运筹学 最短路问题--迪科斯屈算法
最短路问题Dijkstra_Floyd_算法
K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9}
=min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}，
在vj∈X5中，临时标号不变。 K=4 +1=5 ∵ min{u6，u8，u9}=min{10，12，} =10= u6
K=0 ∵ min{u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8，u9}
=min{6，3，1，，，，，}
=1= u4 6
v2
3
1
v5
4
2
v9
6 3
4
v1
1
2
v3
2
6
3 10 2
v8
v4
10
∴ 点v4得永久标号， 4=1 ，X1={v1，v4}， X1={v2，v3， v5，v6 ，v7，v8 ，v9}， 在所有vj∈X1中， ∵ u6= ，u4+w46=1+10=11， 即 u4+w46< u6 ∴ 修改临时标号u6= 11 ，6=4 ，其余标号不变。
6
1 2 6 10
v5
4 3 10 2
2 6
v9
3
v1
1
3
v3
2
从v1到v8：
v4
v6
v7
4
v8
P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8） 费用 3+2+10+2+4=21
P3= …… 从v1到v8的旅行路线 从v1到v8的路。 最短路问题中，不考虑有向环、并行弧。
最短路问题的求解方法
最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。
在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。
因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。
在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。
这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。
下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。
Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。
Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。
这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。
Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。
这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。
除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。
这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。
在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。
同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。
运筹学：第2章 图与网络分析 第3节 最短路
年份 购置费 使用年数 维修费
1
2
3
4
5
18 20 21 23 24
0~1 1~2 2~3 3~4 4~5
5
7 12 18 25
方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图 的最短路。
求解步骤：
1）画赋权有向图：
设 vi 表示第i年初， (vi ,vj )表示第i 年初购买新设备用到第j年初（j-1年底）， 而wi j 表示相应费用， 则5年的一个更新计划相当于从v1 到v6的一条路。 2）求解 （标号法）
v5 29
45
v6
62
算法步骤：
1.给始点v1标号[0，v1] 。
2. ：把顶点集V分成VA ：已标号点集 VB ：未标号点集
3.考虑所有这样的边[vi ，vj] ：其中vi VA ，v j VB ，挑选
其与起点v1距离最短（mindi cij ）的vj，对vj进行标号
4.重复步骤2、3，直至终点vn标上号[dn ，vj],则dn 即为vs到
第三节 最短路问题
例：求网络图中，起点v1到终点v8之间的一条最短
路线。
v2
1
v5
6
2
3
6
v1
v3
2
v9
6 3
10 3
1
2
v8
4
2 v7
v4
10
v6
(一)、 狄克斯拉(Dijkstra)标号算法
Байду номын сангаас
基本思想：从起点vs 开始，逐步给每个结点vj标号[dj ，vi]，其
中dj为起点vs到vj的最短距离， vi为该最短路线上的前一结点。
vj的最短距离，反向追踪可求出最短路。
最短路径问题dijkstra求解过程
Dijkstra算法是一种用于求解最短路径问题的常用算法，适用于带权有向图。
以下是Dijkstra 算法的求解过程：
初始化：将起始节点标记为当前节点，并将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无穷大（表示暂时未知）。
将起始节点到自身的距离设置为0，表示起始节点到自身的最短路径长度为0。
遍历所有节点：
选择当前节点的邻接节点中，距离最小且尚未被访问的节点。
更新该邻接节点的最短路径长度。
如果经过当前节点到达该邻接节点的路径比当前记录的最短路径更短，则更新最短路径长度。
继续遍历未访问的节点，直到所有节点都被访问。
重复步骤3，直到所有节点都被访问或者没有可达节点。
最终得到起始节点到其他节点的最短路径长度。
在Dijkstra算法的求解过程中，使用一个距离表（distances）来记录起始节点到各个节点的当前最短路径长度，一个访问表（visited）来标记节点是否已被访问。
同时，使用优先队列（例如最小堆）来选取下一个距离最小且尚未被访问的节点。
具体的实现可以使用迭代或递归的方式，根据实际情况来选择合适的数据结构和算法实现。
在实际编程中，可能还需要考虑处理边的权重、处理节点的邻接关系和路径记录等细节。
Dijkstra算法要求图中的边权重非负，且无法处理负权边的情况。
对于含有负权边的图，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法或SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）等。
