函数的凹凸性与拐点的定义与求法经典
函数的凹凸性与拐点的定义与求法
f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
( 定义 设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
99
2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
数学教研室
目录
CONTENT
函数的凹凸性与拐点
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,
x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0
x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 拐点
拐点
f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
函数的凹凸性与拐点
图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
函数曲线的凹向与拐点
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
线的拐点 •讨论
如何确定曲线yf(x)的拐点？ 如果(x0 f(x0))是拐点且f (x0)0存在问f (x0)？ 如何找可能的拐点？
拐点
下页
拐点 连续曲线yf(x)上上凹弧与下凹弧的分界点称为该曲
例4 求曲线y3x44x31的拐点及凹、凸的区间
解 (1)函数y3x44x31的定义域为( )
(2)
y 12x3 12x2
y36x2
24x 36x(x
2) 3
(3)解方程 y0
得x1 0
x2
2 3
(4)列表判断
x ( 0) f (x) ＋ f (x) ∪
0 (0 2/3) 2/3 (2/3 )
0
－0
＋
1
∩ 11/27 ∪
在区间(0]和[2/3)上曲线是凹的 在区间[02/3]上 曲线是凸的 点(0 1)和(2/3 11/27)是曲线的拐点
下页
•只有f (x0)等于零或不存在(x0 f(x0))才可能是拐点 •如果在x0的左右两侧f (x)异号则(x0 f(x0))是拐点
(2)函数f (x) x2 在区间(1,1•)内
1 x
（A）单调增加
（B）单调减少
（C）有增有减
（D）不增不减
解：选（C）
（3）函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有：
（A）f '(x0)=0
（B）f '(x0)<0
（C）f '(x0)=0且f"(x0)<0
（D）f(x0+△x)<f(x0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
方法2: 设函数 f ( x ) 在 x0 的邻域内三阶可导 ,且
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹 (或凸)的 ;
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
例2 求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及
凹、凸的区间 .
解
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
三、曲线的拐点及其求法
f ( x0 ) 0, 而 f ( x0 ) 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点. 解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
练习题
一、填空题： a, b ) 1 、若函数 y f ( x ) 在 （a , b ） 可导， 则曲线f ( x ) 在( 内取凹的充要条件是____________. 2 、曲线上____________的点，称作曲线的拐点 . 2 3 、曲线 y ln( 1 x ) 的拐点为__________. 4 、曲线 y ln( 1 x ) 拐点为_______. arctan x 二、 求曲线 y e 的拐点及凹凸区间 .
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
Байду номын сангаас
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
定义 设f ( x )在(a , b )内连续, 如果对(a , b)内任意 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 两点 x1 , x2 , 恒有 f ( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b )内的图形是凹的;
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例4
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.