大气中的波动 小扰动法,方程组和边界条件的线性化
大气中的基本波动
推导
其中 ' gh' c0 gH RT
p ' 2 ' CS 0 t t
（水平）声波产生的内部条件（内因）是：空气的可 压缩性及空气运动所伴随的水平辐合辐散(交替变化)。 外部条件（外因）：外部压缩引起的气压和密度的扰 动。
4.滤去声波的物理条件 1)假定大气是不可压缩的。 2)假定大气运动是水平无辐散的（或准地转的)， 则可排除声波在水平方向的传播。 3)假定大气在垂直方向处于静力平衡，即满足 准静力条件 ，则可排除声波在垂直方向的传 播。
• 群波是两种波动的乘积：
– 其一是高频载波，其波数、圆频率与各单谐 波的相近 – 其二是低频调制波动，其波数、圆频率远小 于各单谐波的。它是高频载波的“范围线”， 该“范围线”也称为包络线或波包
• 波包是高频载波最大振幅点的连线 • 波群中等振幅点的移速称为群速度--Cg， 即波包的移速，振幅的传播速度--表示群 波的能量的传播速度
A ymax 0.04 m
π (50t 0.10 x1 ) π (50t 0.10 x2 ) 2π L x2 x1 20 m
π (50t2 0.10x) π (50t1 0.10x) 2π
周期
T t2 t1 0.04 s
波速
π (50t2 0.10 x2 ) π (50t1 0.10 x1 )
§3 微扰法与方程组的线性化
大气中的波动小扰动法方程组和边界条件的线性化
小扰动法（微扰动法）：使方程组和边界条件线 性化。小扰动法的三个基本假设：
（1）任何一个物理量可以看成由已知的基本量 和迭加在其上的微扰动量组成。即物理量q:
其中q 表示q的基本量，q' 表示q相对于q 的微扰量
a)沿纬圈平均；b）沿c的方向平均
因此小扰动量及其导量的二次乘积在方程和边界 条件中，可作为高阶小量而略去。
线性化简后，得：
(
t
u
)u' x
fv'
1
P' x
1 P' ' P
(
t
u
x
)v'
fu'
y
2
y
1 P' ' P
(
t
u
x
)w'
ห้องสมุดไป่ตู้
z
2
z
(
u
)'v'
w'
(u' v' w') 0
t x
y z x y z
P' RT '' RT
(
t
u
)P'v' P
x
y
w' P z
例：以x方向的运动方程为例。 依假定1，
按定义沿纬圈平均，不随x变化。
v、w正负相间排列，故
————(1)
为了问题的方便，设 ＝常数
————(2)
(2)－(1)式：
原始 方程 组为：
d V 0
dt
————(1)
————(2) ————(3) ————(4) ————(5) ————(6)
大气控制方程组
大气控制方程组大气控制方程组是描述大气中各种物理过程的数学模型，它是大气科学研究的重要基础。
本文将从大气控制方程组的基本结构、各方程的物理意义和求解方法等方面进行介绍。
大气控制方程组由质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程组成。
质量守恒方程描述了大气中气体的质量变化与流动之间的关系。
动量守恒方程描述了大气中气体的运动状态与力之间的关系。
能量守恒方程描述了大气中气体的能量变化与热传递之间的关系。
这三个方程共同构成了大气控制方程组，用以描述大气中各种物理过程的演化规律。
质量守恒方程是大气中质量守恒的数学表达式。
它描述了大气中的气体质量在空间和时间上的变化。
该方程中的项包括了气体的对流、扩散和化学反应等过程。
通过求解质量守恒方程，可以获得大气中气体的浓度分布及其变化规律。
动量守恒方程是描述大气中气体运动状态的数学表达式。
它包含了气体的质量流动和动量传递等过程。
该方程中的项包括了气体的压强梯度力、重力、摩擦力和浮力等作用。
通过求解动量守恒方程，可以获得大气中的风场、气压分布及其变化规律。
能量守恒方程是描述大气中能量转移与变化的数学表达式。
它包含了辐射传输、对流传输和相变等过程。
该方程中的项包括了辐射通量、热传导和相变潜热等作用。
通过求解能量守恒方程，可以获得大气中的温度分布及其变化规律。
求解大气控制方程组是大气科学研究的重要课题之一。
由于方程组的复杂性和非线性特征，常常需要借助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法可以将方程组离散化为代数方程组，并通过迭代求解来获得数值解。
