，最简单直接的方法是暴力搜索法。
暴力搜索法适用于小规模的图，它通过穷举所有可能的路径来找到最短路径。
虽然这种方法在理论上是可行的，但是在实际应用中由于时间复杂度过高，通常不适用于大规模的图。
其次，我们可以使用迪杰斯特拉算法来解决最短路问题。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过逐步扩展离源点距离最短的节点来逐步求解最短路径。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数，因此适用于稠密图。
另外，我们还可以使用贝尔曼-福特算法来求解最短路问题。
贝尔曼-福特算法是一种动态规划算法，它通过多次松弛操作来逐步逼近最短路径。
贝尔曼-福特算法适用于存在负权边的图，但是由于其时间复杂度为O(VE)，因此在稠密图中效率较低。
最后，我们还可以使用Floyd-Warshall算法来解决最短路问题。
Floyd-Warshall算法是一种动态规划算法，它通过逐步考察所有顶点对之间的路径来求解最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，因此适用于小规模图。
总的来说，不同的最短路求解方法适用于不同的图，我们需要根据具体的情况来选择合适的方法。
在实际应用中，我们还可以结合启发式算法、并行算法等方法来进一步提高求解效率。
希望本文介绍的内容能够对读者有所帮助，谢谢！。
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
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距离矩阵摹乘法
修正之后的路线
路线
1.新区出发-西山大铁门-图书馆后面的公路 -网球场的坡地-沿着公路-励志楼（772M) 2.图书馆-学汇楼-横穿学汇楼-沿着公路-励 志楼（290.5M） 3.知行楼-路口七-德济楼-四海楼-沿着公路励志楼（332.5） 4.E1、十一舍-三食堂-电航楼-百川楼-德济 楼-四海楼-沿着公路-励志楼（482.1/422.1） 5.成教二-路口3-电航楼-百川楼-德济楼-四 海楼-沿着公路-励志楼（412.7M）
大连海事大学
新区——西山教学楼的最短路
成员：杨俊成 王红建 唐琴 李敏垚
主要内容
背景介绍 问题描述 模型建立 解决的问题
背景介绍
一、宿舍楼与教学楼的分布情况
新区的分1、B2、B3、研二宿舍楼等）
西山的分布：学汇楼，百川、德济、四海、励志、知 行、图书馆、三食堂、十一舍、计算机学院宿舍楼， （当然还有一些研究生宿舍楼这里我们忽略不计）
问题描述
宿舍楼与教学楼间的距离太远了，大量的 同学们每天要都花十多分钟在去教学楼的 路上，而不能在这段时间内做跟有意义的 事情 由于上课地点的不同，大量的同学要不停 的转换上课地点。 无论是冬天还是夏天同学们都不想自己在 寒冷的室外停留太长的时间
要达到目标
学校里的路很多，我们的目的是如何帮助 同学们选择一条或几条最短的路帮助同学 们解决耽误在路上的时间，减少在大连寒 冷的阴风中逗留的时间，增加同学们的幸 福感
不同区域同学住所的分布情况
新区宿舍楼：大二、大三、大四的学生，还 有部分的研二学生，大量的同学住在新区 宿舍楼
西山宿舍楼分布：大一的学生，E1一般都是 信息学院的学生，还有一些不被我们计算 在内的研究生宿舍，
校园内的路径格局
我们就现存的一些路径大概就有20-30条， 我们只在此基础上进行了优化。现在我们学 校还在不停地建设新的教学楼，宿舍楼，科 技会馆等等，我们现在存在的一些路径还可 能会发生一些变化，这部分不在我们的考虑 范围内