dijkstra 最短路优化算法
dijkstra 最短路优化算法
Dijkstra最短路优化算法是一种用于解决单源最短路径问题的
算法，它采用贪心的思想逐步找到从起点到所有其他节点的最短路径。
算法步骤如下：
1. 初始化距离数组dist[]，用于记录从起点到每个顶点的最短
距离。
将起点距离设为0，其他顶点的距离设为无穷大。
2. 创建一个优先队列（最小堆）Q，用于存储待选的顶点。
将
起点加入到Q中。
3. 当Q非空时，重复以下步骤：
- 从Q中取出当前距离最小的顶点u。
- 遍历u的所有邻居节点v，并计算起点到v的距离new_dist。
如果new_dist小于dist[v]，则更新dist[v]。
- 将v加入到Q中。
4. 重复步骤3，直到Q为空。
该算法的优化主要包括：
1. 使用最小堆可以快速获取当前距离最小的顶点。
2. 使用一个visited数组记录已经访问过的顶点，避免重复计算。
3. 使用优先队列存储待选的顶点，可以按照距离大小自动排序，减少不必要的遍历。
Dijkstra算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是顶点数，E是边数。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
最短路问题Dijkstra算法
1
一、网络无负权的最短路 ——Dijkstra算法
本算法由Dijkstra于1959年提出，可用于求解指定 两点间的最短路，或从指定点到其余各点的最短 路，目前被认为是求无负权网络最短路问题的最 好方法。 算法的基本思路基于以下原理： 若序列vs ,v1 ,…,vn是从vs到vn的最短路， 则序列vs ,v1 ,…,vn-1必为从vs到vn-1的最短路。
2-
0-
vs
v1
2
27
4-
5 v2 5
-9
-∞
v4 5
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7- 7-
10
迭 Step 2: 若 vi 为刚得到 P 标号的点,考虑这样的点
代
vj : (vi ,vj)∈E 且vj 为 T 标号。
4 对vj的T 标号进行如下更改T(vj)=min[T(vj),P(vi)+wij]
2-
0-
vs
v1
2
27
4-
5 v2 5
- 89
v4 5
- 1∞4
vt
4 13
17
v3
4
v5
4-
7-
11
迭 Step 3: 比较所有具有 T 标号的点，把最小者改为 代 P 标号，即 P(vi)=min[T(vi)]. 4
2-
0-
vs
v1
2
27
4-
5 v2 5
8- 8-
v4 5
- 14
vt
4 13
17
2-
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10 vs 12
vt
vm
3 实例求解
表格中的数字，表示起 点v1至相应目标节点最短 路长度的“上界”。
山东科技大学
• 求节点v1（起始节点）至其他7个节点的最短路。
标记√的节点，表示 找到了最短路，相应 数字为最短路的长度。
v2
6
4 1
v5 4 v6 2 v7 4 v8
v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 1 6 3 1√ 2 11 √ 3 5√ 7 4 9 √ 5 9 8√ 6 √ 12 7 √
2.2 网络图中的基本概念
• 节点V={v1,v2,…,vn}--图中的“●”
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• 网络图概念：有向图D=(V, A)和无向图G=(V, E)
• 弧 (边) aij或eij ,(vi, vj)或[vi, vj]--图中的“→”和“▁”
• 弧 (边)的权重wij --图中的数字
2.3 Dijkstra算法的原理
每列√之后，不会再 出现数字。
v1
3 1
2 v3 4 5 v4 10
表格中每列的数据呈递 减变化。
3 实例求解
最短路长度P(vi): 5 3 3 1 1 1 8 6 7 3 9 12 6 5
山东科技大学
最短路路径λ(vi):
如果最短路长度在第 一行，λ数组值为起始 节点（此处为v1）。
找到对应位置，上一 行√对应节点。
山东科技大学
• 原理1(最短路性质)：任意一条最短路上的任意 路段，必定是连接相应路段端点的最短路。
2.3 Dijkstra算法的原理
山东科技大学
• 求最短路穷举法：先找出所有起点到终点之间的路，
然后分别计算相应路程，通过判断找到最短路。
• 原理2(最短路识别)：在权重均为大于等于零（非
负）的网络图中，设连接vs和vt的路共有n条(n ≥2)， 如果其中1条的路程总长度比其他n-1条的一部分长 度都要短，那么这条路必定为连接vs和vt的最短路。
2 Dijkstra算法
2.1 Dijkstra简介
山东科技大学
• 艾兹格·W·迪科斯屈 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930年5月11日~2002年8月6 日）荷兰人。 1959年提出 求解最短路的经典算法。在 1972年获得过素有计算机科 学界的诺贝尔奖之称的图灵 奖，与美国斯坦福大学教授 高纳德并称为现代最伟大的 两位计算机科学家。
求解最短路问题的Dijkstra算法
姓名： 单位： 邮箱：@
复旦大学
内容概要
• 1 问题及应用概述 • 2 Dijkstra算法 • 3 实例求解
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1 问题及应用概述
山东科技大学
• 最短路问题是图论理论的一个经典问题。 • 应用广泛如：交通路线选择 、管线铺设 、厂区布局、 机器人研究。
v2 6 v1 3
4 1
v5 4
找到最短路长度位置。
2 v3 4
5 v4 10
1
v6
2 v7
v8
3
小结
方法 Dijkstra算法源自山东科技大学形式 规则 原理
表上作业法
最短路探索规则
最短路判断规则 原理2最短路识别
原理1最短路性质
思考题
山东科技大学
• Dijkstra算法的局限性是，不能求解有负权重的加权网络图 中的最短路。那么为什么不能对有负权重的网络图中的所有 权重同时加1个相应正数，以转化为Dijkstra算法能够求解的 网络图？ v2 4 v5 v2 11 v5 -6 1 -4 2 3 9 权重都加7 1 8 3 v3 -4 10 v3 3 v6 v8 v1 v6 v8 v1 1 5 8 12 2 9 4 11 v4 10 v4 17 v7 v7