抛物线法求多项式方程
多项式课件-新人教版
公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。
多项式拟合方程
多项式拟合方程多项式拟合（Polynomial Fitting）是一种常见的数据拟合方法，它通过拟合一个多项式函数来逼近给定数据的分布规律。
多项式拟合广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于分析和预测数据的趋势和规律。
在进行多项式拟合时，首先需要选择合适的多项式函数。
一般来说，多项式的次数越高，拟合的精度越高，但也容易出现过拟合的问题。
因此，在选择多项式的次数时需要权衡拟合精度和模型的复杂度。
常用的多项式函数包括一次多项式（线性函数）、二次多项式（抛物线函数）、三次多项式（立方函数）等。
假设我们有一组数据点，我们希望通过多项式拟合找到一个函数，使得该函数能够最好地逼近这些数据点。
具体的拟合过程一般可以通过最小二乘法来实现。
最小二乘法的基本思想是使得拟合函数与数据点的残差平方和最小化。
通过求解最小二乘问题，可以得到最佳拟合函数的系数。
多项式拟合的步骤如下：1. 收集数据：首先需要收集一组相关的数据点，这些数据点可以是实验测量得到的，也可以是观察到的现象或者统计得到的。
2. 选择多项式的次数：根据数据的特点和需要，选择合适的多项式的次数。
一般来说，可以通过观察数据的分布和趋势来初步确定多项式的次数。
3. 构建矩阵方程：将数据点表示成矩阵的形式，构建矩阵方程。
矩阵方程的形式为AX=B，其中A是一个矩阵，X是待求解的系数向量，B是数据点的值向量。
4. 求解矩阵方程：通过求解矩阵方程，即求解线性方程组，可以得到最佳拟合函数的系数向量X。
5. 拟合函数的计算：根据求解得到的系数向量X，可以计算出拟合函数的表达式。
拟合函数可以用于预测未知的数据点或者分析数据的规律。
多项式拟合在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学中，通过多项式拟合可以推导出物体的运动方程；在经济学中，通过多项式拟合可以预测股市的走势；在工程学中，通过多项式拟合可以优化产品的设计。
然而，多项式拟合也存在一些限制和注意事项。
首先，多项式拟合只能逼近给定的数据点，并不能完全反映数据的真实规律。
数学中的代数方程与函数关系
数学中的代数方程与函数关系在数学中，代数方程与函数关系是一个重要的研究领域。
代数方程是指含有未知数的方程，而函数关系则是通过数学函数来描述变量之间的关系。
这两个概念在数学中有着密切的联系和应用。
一、代数方程的基本概念与分类代数方程是数学中的一种基本概念，它是由未知数和已知数通过运算符号相连接而成的等式。
代数方程的解就是使得等式成立的未知数的值。
根据方程中未知数的个数和方程中各项的次数，代数方程可以分为线性方程、二次方程、多项式方程等。
线性方程是一种最简单的代数方程，它的未知数的次数为1。
例如，2x + 3 = 7就是一个线性方程，其中的未知数x的次数为1。
解线性方程的方法有很多，可以通过代数运算或图像法来求解。
二次方程是一种次数为2的代数方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
二次方程的解可以通过求根公式来得到，其中的未知数x的次数为2。
二次方程在几何学和物理学中有广泛的应用，例如抛物线的方程就是一个二次方程。
多项式方程是一种包含多个项的代数方程，它的一般形式为a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0。
多项式方程的解可以通过因式分解、配方法、根的关系等方法来求解。
多项式方程在代数学中有着重要的地位，它是代数学的基础之一。
二、函数关系与代数方程的联系函数关系是通过数学函数来描述变量之间的关系。
函数关系可以用代数方程来表示，反之亦然。
例如，对于线性方程2x + 3 = 7来说，我们可以将其表示为函数关系y = 2x + 3，其中y表示方程的解。
通过这个函数关系，我们可以得到方程的解集。
函数关系与代数方程的联系还体现在函数的图像上。
对于一元函数来说，函数的图像就是平面直角坐标系中的曲线。
而代数方程的解就是函数图像上的点。
例如，二次方程y = ax^2 + bx + c的图像就是一个抛物线，方程的解就是抛物线上的点。
