第10章_多重共线性
多重共线性
解决方法
解决方法
（1）排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，以逐步回归法得到最广泛的应用。 （2）差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型。 （3）减小参数估计量的方差：岭回归法（Ridge Regression）。 （4）简单相关系数检验法
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简介
简介
对线性回归模型 基本假设之一是自变量，之间不存在严格的线性关系。如不然，则会对回归参数估计带来严重影响。为了说 明这一点，首先来计算线性回归模型参数的 LS估计的均方误差。为此。重写线性回归模型的矩阵形式为 其中服从多元正态分布，设计矩阵 X是的，且秩为 p。这时，参数的 LS估计为，而回归系数的 LS估计为。 注意到由此获得的 LS估计是无偏的，于是估计的均方误差为 其中是的特征根。显然，如果至少有一个特征根非常接近于零，则就很大，也就不再是的一个好的估计。由 线性代数的理论知道，若矩阵的某个特质根接近零，就意味着矩阵 X的列向量之间存在近似线性关系。 如果存在一组不全为零的数，使得 则称线性回归模型存在完全共线性；如果还存在随机误差 v，满足，使得 则称线性回归模型存在非完全共线性。 如果线性回归模型存在完全共线性，则回归系数的 LS估计不存在，因此，在线性回归分析中所谈的共线性 主要是非完全共线性，也称为复共线性。判断复共线性及其严重程度的方法主要有特征分析法(analysis of eigenvalue)，条件数法 (conditional numbers)和方差扩大因子法(variance inflation factor)。
产生原因
产生原因
主要有3个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 （2）滞后变量的引入 （3）样本资料的限制
影响
影响
第10章多重共线性
0.000 0.000 ** ** R-Sq==100.0% 100.0% R-Sq(adj) R-Sq(adj)==100.0% 100.0% R-Sq SS SS 330.00 330.00 0.00 0.00 330.00 330.00 MS MS FF 330.00 ** 330.00 0.00 0.00 PP **
290
280 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
price
SS==00 Analysisof ofVariance Variance Analysis Source DF Source DF Regression 11 Regression Error Error 88 Total Total 99
X 12 L X 1 p X 22 L X 2 p X 32 L X 3 p M L M X n 2 L X np
n
矩阵方程的解 Q =| ε |2 = (Y − XB)`(Y − XB) 广义逆矩阵
∂Q = −2 X `(Y − XB) = 0 ∂B X `Y = ( X ` X )B
多元回归的矩阵形式
n
矩阵表示
1 X11 B0 Y1 1 X 21 B1 Y2 Y = B = B2 X = 1 X 31 M M M M Y n 1 X B p n1 Y = XB + U
实例10.1 Tab 10-1，p200
n
收益对价格的回归
Regression Analysis The regression equation is
returns = 300 - 2.01 price
Predictor Constant price S = 0.9878 Coef 299.920 -2.0055 StDev 0.675 0.1088 T P
如何处理逻辑回归模型中的多重共线性(十)
逻辑回归模型是一种用于预测二元变量的统计模型，常用于分类和预测。
然而，在实际应用中，往往会面临多重共线性的问题，即自变量之间存在高度相关性。
多重共线性会导致模型参数估计不准确，增加预测误差，降低模型的解释力。
因此，如何处理逻辑回归模型中的多重共线性成为了一个重要的问题。
1. 数据预处理在处理逻辑回归模型中的多重共线性之前，首先需要进行数据预处理。
