小学五年级奥数讲义(学生版)30讲全
最新版小学五年级奥数经典30讲
最新版小学五年级奥数经典30讲第1讲数字迷（一）第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 讲用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一) 第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
小学数学奥数基础教程(五年级)--18
小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30讲本教程共30讲最大最小同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。
例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。
特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。
例2比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。
分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。
直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。
仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。
例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。
长方形的面积等于长乘以宽。
因为长+宽=36÷2=18（米），由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米2）。
例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
小学数学奥数基础教程(五年级)--30.doc
小学数学奥数基础教程（五年级）本教程.共30讲抽屉原理（二）例1把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。
是否一定有两列小方格涂色的方式相同？分析与解：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。
如果涂色方式少于9种，那么就可以得到肯定的答案。
涂色方式共有下面8种：红红9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。
例2在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3 的倍数？分析与解：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显的抽屉，这就需要根据题目构造合适的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时, 这两个数的差一定是3的倍数，所以将自然数按除以3的余数分类，可以分为整除、余1、余2三类，将这三类看成3个抽屉。
4件物品放入3个抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同，它们的差是3的倍数。
所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。
例3从1, 3, 5, 7,…，47, 49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
分析与解：首先要根据题意构造合适的抽屉。
在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配:{3, 49} , （5, 47} ，（7, 45} , （9, 43}，{11,41} ， (13, 39) ， (15, 37) ， (17, 35)，{19, 33} , {21, 31} , {23, 29} , {25, 27} o将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1,单独作为一个抽屉。
这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。
因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽屉被取出2个数，这两个数的和是52。
所以本题的答案是取出14个数。
小学五年级奥数讲义(60页)
第1讲 巧求周长和面积几何是研究现实世界的空间形式与数量关系的一门科学，是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。
几何问题非常直观、有趣，但是仍然有的同学对解几何问题的基本方法掌握不好。
之前已经学习了长方形和正方形的周长和面积公式，利用公式可以解决一些简单的标准图形的周长和面积问题，对于一些复杂的不规则图形的周长和面积问题，我们可以采用平移、转化、分割、添补、合并等方法，将问题转化为我们熟悉的、简单的图形问题，从而顺利的解决。
本讲掌握长度与面积的概念和基本计算方法。
学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；运用平移、旋转、对称等方法处理某些面积计算问题。
学海导航巧求周长（三年级秋季） 巧求周长与面积（四年级暑假） 等积变换（四年级春季） 巧求周长与面积（本讲） 直线型面积（一）（五年级秋季） 直线型面积（二）（五年级秋季） 直线型面积（三）（五年级寒假）知识要点周长：围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
长方形周长公式：()()22a b =+⨯=+⨯长方形长方形周长长宽，记作：C 正方形周长公式：44a =⨯=⨯正方形正方形周长边长，记作：C 方法：公式法、平移线段法、标向法面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
长方形面积公式：a b =⨯=⨯长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =⨯=⨯=正方形正方形面积边长边长，记作：S三角形面积公式：1122a h =⨯⨯=⨯⨯三角形三角形面积底高，记作：S平行四边形面积公式：a h =⨯=⨯平行四边形平行四边形面积底高，记作：S梯形面积公式：()()1122a b h =⨯⨯=⨯+⨯梯形梯形面积上底+下底高，记作：S方法：公式法、割补法（将图形平移、对称、旋转）例题详解【例1】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【例2】如图，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直。
五年级同步奥数讲义(全册)
第一讲最不利原则例1.盒子里有5支红笔，3支蓝笔，10支黑笔。
现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？分析：抓得巧，只要抓1支即可。
然而并不能保证实现这种情况。
最不利的情况是抓了13支，都是不想要的黑笔与蓝笔。
不过，只要再多抓1支就必定包含红的了。
解：10＋3＋1＝14（支）例2.一列2个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂毕第几列时，至少有2列是相同的？（有一列与另一列重复）。
分析：不妨这样想：要实现两列所用颜色一样，涂的顺序也相同。
然而，由于是任意选的，据最不利原则总是先考虑已涂各列没有重复的。
如：红红黑黑……红黑黑红……实际上各不相同的列数总共只有4列。
到第5列就必定重复前面涂过的4种中的某一种。
如果并非遇到最不利情况，那么在前5列中重复的列数就不止2列。
这与“至少2列”并不矛盾。
解：4＋1＝5（列）练习一1.盒子里有3支红笔，6支蓝笔，10支黑笔。
现在随意抓一把笔要确保其中至少有1支红笔，则一把必须不少于几支？2.鱼池中有30条白鳞鱼，50条黑鳞鱼，50条金鳞鱼。
至少在多少名钓鱼者中才可保证他们一次钓出的鱼中，必有金鳞鱼？3.在一个口袋中有10个黑球、 6个白球、 4个红球。
问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？4.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：至少取多少根才能保证三种颜色都取到？5.在三个口袋中各有10个黑球、10个白球、10个红球。
问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？第二讲抽屉原理专题简析：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x＋k（k≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
小学数学奥数基础教程(五年级)目30讲全190410
求解此类小数除法竖式题，应先 将其化为整数除法竖式，如果被除数 的末尾出现 n个 0，则在除数和商中， 一个含有因子 2n（不含因子 5），另 一个含有因子 5n（不含因子 2），以 此为突破口即可求解。 例 5 一个五位数被一个一位数除 得到下页的竖式（1），这个五位数被 另一个一位数除得到下页的竖式（2）， 求这个五位数。 的
小学奥数基础教程（五年级） 分析与解：按新运算的定义，符 号“⊙”表示求两个数的平均数。 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， 四则运算中的意义相同，即先进 行小括号中的运算，再进行小括号外 面的运算。 …… 8！，…，100！的末位数字都是 0。 所以，要求1！+2！+3！+…+100！ 的个位数字，只要把 1！至 4！的个位 数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所 求的个位数字是 3。 例 7 如果 m，n表示两个数，那么 规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。 求 3¤（4¤6）¤12的值。 解：3¤（4¤6）¤12 按通常的规则从左至右进行运算。 =3¤[4×6-（4+6）÷2]¤12 =3¤19¤12 =[4×19-（3+19）÷2]¤12 =65¤12 =4×12-（65+12）÷2 =9.5。 练习 3 1.对于任意的两个数 a和 b，规定 a*b=3×a-b÷3。求 8*9的值。 2.已知 a 乘以 b，求 13 3.已知 a 4的值。 第 4讲 定义新运算（二）
的倍数，求这个六位数。 分析与解：因为未知的数码在中 间，所以我们采用两边做除法的方法 求解。 先从右边做除法。由被除数的个 位是 4，推知商的个位是 6；由左下式 知，十位相减后的差是 1，所以商的十 位是 9。这时，虽然 89×96=8544，但 不能认为六位数中间的两个□内是85， 因为还没有考虑前面两位数。