除了数值方法，还可以采用解析方法求解大气控制方程组。
解析方法利用数学分析的技巧，通过变量分离、变量替换和积分等操作，推导出方程组的解析解。
然而，由于方程组的复杂性，解析解往往难以求得，只能通过近似方法获得解析解的近似解。
大气控制方程组是描述大气中各种物理过程的数学模型。
质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程共同构成了大气控制方程组。
动力气象-复习题周顺武剖析
动力气象学习题集一、名词解释1.地转平衡：对于中纬度大尺度运动，水平气压梯度力和水平科氏力（地转偏向力）接近平衡，这时的空气作水平直线运动，称为地转平衡。
2.f平面近似：又称为f参数常数近似。
在中高纬地区，对于大尺度运动，y/a<<1，则f=f0=2Ωsinϕ0=const。
3.地转偏差：实际风与地转风之差。
4.尺度分析法：依据表征某类大气运动系统各变量的特征值来估计大气运动方程中各项量级的大小，判别各个因子的相对重要性，然后舍去次要因子而保留主要因子，使得物理特征突出，从而达到简化方程的一种方法。
5.梯度风：水平科氏力、惯性离心力和水平气压梯度力三力达到平衡，此时空气微团运动称为梯度风。
6.地转风：对于中纬度天气尺度的扰动，水平科氏力与水平气压梯度力接近平衡，这时空气微团作直线运动，称为地转风。
7.正压大气：大气密度的空间分布仅依赖于气压(p)的大气，即：ρ=ρ(p)，正压大气中地转风不随高度变化，没有热成风。
8.斜压大气：大气密度的空间分布依赖于气压(p)和温度(T)的大气，即：ρ=ρ(p, T)。
实际大气都是斜压大气，和正压大气不同，斜压大气中等压面、等比容面（或等密度面）和等温面是彼此相交的。
9.大气行星边界层：接近地球表面的厚度约为1－1.5km的一层大气称为大气行星边界层。
边界层大气直接受到下垫面的热力作用和动力作用，具有强烈的湍流运动特征和不同于自由大气的运动规律。
10.旋转减弱：在旋转大气中，由埃克曼层摩擦辐合强迫造成的二级环流大大加强了行星边界层与自由大气之间的动量交换，使得自由大气中的涡旋系统强度快速减弱，这种现象称为旋转减弱。
11.埃克曼抽吸：由于湍流摩擦作用，埃克曼层中风有指向低压一侧的分量，在低压上空产生辐合上升运动，同理在高压上空产生辐散下沉运动，这种上升下沉运动在边界层顶达到最强，这种现象称为称为埃克曼抽吸。
12.波包迹：在实际大气中，一个瞬变扰动可以看成是由许多不同振幅、不同频率的简谐波叠加而成的，这种合成波称为波群或波包。
动力气象概念
1 振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移周期：空间固定位置上的点完成一次全振动所需时间波长L ：相邻两个同位相点之间的距离波数k ：2π距离内包含了多少个波长位相θ: 波在x 轴上各点各时刻的位置，α为初位相；相速c ：位相相同的各点组成的面称为等位相面,等位相面的移速称为相速c横波：若质点振动方向与波的传播方向垂直，此种波动称为横波纵波：若质点振动方向与波的传播方向一致，此种波动称为纵波傅立叶原理：实际大气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是各种不同频率、不同振幅的简谐波叠加在平均值上的结果，这就是傅立叶原理波群：实际大气中的扰动可以看成许多不同振幅、不同频率的简谐波叠加而成，这种合成波称为波群或波包群速：波群的传播速度（合成波振幅等位相面的传播速度）频散波：相速与波数有关的波称为频散波，否则称为非频散波。
由于考虑了地球大气的层结性和旋转效应，大气中的实际波动都是频散波频散关系式：表示频率和波数之间关系的式子小振幅波：振幅远小于波长的波动称为小振幅波，否则就称为有限振幅波。
小振幅波也称为线性波小扰动法：将描写大气运动和状态的物理量分解为已知的基本量和未知的小扰动量之和，从而可将非线性方程简化为线性方程的一种近似方法。
小扰动法只适用于天气系统发展的初始阶段，在发展旺盛期和后期锢囚阶段都不能使用；小扰动法只适用与小振幅波的讨论，对于有限振幅波此法失效标准波型法：P151-152滤波：为了防止所研究的特定尺度运动被“噪声”干扰，也为了数学处理方便，有必要在未积分基本方程组之前，通过某种途径把噪声从基本方程组中排除掉，使方程组只包含谐音，这就是气象上所谓的“滤波”。
