控制工程基础第2章
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础第2章
传递函数
线性定常系统在零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变 换之比。
拉氏变换的性质
2、延迟定理 若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则对任一
正实数a有
L[ f (t a)] easF(s)
说明：当 t<0时，f(t)=0， f(t-a) ：延时函数，表示f(t)延迟时间a。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任
一常数a（实数或复数），有
（2）基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路 中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
典型元件所遵循的物理定律
➢ 电阻
➢ 电感 ➢ 电容
例
L
ui i
R
C uo
ui
(i)
Ri(t)
L
d dt
i(t)
uo
(i)
i(t)
C
d dt
uo
(t)
LC
d2 dt 2
u0
(t)
RC
d dt
u0
(t)
u0
(t
)
ui
F(s)
s2
s
3 3s
2
s
k1
1
s
k2
2
k1
s2
s3 3s
2
(s
1)
s1
2
k2
s2
s3 3s
2
(s
2)
s2
1
F(s) 2 1 s1 s 2
f (t) 2et e2t
2、F(s)有重极点的情况
设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相同，则
F(s)
B(s) A(s)
控制工程基础第二章拉普拉斯变换
n
(t≥0, n> -1且为整数)
其拉氏变换 为 n
L[t ] t e dt
n st 0
n！ L[t ] n 1 s
n
单位阶跃函数 、 单位斜坡函数及单 位加速度函数分别 是幂函数 t n (n 1) 当n=0、 n=1 及 n=2时的特例。
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L1 L e2t Lcos3t L t 3 L t
1 1 s 6 2 4 1 s s2 s 9 s
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机电工程学院
第二章
拉普拉斯变换
二、延时定理（Time-Shift Theorem）
若有
L[ f (t )] F ( s) ，对任意实数 a ,则
at
st
page 12
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第二章
拉普拉斯变换
（六）正弦函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为 式中，
控 制 工 程 基 础
为正弦函数的角频率。
0
r (t ) sin t
(t≥0)
其拉氏变换 为
L[sin t ] sin t e dt
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第二章
拉普拉斯变换
二、典型时间函数的拉氏变换
常用的时间函数有：
控 制 工 程 基 础
单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加 速度函数、指数函数、正弦函数、余弦函数、以及幂函数等。
page
6
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第二章
拉普拉斯变换
（一）单位脉冲函数
单位脉冲函数(Unit Impulse Function)也称为 函数或称狄 拉克函数(Dirac Function)，其 变化曲线如图2-1-1， 数学表达式为：
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-u )tfC)+-+-f)(a )(b )(c )(d R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
控制工程基础 清华大学 董景新 第二章 控制系统的动态数学模型
2.1 基本环节数学模型
数学模型是描述物理系统的运动规律、特性 和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态） 时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。 即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学 关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过 去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是 代数式，数学表达式中不含有时间变量。
控制工程基础
（第二章）
清华大学
第二章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
控制系统的动态数学模型
基本环节数学模型 数学模型的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数以及典型环节的传递函数 系统函数方块图及其简化 系统信号流图及梅逊公式 受控机械对象数学模型 绘制实际机电系统的函数方块图 状态空间方程
式中， a1 , a2 是常值，可由以下步骤求得 将上式两边乘 s j s j , 两边同 时令s j（或同时令s j ）， 得
a1s a2 s j X s s j s j s j
s3 例 试求 X s 2 s 3s 2
的拉氏反变换。
s 3 解： X s 2 s 3s 2 s3 s 1s 2 a1 a2 s 1 s 2
s3 a1 s 1 2 s 1s 2 s 1 s3 a2 s 2 1 s 1s 2 s 2 2 1 X s s 1 s 2 t 2t xt 2e e 1t
T st
2T T
xt e
st
n 1T dt
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学习要求
掌握用分析方法建立物理系统数学模型的过程； 了解一、二阶线性系统微分方程的标准形式； 掌握传递函数的定义、求法、典型环节的传递函数描述； 掌握结构图化简和简单梅逊公式求系统的传递函数； 了解MATLAB软件对线性系统建模和分析方法。