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例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题.数字谜涉及的知识多，思考性强,所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，—,×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立(每个运算符号只准使用一次)：(5○13○7）○（17○9)=12。
分析与解:因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷"的位置.当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数,只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
(完整word版)五年级上册奥数讲义
↑↑↑↑↑优才家教 优等生同步奥数提高 五年级（下）↑↑↑↑↑第一讲 整数问题 第1课 数的整除一、知识要点1. 整除——因数、倍数2. 相关基础知识点回顾（1）0是任何整数的倍数. (2）1是任何整数的因数。
3. 数整除的性质例如:如果2｜10，2｜6，那么2|（10＋6),并且2|（10-6）.必要条件：（1）a 、b 、c 三个数是整数 （2)b ≠0 (3）a ÷b=c结论：整数a 能被整数b 整除，或b 能整除a,则a 叫做b 的倍数,b 叫做a 的因数。
记作:b|a例如：如果6｜36，9｜36，那么[6，9]|36.例如：如果2｜72,9|72，且（2，7）=1，那么18｜72.例：如果7|14，14｜28，那么7|28。
4.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0）,那么它必能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。
(3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9)整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25）整除.例:1864能否被4整除？解：1864=1800+64，因为4｜64，4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。
(5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除,那么它必能被8（或125）整除。
例：29375能否被125整除?解:29375=29000+375,因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。
（6）能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除,那么它必能被11整除。
（奇数位指：这个数的个位、百位、万位……;偶数位指：这个数的十位、千位、十万位……）例：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3)＝0。
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五年级奥数第1讲数字迷（一）第16讲巧算24第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小第4讲定义新运算(二) 第19讲图形的分割与拼接第5讲数的整除性(一) 第20讲多边形的面积第6讲数的整除性(二) 第21讲用等量代换求面积第7讲奇偶性（一）第22 用割补法求面积第8讲奇偶性（二）第23讲列方程解应用题第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题（一）第10讲质数与合数第25讲行程问题（二）第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第27讲逻辑问题（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第28讲逻辑问题（二）第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4 已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTYTEN+ TENSIXTY例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：（1） A B (2) A B A B+ B C A - A C AA B C B A A C3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：□□×□□=□□×□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第2讲数字谜（二）这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相例2 在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□× 8 1□□□□□□□□□□□例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。
□8 □□□□)□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□例4 在□内填入适当数字，使小数除法竖式成立。
例4图例5图例5 一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式（2），求这个五位数。
练习21.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz (1)1abcd×3=abcd5 (2)7×abcxyz=6×xyzabc2.用代数方法求解下列竖式：3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：□ 8 □ 7 □.□□□□□□□)□□□□□□□.□) □□□.□□) □.□□□□□□□□□□□□□ 8 □□□□□□□□□□□□□□□□ 0 0例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
例2 已知a△b表示a的3倍减去b的1，例如根据以上的规定，求102△6的值3，x>=2，求x的值。
例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×…×n。
例如 4！=1×2×3×4。
那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？例7 如果m，n表示两个数，那么规定：m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
练习31.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2.已知a b表示a除以3的余数再乘以b，求134的值。
3.已知a b表示（a-b）÷（a+b），试计算：（53）（106）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P， Q，规定 P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：2☆8=（2×8）÷4。
例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
例2 定义运算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：8⊙5与5⊙8的值相等吗？（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？例3 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；（2）已知6☆x=27，求x的值。
例4 a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：a◎b；b◎c；c◎a。
例5 对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
练习42.定义两种运算“※”和“△”如下：a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。
试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：a表示顺时针旋转240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。
比如73=1，529=4，420=0。
（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；第5讲 数的整除性（一）1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做b | a .2、性质（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特征1、 被2整除特征：个位上是0,2,4,6,82、 被5整除特征：个位上是5,03、 能被3或9整除的数的特征是：各个数位的数字之和是3或9的倍数4、被4、25整除的数的特征：一个数的末2位能被4、25整除5、被8、125整除的数的特征：一个数的末3位能被8、125整除6、被7整除的数的特征 ：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
7、能被11整除的数的特征 ： 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特征 ：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。
9、被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差（大数－小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：判断556584能不能被7整除 末三位584 末三位之前的数556，584-556=28 28能被7整除，所以556584能被7整除10、能被17整除的数的特征 : 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
11、能被19整除的数的特征:把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍， 如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程 例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例2 由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3 有四个数：76550，76551，76552，76554。