数据预处理包括缺失值处理、异常值处理、数据转换等步骤。
其中，缺失值处理和异常值处理对于降低多重共线性都有一定的帮助。
对于缺失值，可以选择删除或填充，而对于异常值，则可以进行剔除或者替换。
通过数据预处理，可以减少多重共线性的影响，提高模型的稳定性和准确性。
2. 方差膨胀因子(VIF)分析方差膨胀因子(VIF)是一种用于识别多重共线性的统计方法。
VIF的计算公式为1/(1-R^2)，其中R^2是自变量与其他自变量的相关性。
一般来说，VIF大于10表示存在严重的多重共线性，需要进行处理。
对于存在多重共线性的自变量，可以考虑删除或者合并，以降低其对模型的影响。
3. 主成分分析(PCA)主成分分析(PCA)是一种降维方法，可以将原始的高维数据转换为低维的数据。
通过PCA，可以减少自变量之间的相关性，降低多重共线性的影响。
在逻辑回归模型中，可以采用PCA对自变量进行降维处理，以提高模型的稳定性和准确性。
4. 岭回归(Ridge Regression)岭回归是一种用于处理多重共线性的方法，通过对模型参数加上惩罚项，可以减少自变量之间的相关性。
在逻辑回归模型中，可以采用岭回归对自变量进行调整，以降低多重共线性的影响。
岭回归可以有效地提高模型的拟合效果，降低预测误差。
5. 弹性网络(Elastic Net)弹性网络是一种综合了岭回归和Lasso回归的方法，可以同时考虑模型的拟合效果和模型的稳定性。
在逻辑回归模型中，可以采用弹性网络对自变量进行调整，以降低多重共线性的影响。
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验多重共线性是指在统计模型中，独立变量之间存在高度相关性或者线性依赖关系，从而给模型的解释和结果带来不确定性。
在回归分析中，多重共线性可能导致系数估计不准确、标准误差过大、模型的解释变得复杂等问题。
因此，对于多重共线性的检验和处理是非常重要的。
一、多重共线性的检验多重共线性的检验可以通过以下几种方式进行：1. 相关系数矩阵：可以通过计算独立变量之间的相关系数，判断它们之间的关系强度。
当相关系数超过0.8或-0.8时，可以视为存在高度相关性，即可能存在多重共线性问题。
2. 方差扩大因子（VIF）：VIF是用来检验自变量之间是否存在共线性的指标。
计算每一个自变量的VIF值，当VIF值大于10或者更高时，可以视为存在多重共线性。
3. 条件数（Condition index）：条件数也是一种用来检验多重共线性的指标。
它度量了回归矩阵的奇异性或者相对不稳定性。
当条件数超过30时，可以视为存在多重共线性。
4. 特征值（Eigenvalues）：通过计算特征值，可以判断回归矩阵的奇异性。
如果存在特征值接近于零的情况，可能存在多重共线性。
以上是常用的多重共线性检验方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行检验。
二、多重共线性的处理在检测到存在多重共线性问题后，可以采取以下几种方式进行处理：1. 去除相关性强的变量：在存在高度相关变量的情况下，可以选择去除其中一个或多个相关性较强的变量。
2. 聚合相关变量：将相关性强的变量进行加权平均，得到一个新的变量来替代原来的变量。
3. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种降维技术，可以将相关性强的多个变量合并成为一个或多个无关的主成分。
4. 岭回归（Ridge Regression）：岭回归是一种缓解多重共线性的方法，通过加入一个正则化项，来使得共线性变量的系数估计更加稳定。
5. Lasso回归（Lasso Regression）：Lasso回归也是一种缓解多重共线性的方法，通过对系数进行稀疏化，来选择重要的变量。
计量经济学ch10 多重共线性与微数缺测性
Ch10 多重共线性与微数缺测性10.1 多重共线性对于多元回归模型⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k kn n nk k n u u u X X X X X XX X X Y Y Y M M L M O M M ML L M 212132232221312121111βββ (10.1)（1）完全多重共线性如果变量之间存在精确的线性关系,即存在不全为0 的,,...,1,k i i =λ使得011=++k k X X λλL (10.2)称为完全多重共线性。
