运筹学论文最短路问题

运筹学论文

——旅游路线最短问题摘要：

随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，

越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项

重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题

随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这

一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为

列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。

关键词：最短路 0-1规划约束条件

提出问题:

从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。

各城市之间的航线距离如下表：

重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明

重庆0 1640 1500 662 2650 649

北京1640 0 1200 1887 1010 2266

杭州1500 1200 0 1230 2091 2089

桂林662 1887 1230 0 2822 859

哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494

昆明649 2266 2089 859 3494 0

问题分析：

1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先

后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两

两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则

没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。

2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个

城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着

去旅游的则为1，否则为0。就如同下图

实线代表两个城市相连为1,

虚线代表没有相连为0

3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。

LINGO解法：

为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，

将其标为1）

假设：设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。

特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i

模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。

目标函数

min=1640*x12+1500*x13+662*x14+2650*x15+649*x16+1200*x23+1 887*x24+1010*x25+2266*x26+1230*x34+2091*x35+2089*x36+2822 *x45+859*x46+3494*x56;

约束条件：

1.上面目标函数中的变量是表示两个城市是否直接相连接的关系，且最短

路线是可以形成圈的，如下图

实线代表两个城市相连为1,

虚线代表没有相连为0

如上图城市a和城市b有直接相连接的关系，所以之间变量为1，而城市a 与城市e则没有直接相连接的关系，之间变量为0。其余的也有同样约束,所以有下面的约束。

条件1：

变量xij为0-1变量

@bin(xij)

2．最短旅程路线中，每一个城市都要和其他两个城市相连接，即有一个进入路线和一个出去路线，所以含第i个城市的所有变量xij和xji之和为2。所以又有如下的约束

条件2：

城市1(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x12+x13+x14+x15+x16=2

城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x12+x23+x24+x25+x26=2

城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x13+x23+x34+x35+x36=2

城市4(桂林)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x14+x24+x34+x45+x46=2

城市5(哈尔滨)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x15+x25+x35+x45+x56=2

城市6(昆明)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2

x16+x26+x36+x46+x56=2

则可以编制程序如下

!目标函数最小;

min=1640*x12+1500*x13+662*x14+2650*x15+649*x16+1200*x23+1887*x24+1010 *x25+2266*x26+1230*x34+2091*x35+2089*x36+2822*x45+859*x46+3494*x56; !变量0-1约束;

!城市1(重庆)与城市2(北京)之间关系变量x12的0-1约束;

@bin(x12);

!城市1(重庆)与城市3(杭州)之间关系变量x13的0-1约束;

@bin(x13);

!城市1(重庆)与城市4(桂林)之间关系变量x14的0-1约束;

@bin(x14);

!城市1(重庆)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x15的0-1约束;

@bin(x15);

!城市1(重庆)与城市6(昆明)之间关系变量x16的0-1约束;

@bin(x16);

!城市2(北京)与城市3(杭州)之间关系变量x23的0-1约束;

@bin(x23);

!城市2(北京)与城市4(桂林)之间关系变量x24的0-1约束;

@bin(x24);

!城市2(北京)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x25的0-1约束;

@bin(x25);

!城市2(北京)与城市6(昆明)之间关系变量x26的0-1约束;

@bin(x26);

!城市3(杭州)与城市4(桂林)之间关系变量x34的0-1约束;

@bin(x34);

!城市3(杭州)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x35的0-1约束;

@bin(x35);

!城市3(杭州)与城市6(昆明)之间关系变量x36的0-1约束;

@bin(x36);

!城市4(桂林)与城市5(哈尔滨)之间关系变量x45的0-1约束;

@bin(x45);

!城市4(桂林)与城市6(昆明)之间关系变量x46的0-1约束;

@bin(x46);

!城市5(哈尔滨)与城市6(昆明)之间关系变量x56的0-1约束;

@bin(x56);

!条件约束,即每个城市的连接路线约束;

!城市1(重庆)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;

x12+x13+x14+x15+x16=2;

!城市2(北京)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;

x12+x23+x24+x25+x26=2;

!城市3(杭州)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;

x13+x23+x34+x35+x36=2;

!城市4(桂林)有且仅有一个进入路线和一个出去路线,所以和它连接的路线条数为2;

x14+x24+x34+x35+x46=2;