声波：大气是可压缩流体，局地空气被压缩或膨胀时，周围空气会依次被压缩或膨胀，声音就是由于这种绝热膨胀或压缩形成的。
纯声波的相速决定于大气的热力性质，与波长无关——非频散波；纯声波双向传播，传播速度远大于空气运动速度——快波。
声波形成的内在条件： 大气可压缩性；声波形成的外部条件： 外界压缩引起空气压力和密度扰动。
动力气象期末复习
一、 波动的基本概念：振幅：指物理量距平均状态最大的偏差。
位相：由位置和时间构成的确定波的状态的物理量。
θ=kx-t ω 初位相：是初始时刻的位相。
α 周期：是波前进一个波长所需的时间，或空间固定位置上完成一次全振动所需的时间。
T频率：是单位时间内波动前进距离中完整波的数目。
T1=ν圆频率：是单位时间内位相变化的值。
⎪⎭⎫ ⎝⎛=T πωω2 波数：在2π距离内含波长为L 的波的数目 k, l, m , k=Lx π2,l=y2L πm=z 2L π 波长：相邻两个位相相同点的距离。
L 相速：波动等位相面的传播速度。
=K2ω,cpx=k ω,cpy=lωcpz=m ω群速度：波能量的传播速度（波包的传播速度）g=i κω∂∂+j l ∂∂ω+k m ∂∂ω;=k ∂∂ω;C =l ∂∂ω;C =m ∂∂ω 谐波的复数表示：f(x,y,z,t)=F e)(wt mz ly kx i -++频散性：若波速c 与波速k(或波长L 与圆频率ω)无关，这种波称为非频散波，相反，若相速c 与波数k(或波长L 与圆频率ω)有关，则称为频散波。
滤波：通过略去方程组中，具有某波动产生或传播物理机制的项，来除去某波动，就称为滤波。
通常是采用示踪参数法来进行。
示踪系（参）数：是在求解方程组时，在方程的一些项中，人为设置一个参数，该参数取值只能为1或0，表明该项起不起作用。
该参数在求解过程中不断传递，直到最后的解中。
这样就可以很方便的了解该项对解的物理作用。
波动的稳定性：当解中的c 或ω为复数，波的振幅随时间增长，则这种波就是不稳定的，当解中的ω和c 为实数时，则振幅不随时间变化，这种波就是稳定的。
二、 微扰动方法，基本方程组的线性化1、任一物理量可分解为：f=f +/f ,扰动量相对于基本量是小量；2、基本状态满足原方程3、扰动量的二次乘积项是高阶小量，可忽略，线性化后的方程是分析波动的基础。
三、 动力分析中对波动问题处理的基本方法： 1、建立物理模型并简化方程组2、对方程组线性化（微扰动方法等）3、设形式解（振幅一般设为常量）4、得到一个有关振幅的线性代数方程组。
中科院《大气科学概论》专业考研资料-第一部分：动力气象学(4)不稳定理论
（四）不稳定理论核心内容：§1 波动稳定性的基本概念★★★★★1）扰动发展，（基本气流由层流变为湍流），即基本气流是不稳定，叠加在其上的扰动是不稳定；2）扰动减弱，或始终很小，则基本气流是稳定的，扰动也是稳定的。
如果波动或扰动能发展，这个波动就是不稳定的；如果波动或扰动不发展，即始终很小或衰减，这个波动就是稳定的。
§2 波动稳定性的数学表达 ★★★★★ 简谐波解 c 或ω可以是复数 记：重力内波、惯性波：受力机制很清楚；一般直接从振荡看是否稳定，由此，可以得到：静力稳定度、惯性稳定度。
而Rossby 波的产生机制是β－效应，从涡旋场（涡度方程）讨论Rossby 波，而没有具体讨论其振荡受力情况；一般从Ci 是否等于0判别其稳定性。
§3 静力稳定度★★★ 气块法()()ik x ct i kx t AeAeω--ψ==)()(t C x ik t kC t kC t C x ik i r r i i r e Ae e Ae iC C C --==ψ+=这样：()i kC tAeA t *⇒)(),()(*)(*t C x k t A e t A r t C x ik r -=ψ-位相为振幅为⎩⎨⎧⇒<>≠⇒⇒=*不稳定，还是，不论稳定常量，扰动始终很小＝，则如果000A A 0i i C C讨论浮力振荡（层结）稳定性问题气块受扰离开平衡位置向上扰动。