另外，函数关系与代数方程还有着一种重要的对应关系，即函数的零点与代数方程的解。
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式
二元二次方程，也称二次多项式，是一种最基本的高等数学问题，最早可以追溯到古希腊时期。
它是一种用来描述两个变量之间关系的方程，常被用来求解一些实际问题，如定位，重力，流体，磁力等。
二元二次方程的模式是ax²+bx+c=0，其中a，b，c是实数，a不能为零。
这一方程可以用图形的方式来表示，即二次函数y=ax²+bx+c 的图形，图形的形状取决于a的正负值以及b的大小，如果a>0，那么图像的形状是一个开口向下的抛物线，如果a<0，则图像为开口向上的抛物线。
求解二元二次方程的方法有很多，最简单的方法是借助于判别式，即b²-4ac，如果判别式大于0，则方程有两个不等的实数根，如果判别式等于0，则方程有一个重根，如果判别式小于0，则方程无实数根。
另外，还有一种叫做“因式分解法”的求解方法，可以将原方程分解成一系列的乘积，然后再求解其中的各个变量，得出方程的根。
此外，还可以使用“求根公式”的方法，这是一种更快捷的求解方法，可以通过一系列的算术运算，得出方程的两个实数根。
总之，二元二次方程是一种常见的数学问题，它可以帮助我们求解
一些实际问题，也可以帮助我们更好地理解数学的概念。
所以，学习二元二次方程的知识是非常有必要的。
化简抛物线一般方程的矩阵法
化简抛物线一般方程的矩阵法
抛物线一般方程是一个n次多项式的矩阵形式，可以使用矩阵法来解决该问题，将其化简
为可以解决的形式。
矩阵法是通过系数和方程，将问题归约为有解的矩阵，以从而使抛物
线一般方程更容易解答。
要将抛物线一般方程的矩阵法求解，首先把数据存入矩阵中。
令系数矩阵A为[a₁, a₂,…, an],方程y=a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+anx+bn，则有Ax=b，即矩阵形式。
接下来，使用消元法将矩阵A化简，将A 变形成可解的形式A'。
关键点是设计可解性，
有足够的系数使抛物线一般方程可以满足条件。
判断可解性时，对行列式A'进行计算，如果行列式A'不为零，则可解；反之，则不可解。
最后，使用可解的矩阵A'的特性来求解抛物线一般方程。
先求出行列式A'的值，再求解解：np.linalg.solve(A'，b)。
最后，就可以用矩阵A'的根求出抛物线的一般方程的解，得到其系数。
抛物线一般方程的矩阵法就是这样，通过行列式的求解--系数矩阵A和方程y=a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻
¹+…+anx+bn，使用消元法将矩阵A化简，并判断其可解性，再根据可解性求解行列式A'，最终求出抛物线的一般方程的解。
矩阵法提供了一种便捷的求解抛物线一般方程的方法，
节约了不少精力，有助于深入理解抛物线的数学特性。
《多项式概念》课件
根的性质
多项式的根可以是实数、复数或分数，取决 于多项式的系数和指数。
根的求法
通过代入法或因式分解法等数学方法，可以 求出多项式的根。
多项式的因式分解
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式 。
因式分解的方法
包括提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法 等。
因式分解的意义
因式分解有助于理解和分析多项式的结构，简化计算 和证明。
。
一次多项式的根（即解）是直线与$x$轴的交点，解的个数为1
03
或2。
二次多项式
01
二次多项式是只包含一个变量最高次幂为2的多项式，形如 $ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
02
二次多项式在平面坐标系中表示一个抛物线。
03
二次多项式的根的个数最多为2个，且一定是一对共轭复数 。
多项式的最大公因式
定义
最大公因式是指两个或多个多项式中共同的因 式中次数最高的一个。
最大公因式的求法
通过辗转相除法或分组法等数学方法，可以求 出多项式的最大公因式。
最大公因式的应用
最大公因式在简化多项式、解方程和证明等领域有广泛应用。