含义：一个解释变量与其他的解释变量的线性组合的相关系数为1或-1，可以由其他的解释变量线性表示，该解释变量的变化信息是完全重复的。
后果：完全多重共线性：OLS 估计的方差为无穷大。
（2）非完全多重共线性解释变量之间可以表示为011=+++i ki k i v X X λλL其中：i ν为随机误差项。
含义：一个解释变量与其他的解释变量的线性组合相关，相关系数据对值小于1，其他的解释变量包含了该解释变量的部分变化信息。
例如：假定只有21,λλ不为0，于是有：i i i v X X )/()/(211212λλλλ−−= （10.3）（10.3）表明，X 2不是X 1的一个完全共线性变量，而还取决于随机误差。
后果：非完全多重共线性： 有确定的估计结果，但方差和标准差较大，即估计量精确度较低。
多重共线的来源：1. 数据采集方法。
如对变量的数据采集限制在某个范围；2. 模型或总体受到约束。
如收入和财富对消费的影响；3. 模型设定。
如多项式模型；4. 样本容量较小，采样范围较小；5. 时间趋势。
10.2 完全共线性的估计问题任何估计方法都无法得到参数的确定估计值。
原因：Y X X X ')'(ˆ1−=β（10.4） 12)'()ˆvar(−=X X σβ因为XX X X X X ')'()'(*1=−，其中的分母为0，所以估计的方差为无穷大。
多重共线性(统计累赘)的概念、特征及其测量方式和处理方式
试述多重共线性（统计累赘）的概念、特征及其测量方式和处理方式。
1、概念多重共线性是指自变量之间存在线性相关关。
倘若其中两个自变项的关系特别强，则在相互控制后就会使每者的效果减弱，而其他的变相的效果就会因此而增大。
2、特征3、产生原因产生多重相关性的原因主要包括四方面。
一是没有足够多的样本数据; 二是选取的自变量之间客观上就有共线性的关系; 还可能由其它因素导致, 如数据采集所用的方法, 模型设定, 一个过度决定的模型等。
但多数研究者认为共线性本质上是由于样本数据不足引起的。
4、测量方式（1）经验式的诊断方法通过观察,得到一些多重相关性严重存在的迹象。
①在自变量的简单相关系数矩阵中,有某些自变量的相关系数值较大。
②回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反;或者该自变量与因变量的简单相关系数符号相反。
③对重要自变量的回归系数进行t 检验,其结果不显著。
特别是当F 检验能在高精度下通过,测定系数R 2的值也很大,但自变量的t 检验却全都不显著,这时多重相关性的可能将会很大。
④如果增加或删除一个变量,或者增加或删除一个观测值,回归系数发生了明显的变化。
⑤重要自变量的回归系数置信区别明显过大。
⑥在自变量中,某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
⑦对于一般的观测数据,如果样本点的个数过少,比如接近于变量的个数或者少于变量的个数,样本数据中的多重相关性就会经常存在。
（2）统计检验方法共线性的诊断方法是基于对自变量的观测数据构成的矩阵X ’X 进行分析,使用各种反映自变量间相关性的指标。
共线性诊断常用的统计量有方差膨胀因子VIF 或容限TOL 、条件指数和方差比例等。
方差膨胀因子VIF 是指回归系数的估计量由于自变量的共线性使其方差增加的一个相对度量。
对于第i 个回归系数,它的方差膨胀因子定义为：VIF=1/1-R 2=1/TOL i 其中R2i 是自变量Xi 对模型中其余自变量线性回归模型的R 平方。
计量经济学之多重共线性
计量经济学之多重共线性引言多重共线性是计量经济学中一个重要的概念，在经济学研究中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将深入探讨多重共线性的概念、原因和影响，并介绍一些常见的解决方案和应对方法。
什么是多重共线性？多重共线性是指在回归分析中，自变量之间存在高度相关性的情况。
具体来说，多重共线性指的是自变量之间线性相关性较高，可能导致回归分析的结果不准确或难以解释。
多重共线性的原因多重共线性的产生有多种原因，以下是一些常见的原因：1.样本选择偏倚：当样本中存在特定的特征或者数据的选择方式导致一些变量的相关性增强。
2.变量的定义重复：有些变量可能在定义上重复，导致它们之间存在高度相关性。