因此：§4 惯性稳定度 ★★★↓↓↓⇒↓↓↓⇒)()()()()()()()()()(z z T z P z P z z T z P z z T z P ρρρ，＝准静力过程绝热膨胀上升过程中，气块作干，，气块要素：，，环境要素：上升zP g dt dw ∂∂--=ρ1g zPρ+=∂∂-P P dw T TRT RT g g gP dt T RT ρρρ---⇒===0000()()()()d dTT T z z T z z dz TT T z z T z zz δγδδγδ=+=-∂=+=-∂()d dw g zdtT γγδ⇒=--2ln ()d g N g T zθγγ∂=-=∂2dwN z dt δ⇒=-222000N N N ⎧>⎪=⎨⎪<⎩，力作负功，扰动减弱，层结是稳定的；，力不作功，层结是中性的；，力作正功，扰动得到能量而增强，层结不稳定切变基流（实际大气）实际大气，振荡发生在基本气流下： 均匀基流：一边振荡，一边向下游运动；运动的性质不变 切变基流（实际大气）：基本状态下地转平衡：★静力稳定度：层结大气中，垂直面内；考虑重力和垂直向的压力梯度力（浮力）的合力的方向，与位移的方向的关系。
中高层大气物理学第六章Waves大气动力学波动
方程组的线性化
• 线性化采用小扰动方法或微扰法，在物理上相当于对小扰动引起的波动求线性 简化近似。 – 描述大气运动和状态的物理量都是由已知大气背景状态有关的量与叠加其 上的微扰量组成q = q0 + q’
– 背景量满足原基本方程组和边条件 – 扰动量与背景量相比为小量。所以q’的二次以上高阶量都可以从方程和边
– 环境大气在距离z内的大气密度变化为
z0
V0,ρ0,p0 p0, ρ0,T0
– 浮力
• 运动方程
浮力频率
• 当ωB取不同值时，方程的解是不同的。 • 当ωB2>0时，方程有振动解z = AcosωBt + B sinωBt，振动频率为ωB。即气团在垂
直方向以角频率ωB围绕流体静力平衡点振动。 • 当ωB2<0时，气团所受的力与位移方向相同，位移将继续增大，大气处于不稳
重力波
• 等温大气
•
D称为声重波算子，
重力波
• 方程组有解的必要条件是矩阵D的行列式det|D| = 0。行列式展开得到ω的四次 方程，也是声重力波的色散关系
• 取+号时，对应较高的频率，是大气中的声波。 • 当取−号时，较低的频率对应大气中的重力波。 • 波传播的方向
重力波
• 相速度表示为
– 当取+时，波数（k = 2π/λ）很大时相速度vp → c，这对应于声波的波速。当k → 0时，存 在一个截止程
• 引入连续性方程，即密度随时间和空间变化
– 引进本征微商记号
• 热力学第一定律，热量输入Q全部消耗于使温度升高和通过压强p对外做功
– Q代表所有热源和热汇的影响，包括辐射加热或辐射冷却，焦耳加热或焦耳热损耗， 热传导和化学加热等。
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线性化简后，得：
1 P ' ( t u x )u ' fv' x 1 P ' ' P 2 ( u )v' fu' x y y t 1 P ' ' P 2 ( u ) w' x z z t u ' v' w' ( u ) ' v' w' ( )0 x y z x y z t P ' RT ' ' RT P P P w' [( u ) ' v' w' ] ( u ) P ' v' x y z t x y z t
注： 1.方程(6)的来历：
绝热方程： 状态方程:
由状态方程知：
（II）代（I）得：
边界条件的线性化处理：
例：以x方向的运动方程为例。
依假定1，
按定义沿纬圈平均，不随x变化。
v、w正负相间排列，故
————(1)2)－(1)式：
————(1)
原始 方程 组为：
d dt V 0
————(2) ————(3)
————(4) ————(5)
§2. 小扰动法，方程组和 边界条件的线性化
小扰动法（微扰动法）：使方程组和边界条件线 性化。小扰动法的三个基本假设：
（1）任何一个物理量可以看成由已知的基本量 和迭加在其上的微扰动量组成。即物理量q:
其中q 表示q的基本量，q' 表示q相对于q 的微扰量
a)沿纬圈平均；b）沿c的方向平均
因此小扰动量及其导量的二次乘积在方程和边界 条件中，可作为高阶小量而略去。