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多项式的根表示与坐标轴的交点，即曲线与坐标轴的交点。
微积分性质
多项式函数的积分也是多 项式函数。
多项式函数的导数仍然是 多项式函数。
多项式函数是可微的，即 其导数存在。
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CATALOGUE
多项式的运算
多项式的运算
• 多项式是数学中一个基本概念， 通常表示为有限个单项式的代数 和。每个单项式由一个系数和一 个变量幂次相乘得到。例如，多 项式 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) 包 含四个单项式。
高中数学多项式因式分解与根的关系分析
高中数学多项式因式分解与根的关系分析在高中数学中，多项式因式分解是一个重要的内容，它不仅能够帮助我们简化复杂的多项式表达式，还能够揭示多项式的根与因子之间的关系。
本文将围绕这一主题展开论述，通过具体的题目举例，分析多项式因式分解与根的关系，并给出解题技巧和使用指导。
一、一次因式分解与一次方程的根考虑一个一次多项式P(x)=ax+b，其中a和b为常数，a≠0。
根据一次多项式的定义，我们知道它的图像是一条直线。
那么，这个多项式的因式分解和根之间有什么关系呢？首先，我们可以将P(x)写成因式的形式：P(x)=a(x-x0)，其中x0为常数。
这个形式就是一次因式分解的结果。
我们可以看出，这个多项式的根就是x0。
换句话说，一次多项式的因式分解结果中的因子，就是它的根。
举个例子来说明。
考虑多项式P(x)=2x-4，我们可以将它因式分解为P(x)=2(x-2)。
我们可以看到，因式分解的结果中的因子为x-2，而这个因子对应的根就是x=2。
那么，我们如何通过一次方程的根来得到多项式的因式分解呢？我们可以通过观察方程的解来得到多项式的因子，从而进行因式分解。
例如，考虑方程2x-4=0，我们可以通过解方程得到x=2。
由于这个方程是一次方程，它对应的多项式也是一次多项式。
所以，我们可以得到多项式P(x)=2x-4。
然后，我们可以将这个多项式进行因式分解，得到P(x)=2(x-2)。
通过以上的例子，我们可以看出，一次因式分解和一次方程的根之间是相互对应的。
我们可以通过一次方程的根来得到一次多项式的因式分解，也可以通过一次多项式的因式分解来得到一次方程的根。
二、二次因式分解与二次方程的根接下来，我们来探讨二次因式分解与二次方程的根之间的关系。
考虑一个二次多项式P(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a≠0。
我们知道，二次多项式的图像是一个抛物线。
首先，我们可以将P(x)写成因式的形式：P(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为常数。
多项式函数的图像与方程特征
多项式函数的图像与方程特征多项式函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学研究和实际应用中都具有广泛的意义。
通过研究多项式函数的图像与方程特征，我们可以深入了解多项式函数的性质和规律，为解决实际问题提供有力的数学工具。
首先，我们来探讨多项式函数的图像特征。
多项式函数的图像通常呈现出特定的形状和走势，这与多项式函数的次数和系数有关。
对于一元多项式函数，其图像可以是一条曲线或者是由多条线段组成的折线。
而多项式函数的次数决定了图像的最高阶形态，例如，一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，三次函数的图像是一个“S”形曲线，以此类推。
其次，我们来研究多项式函数的方程特征。
多项式函数的方程通常具有一些特殊的性质，这些性质有助于我们解决方程和分析函数的行为。
首先，多项式函数方程的次数决定了方程的根的个数。
根据代数基本定理，一个n次多项式函数的方程最多有n个根，包括重根。
其次，多项式函数方程的根与系数之间存在着重要的关系，例如，对于一元一次方程ax+b=0，其根为-x/b，而对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根的求解可以通过韦达定理或配方法来实现。