3.缺少重要变量：当回归模型中存在遗漏的重要变量时，其他变量可能会代替这些遗漏的变量，导致多重共线性。
4.数据测量误差：测量误差也可能导致自变量之间存在高度相关性。
多重共线性的影响多重共线性可能会对回归模型产生一系列的问题和影响：1.估计系数不准确：多重共线性会导致回归系数的估计不准确，使得对自变量的解释变得困难。
2.系数符号相反：多重共线性可能导致估计系数的符号与理论预期相反。
3.误差项的方差增加：多重共线性会导致误差项的方差增加，从而降低了模型的精确度。
4.解释力度减弱：多重共线性会降低模型的解释力度，使得我们难以解释模型的结果。
解决多重共线性的方法针对多重共线性问题，我们可以采取以下方法来解决：1.增大样本量：增大样本量可以降低变量之间的相关性，从而减轻多重共线性的影响。
2.删除相关变量：通过检验变量之间的相关性，删除相关性较高的变量，可以减轻多重共线性的程度。
3.主成分分析：主成分分析是一种降维的方法，可以将相关性较高的变量合并为一个主成分，从而避免了多重共线性的问题。
4.增加惩罚项：在回归模型中增加惩罚项，如岭回归或lasso回归，可以减轻多重共线性的影响。
5.使用时间序列数据：对于存在多重共线性的房地产数据等时间序列数据，可以使用时间序列模型来避免多重共线性的问题。
多重共线性
2.采用综合统计检验法
R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线 性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
3.3 多重共线性
3、辅助回归模型检验 通过每个解释变量对其它解释变量的辅助回归模型
xi a0 a1 x1 ai 1 xi 1 ai 1 xi 1 ak xk
3.3多重共线性
• • • • 多重共线性及其产生原因 多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的方法
一、多重共线性及其产生原因
1.多重共线性的概念---解释变量间相关
对于多元线性回归模型 yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi 存在一组不全为零的常数λ1，λ2，…λk，使得 λ1x1i + λ2x2i +…+ λkxki +νi=0 其中νi是一个随机误差项，则称模型存在着多重共线性。 “共线性”：变量间线性相关 “多重”：多种组合 “完全多重共线性”： νi=0
3.3 多重共线性
例5．服装需求函数。根据理论和经验分析，影响居民服 装需求的主要因素有：可支配收入X、流动资产拥有量 K、服装类价格指数P1和总物价指数P0 。教材P124的表 3-4给出了有关统计资料。 设服装需求函数为 ：Y=a+b1x+b2P1+b3P0+b4K+ε (1)相关系数检验 键入：COR Y X K P1 P0 输出的相关系数矩阵为：
3.3 多重共线性
2、间接剔除重要的解释变量 ⑴利用附加信息
例如，著名的Cobb-Dauglas 生产函数中
附加信息： α +β =1 则
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那么就说原模型中存在多重共线性。
若vi 0
1X1i 2 X 2i k X ki 0
则表明原模型中存在完全多重共线性
若vi 0
1X1i 2 X 2i k X ki i 0
则表明原模型中存在不完全多重共线性
Yi
变量之间没有明确的函数关系，
49
但是它们之间的相关系
数 rX1X2 0.7228 ， 说明两
个变量之间还是存在线性相关
45 44
关系
39
38
37
34
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
32
30
29
X1i
X 2i
1
297.5
2
294.9
3
293.5
4
292.8
5
290.2
6
289.7
7
285.8
8
294.6
9
291.1
10
278.8
11
以一个二元线性回归模型的偏斜率系数为例
bˆ1
yi x1i x22i yi x2i x1i x2i x12i x22i ( x1i x2i )2
在完全共线性情况下，若 X 2i X1i
bˆ1
yi x1i 2 x12i yix1i x1ix1i x12i 2 x12i ( x1ix1i )2
Yt b0 b1X t b2 X t1 bk X tk1 t
