2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案

2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的

取值范围为。

【答案】(15)-，

【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。 由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。 若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。

∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，

。 2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，

3()f x x =，则9

()2

f =。

【答案】1

8

【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。 又()f x 为奇函数，

∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。

∴ 391111

()()()()22228

f f f ==--=--=。

3．已知

{}n a 为等比数列，且120171a a =，若

2

2

()1f x x =

+，则

123

2

0()()()()

f a f a f a f a ++

++

=L 。 【答案】2017

【解答】由22

()1f x x =+知，222

2212222()()211111()x f x f x x x x x

+=+=+=++++。 ∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。

∴ 1201722016320152017()()()()()()()()2

f a f a f a f a f a f a f a f

a +=+=+==+=L 。 ∴ []12320172()

()()()

f a f a f a f a +++

+

L [][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++L

22017=⨯。

∴ 1232017()()()

()2017

f a f a f a f a ++++

=

L 。 4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好

分到2个名额的概率为。

【答案】

2

7

【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同

分配方案有3

735C =种。

（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。）

其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2

510C =种。

（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。）

所以，所求的概率为

102

357

=。 5．三棱锥P ABC -中，ABC △

是边长为

PB PC ==，且二面角

P BC A --的大小为45︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为。

【答案】25π

【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。

由ABC △

是边长为

PB PC ==

AD BC ⊥，PD BC ⊥

，PD =

∴ P D A ∠为

二面角P BC A --的平面角，45PDA ∠=︒，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。

作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。

∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。

设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。 则O 在直线1PO 上，且2

2211PO PO

O A OA -+=。

∴ 222

(1)2R R -+=，

5

2

R =，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2425R ππ=。

6．已知P 为双曲线C ：22

1412

x y -

=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为。

A

【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙与12PF F △三边相切的切点。

则由切线长定理以及双曲线定义，得

121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=- ()()2D D D x c c x x =+--=

∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。

设00()P x y ，，由M 为12PF F △重心，知

036M x x ==，0y =

∴ 114PF ==，

210PF ==。

设12PF F △内切圆半径为r ，则

1212121

()162

PF F S PF PF F F r r =

++⨯=△。 另一方面，

1212011

822

PF F S F F y =⨯⨯=⨯⨯△

∴ 16r =r =

7．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，

且s i n c o s (2c o s )s i n 2

2

A

A C C

=-，3

cos 5

A =

，4a =，则ABC △的面积为。 【答案】6 【解答】由sin cos

(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222

A A A

C C =-。 ∴ s i n

(1c o s )(2c o s )C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。

∴ s i n

s i n c o s

c o s s i n

C C A C A A ++=，

sin sin()2sin C C A A ++=。 ∴ s i n

s i n 2s i n C B A +=，即

2c b a +=。 又3

cos 5

A =

，4a =。 ∴ 22242c o s b c b c A =+-，即

2223

4(8)2(8)5

b b b b =+---⨯，解得3b =或5b =。