进一步地，我们可以通过多项式函数的图像和方程特征来解决一些实际问题。
例如，在物理学和经济学中，往往需要根据已知数据建立数学模型，多项式函数常常被用来拟合和预测数据。
通过研究多项式函数的图像特征，我们可以了解函数的增减性、极值点以及拐点等信息，从而更好地理解数据的变化趋势。
同时，通过多项式函数的方程特征，我们可以解决一些实际问题，例如求解最优解、计算面积和体积等。
最后，我们还可以通过多项式函数的图像和方程特征来拓展数学知识。
例如，通过研究多项式函数的图像，我们可以引入导数的概念，进一步研究函数的变化率和极值问题。
通过研究多项式函数的方程特征，我们可以引入复数的概念，进一步研究方程的根的性质和解的形式。
综上所述，多项式函数的图像与方程特征是数学中一个重要的研究内容。
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非线性方程求根问题
教材中，对于非线性方程求根问题，主要考虑迭代法。
于是教材中大篇幅介绍了迭代的过程，之后又具体论述了开方法和牛顿法以及牛顿法的改进。
对于迭代过程的描述，首先进行根的隔离。
考虑将某个范围划分成若干个子段，然后判断哪个子段有根。
即通过在给定区间上，从左端点出发按一定步长一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索。
采用根的二分搜索使加工规模减半。
其次，进行迭代过程的设计。
其间运用压缩映像原理和局部收敛性定理来判断迭代过程是否对于迭代初值收敛。
第三，由于迭代过程的冗长，考虑迭代加速。
对迭代过程论述清楚后，介绍开方法和牛顿法。
这两者都是按照迭代函数，到迭代收敛性判定，再到迭代加速的顺序展开论述的。
其中对于改进的牛顿法还涉及到了弦截法，此法在之后文章将会有提到。
开方法迭代函数：)(21)(x
a x x +=ϕ 牛顿法迭代函数：)
()()('x f x f x x -=ϕ 牛顿法改进（引入下山因子λ）迭代公式：)()('1k k k k x f x f x x λ
-=+ 弦截法迭代函数：)()
()()()(00x x x f x f x f x x ---=ϕ 接下来讨论一种新的迭代法——抛物线法。
基本原理与算法
抛物线法是求多项式方程0)(=x P 的实根和复根的有效方法，也可用来求一般函数方程0)(=x f 根。
抛物线法是正割法的推广。
设有非线性方程
0)(=x f （1）
首先给出方程（1）根*
x 的三个初始近似值0x ，1x ，2x 过三个点（0x ，)(0x f ），（1x ，
)(1x f ），（2x ，)(2x f ），可构造二次插值多项式0)(2=x P ，用它来代替')(x f ，求0)(2=x P 的根，记为3x 作为0)(=x f 根*x 的第3次近似值，这就是抛物线法（设（0x ，)(0x f ），
（1x ，)(1x f ），（2x ，)(2x f ）三点不共线）。
一般情况，设已求得方程根的近似值2-k x ，1-k x ，k x ，并用过三点（i x ，)(i x f ）
),1,2(k k k i --=构造的二次插值多项式)(2x P 来代替)(x f ，求0)(2=x P 的根，并记为1+k x 作为0)(=x f 根*x 的第1+k 次近似值。
显然
))(](,,[)](,[)()(12112---+--+-+=k k k k k k k k k x x x x x x x f x x x x f x f x P （2） 其中，k
k k k k k x x x f x f x x f --=--+111)()(],[ k k k k k k k k k x x x x f x x f x x x f --=
------212121],[],[],,[ 为了求出0)(2=x P 根，将（2）式写成更加方便的形式，即
k k k k k c x x b x x a x P +-+-=)()()(22 （3）
其中，],,[12k k k k x x x f a --=
)](,,[],[1121-----+=k k k k k k k k x x x x x f x x f b
)(k k x f c =
寻求02=++k k k c h b h a 的绝对值最小的根记为k k k x x h -=+1，于是k k k h x x +=+1是