Xt 当期收入，Xt1－前一期收入，，Xtk－前k期收入
9
引起多重共线性的原因(蒙哥马利&佩克）
1. 数据采集所用的方法: 限于一个范围 2. 模型或从中取样的总体受到约束：
如做电力消费（Y）对收入（X2）和住房面积 （X3）回归时，可能X2高的X3也大 3. 模型设定: 如在模型中加入多项式 4. 一个过度决定的模型：回归元个数大于观测次 数
6
在这种不完全多重共线性情况下，可以对模型使 用最小二乘估计，得到下面的结果
Yˆi 14.537 2.7975X1i 0.3191X2i
t
(-3.4444)
(-0.7911)
参数是可以估计出来，但是这个模型存在下面两个 问题:
1.收入参数的斜率系数符号为负，在现实生活中我们 知道随着人们收入的增加，对一般商品的需求应该 也是增加的，参数符号应该为正；
第10章 多重共线性
1
多重共线性的性质
含义：原意是指回归模型的解释变量之间存在“完 全”或准确的线性关系。如：
1 X1 2 X 2 k X k 0
其中1, 2 ,, k为常数，但不同时为零 。
(10.1.1)
现在多重共线性还用来泛指诸X变量之间有交互 相关，但又非完全相关：
x12i
x22i x22i (
x1i x2i )2 2
分子、分母同除 x22i ,有
Var(bˆ1)
2
x12i (
x1i x2i )2 x22i
2
x12i[1 (
x1i x12i
x2i )2 x22i
]
而拟合系数R2 r122 (
• 2、经济变量共同变化的趋势(对时间序列数据)
这些经济变量本身之间可能没有非常密切的联系，但是它
们在相同的样本期间内，有着相同变化的趋势，比如在经济
繁荣的时期，人们的收入、投资、就业等经济变量都会相同
的增长趋势
8
• 3、模型中引入了滞后变量 比如在消费函数中引入了上一期或者前几期收入，各期收 入之间有可能是高度相关的
2
yi x1i x12i 2 2 ( x12i )2 2 (
yi x1i x12i )2
x12i 0 0
因此无法确定bˆ1，同样也没有办法确定bˆ2
12
(2)参数估计量的方差无穷大
在多元线性回归模型一章中也给出了参数估计量的方差
Var(bˆ1)
3
1. 完全多重共线性
假设为了研究某种商品的需求函数
Yi b0 b1X1i b2 X 2i i
收集到一组样本数据，观察两个 自变量，它们之间实际上存在下面 函数关系
X2i 300 2X1i
也就是说两个自变量之间存在明 确的线性关系，即所谓的完全共线 性
Yi
X1i
X 2i
49
10
10.3 多重共线性的后果
多重共线性对多元线性模型的影响，可以从完全多重共线 性和不完全多重共线性两个方面进行分析。
1.完全多重共线性对模型的影响 (1)参数无法估计(参数无唯一解)
前面我们已经通过一个例子说明在完全多线性的情况下， 没有办法得到参数的唯一解，实际上我们也可以从二元线 性回归模型的参数估计表达式中得出同样得结论
1 X1 2 X 2 k X k vi 0
其中vi是随机误差项
(10.1.2)
2
10.1 多重共线性的两种表现形式
对于形如 Yi b0 b1X1i b2 X2i bk Xki i 的多元
线性回归模型，如果自变量之间存在较强的线性关系，或者说
一组不全为零的常数 1, 2 ,k，使得
这个模型实际上变成了一个一元线性回归模型，我们 可以估计出截距系数和斜率系数
cˆ0 b0 300b2
cˆ1 b1 2b2
在上面的方程组中，有三个未知数，没有办法求出 原回归模型中三个参数的唯一解，这就是完全多重共线 性的后果
5
2. 不完全多重共线性
• 假设现在收集到另外一组样本
数据，在这个样本中，两个自
1
298
45
2
296
44
3
294
39
4
292
38
5
290
37
6
288
34
7
286
32
8
284
30
9
282
29
10
280
Yi 商品需求量，X1i 商品价格，X2i 可支配收入
4
因而原来的模型变为
Yi b0 b1X1i b2(300 2X1i ) i
(b0 300b2 ) (b1 2b2 ) X1i i
2.收入参数没有通过t检验
t 0.7911 2
7
10.2 多重共线性产生的原因
• 1、经济变量之间的内在联系(对横截面数据)
工业生产函数中， 劳动力投入量和资金投入量
产品需求函数中， 商品本身价格和替代品价格
消费函数中，
人们的收入和财产
这些变量之间实际上相互联系，经常会表现出一定的相关关系