学习内容
2-1 系统的微分方程 2-2 拉普拉斯变换 2-3 传递函数 2-4 系统框图及简化 2-5 信号流图与梅逊公式
（1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所 有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之 和等于所有流进节点的电流之和）。
（2）基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路 中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
典型元件所遵循的物理定律
➢ 电阻
➢ 电感 ➢ 电容
例
LR
ui
i
C uo
ui
(i)
Ri(t)
L
d dt
线性系统
可以用线性微分方程描述的系统
dn
dn1
an dtn xo(t)an1dtn1 xo(t)Ka0xo(t)
bmddtm mxi(t)bm1ddtm m11 xi(t)Kb0xi(t)
线性是指系统满足叠加原理，即
可加性 f(x 1 x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) 齐次性 f(ax)af(x)
线性定常系统
a ( t ) & x & ( t ) b ( t ) x & ( t ) c ( t ) x ( t ) d ( t ) y ( t )
线性时变系统
y(t) x2(t)
非线性系统
例 判断下列微分方程表达的系统是线性系统 还是非线性系统？
（1） xo(t)t& x& i(t)xi2(t)
则 f(t) 的拉氏变换，记作
F(s)L[f(t)]f(t)estdt 0
L：拉氏变换符号； s：复变量； f(t)：原函数； F(s)：f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
拉氏反变换的定义
将象函数 F(s)变换成与之相对应 的原函数 f(t) 的过程
f(t)L1[F(s)]21j
非线性
（2）& x & o (t) 3 x & o (t) 8 x o (t) x i(t)
线性定常
（3） xo(t)costxi(t)
线性时变
（4）3 & x & o ( t) x o ( t)x & o ( t) 2 x o ( t) 5 x i2 ( t)
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、 差分方程、状态方程
bmddtm mxi(t)bm1ddtm m11 xi(t)Kb0xi(t)
线性定常系统：方程的系数an, bm是常数；
线性时变系统：an, bm是时间的函数；
非线性系统：an, bm中只要有一个系数依赖于xo(t) 和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现其 它函数形式。
例
a & x & (t) b x & (t) c x (t) d y (t)，其中a,b,c,d均为常数。
i(t)
uo
(i)
i(t
)
C
d dt
uo
(t
)
L Cd d t2 2u0(t)R Cd d tu0(t)u0(t)ui(t)
相似系统
若忽略系数的物理意义，则机械位移系统和电网络系 统的数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相似系统， 揭示了不同物理现象之间的相似关系。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，相似系统 输出的响应相似。
输入量 C
F
t
fC
t fK fK t
t m Kxo t
d2 dt 2
xo
t
o
fC
t
C
d dt
xo
t
输出量
m d d t2 2xotC d d txotK xotF t
电网络系统微分方程的列写
电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和 电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学 模型。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的定义
设时间函数 f(t)满足狄里赫利条件，其中 t 0
LR
ui i
C uo
d2
d
a 2d t2x0(t)a 1d tx0(t)a 0x0(t)b 0xi(t)
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
机械系统微分方程的列写
机械系统中部件的运动有直线和转动两 种，系统中以各种形式出现的物理现象，都 可简化为质量、弹簧和 物体的加速度与其所受的合外力成正比，与 其质量成反比，且加速度与合外力方向相同 F=ma。
典型元件所遵循的物理定律
例 直线运动（机械平移系统）
复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
分析系统的工作原理和信号传递过程，确定元件 或系统的输入量和输出量；
从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各 变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部 件的动态微分方程。注意负载效应。
消去中间变量，推出只含输入、输出量及其导数 的微分标准方程，即右端输入，左端输出，导数 降幂排。
一、概 述
数学模型
描述系统或元件的动态特 性的数学表达式
建模
深入了解元件及系统的动态特 性，准确建立它们的数学模型
建立系统数学模型的方法
分析法
对系统各部分的运 动机理进行分析，依 据系统本身所遵循的 有关定律列写数学表 达式，并在列写过程 中进行必要的简化。
实验法
根据系统对某些 典型输入信号的响应 或其它实验数据建立 数学模型。即人为施 加某种测试信号，记 录其输出响应。
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。
在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非 线性关系，可进行如下处理：
线性化； 忽略非线性因素； 用非线性系统的分析方法。
线性系统和非线性系统的判别
设某系统的微分方程
an
dn dtn
xo(t)an1
dn1 dtn1
xo(t)Ka0xo(t)