最接近k x 的方程0)(2=x P 的根。
解此二次方程，得
k
k k k k k a c a b b h 242
--= 于是，初值为0x ，1x ，2x 的抛物线法计算公式为 k k k k k
k k c a b b c x x 4221-±-=+ （k=2,3，…） （4）
其中，k a ，k b ，k c 由式（3）求得，根式钱符号应选择使（4）式分母的绝对值或模最大，即符号应取为与k b 同号，也就是说，在0)(2=x P 的两个根中选择最接近k x 的作为0)(=x f 根的第k+1次近似值。
为了计算上的方便，引入量
0112x x x x q --=，0
1021x x x x q p --=+= 于是
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≡=-≡-++-=-≡-+-==c pf pc x x b x x f q p f p f q pb x x a x x qf pqf f q x x x pf pa 2212122120222
1221221022102)()())(()()()(],,[ （5） 将式（5）代入式（4）得到二次函数)(2x P 的零点为：
⎪⎭⎪⎬⎫-+=-≡-±--=)()(4)
(2123231232122x x q x x x x q ac b b x x c h （6） 其中，2102qf pqf f q a +-=
21202)(f q p f p f q b ++-=
2pf c =
ac b b c
q 4222-±-=
抛物线法（Muller 方法）计算步骤：设方程0)(=x f 。
（1）选定三个初始近似值0x ，1x ，2x ，计算相应的函数0)(=x f 值0f ，1f ，2f ，计算0
112x x x x q --=。
（2）迭代计算：
q p +=1；
h c b a ,,,（按（6）式计算，且h 分母中“±”号与b 取同号）；
)(1223x x h x x -+=；
计算)(33x f f =。
（3）如果1εδ≤或23ε≤f （21,εε为给定精度），则迭代终止，3x 即为所求，否则转
（4）。
（4）如果迭代次数超过指定次数N ，则认为迭代过程不收敛，计算失败，否则以),,,,,,(3321321q f f f x x x 分别代替),,,,,,(210210q f f f x x x ，转（2）继续迭代。
注意：这里
⎪⎩
⎪⎨⎧≥--=时，当时，当113323323x x x x x x x δ 实际算例
以下将提供《计算方法》中的快速弦截法和本文引用的抛物线法来求解题目，以获得较深刻认识。
【例】求方程093)(23=---=x x x x f 在)5.1,2(--内的根。
弦截法
解：取初值20-=x ，11-=x ，代入迭代公式依次求解
)()
()()(111--+---=k k k k k k k x x x f x f x f x x
抛物线法 解：取初始近似值20-=x ，11-=x ，4.12-=x ，代入原式计算得90-=f ，61=f ，776.12=f 。
（1）计算：4.0-=q ，6.0=p
7104.0-=a ，2448.3-=b ，0656.1=c ，30767689.0=h
523071.1)(1223-=-+=x x h x x
（2）计算：由11-=x ，4.12-=x ，523071.13-=x
61=f ，776.12=f ，0306984.03=f
继续迭代，计算30767689.0=q ，30767689.1=p
13712260.0-=a ，41940837.2-=b ，040148374.0=c ，016578716.0=h 525111.1)(2334-=-+=x x h x x 。
计算0001323.0)(4-=x f
上述计算结果与快速弦截法的结果相比较，可知抛物线法收敛较快。
可以证明下述局部收敛定理。
如果)(x f 在根*x 邻近存在连续的三阶导数且初始近似值充分接近*
x ，则抛物线方法迭代过程是收敛的，且有 42.0*'*'''84.1*1*0)(6)(lim x f x f x x x x k k k =--+→ （设0)(*
'≠x f ） 在抛物线方法中，即使选取0x ，1x ，2x 为实数，但3x 也可能是复数，所以抛物线法可适用求多项式方程的实根和复根。