第4章多重共线性
第四章 多重共线性
二、产生多重共线性的背景
多重共线性产生的经济背景主要有几种情形： 1.经济变量之间具有相同的变化趋势。 2.模型中包含滞后变量。 3.利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性。 4.样本数据的原因。
6
第二节 多重共线性的后果
一、完全多重共线性产生的后果
1.参数的估计值不确定 2.参数估计值的方差无限大
Cov( ˆ2 ,
ˆ3 )
(1
r223 )
r23 2
x22i
x32i
随着共线性增加，r23趋于1，方差将增大。同样 协方差的绝对值也增大，它们增大的速度决定于
方差扩大（膨胀）因子(variance inflation factor, VIF)
VIF
1
1 r223
这时
Var(ˆ2 )
4.多重共线性严重时，甚至可能使估计的回归系数 符号相反，得出完全错误的结论。（如引例）
18
第三节 多重共线性的检验
本节基本内容： 简单相关系数检验法 方差扩大因子法 直观判断法 病态指数检验法 逐步回归法
19
一、简单相关系数检验法 简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性 相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种 简便方法。适用于只有两个变量的情形。
2
x32i 0
同理
ˆ3
这说明完全多重共线性时，参数估计量的方差将 变成无穷大。
9
关于方差的推导
Var(ˆ2 )
x32i (x22i ) (x32i )
(x2i x3i )2
2
1 X21 X 1 X22
1 X2n
多重共线性
解决方法
解决方法
（1）排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，以逐步回归法得到最广泛的应用。 （2）差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型。 （3）减小参数估计量的方差：岭回归法（Ridge Regression）。 （4）简单相关系数检验法
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简介
简介
对线性回归模型 基本假设之一是自变量，之间不存在严格的线性关系。如不然，则会对回归参数估计带来严重影响。为了说 明这一点，首先来计算线性回归模型参数的 LS估计的均方误差。为此。重写线性回归模型的矩阵形式为 其中服从多元正态分布，设计矩阵 X是的，且秩为 p。这时，参数的 LS估计为，而回归系数的 LS估计为。 注意到由此获得的 LS估计是无偏的，于是估计的均方误差为 其中是的特征根。显然，如果至少有一个特征根非常接近于零，则就很大，也就不再是的一个好的估计。由 线性代数的理论知道，若矩阵的某个特质根接近零，就意味着矩阵 X的列向量之间存在近似线性关系。 如果存在一组不全为零的数，使得 则称线性回归模型存在完全共线性；如果还存在随机误差 v，满足，使得 则称线性回归模型存在非完全共线性。 如果线性回归模型存在完全共线性，则回归系数的 LS估计不存在，因此，在线性回归分析中所谈的共线性 主要是非完全共线性，也称为复共线性。判断复共线性及其严重程度的方法主要有特征分析法(analysis of eigenvalue)，条件数法 (conditional numbers)和方差扩大因子法(variance inflation factor)。
产生原因
产生原因
主要有3个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 （2）滞后变量的引入 （3）样本资料的限制
影响
影响
第四章多重共线性
第四章 多重共线性一、单项选择题1、完全的多重共线性是指解释变量的数据矩阵的秩（ ）（A ）大于k （B ）小于k（C ）等于k （D ）等于k+12、当模型存在严重的多重共线性时，OLS 估计量将不具备（ ）（A ）线性 （B ）无偏性（C ）有效性 （D ）一致性3、如果每两个解释变量的简单相关系数比较高，大于（ ）时则可认为存在着较严重的多重共线性。
（A ）0.5 （B ）0.6（C ）0.7 （D ）0.84、方差扩大因子VIF j 可用来度量多重共线性的严重程度，经验表明，VIF j （ ）时，说明解释变量与其余解释变量间有严重的多重共线性。
（A ）小于5 （B ）大于1（C ）小于1 （D ）大于105、对于模型01122i i i i Y X X u βββ=+++，与r 23等于0相比，当r 23等于0.5时，3ˆβ的方差将是原来的（ ）（A ）2倍 （B ）1.5倍（C ）1.33倍 （D ）1.25倍6、无多重共线性是指数据矩阵的秩（ ）（A ）小于k （B ）等于k（C ）大于k （D ）等于k+17、无多重共线性假定是假定各解释变量之间不存在（ ）（A ）线性关系 （B ）非线性关系（C ）自相关 （D ）异方差8、经济变量之间具有共同变化的趋势时，由其构建的计量经济模型易产生（ ）（A ）异方差 （B ）自相关（C ）多重共线性 （D ）序列相关9、完全多重共线性产生的后果包括参数估计量的方差（ ）（A ）增大 （B ）减小（C ）无穷大 （D ）无穷小10、不完全多重共线性产生的后果包括参数估计量的方差（ ）（A ）增大 （B ）减小（C ）无穷大 （D ）无穷小11、不完全多重共线性下，对参数区间估计时，置信区间趋于（ ）（A ）变大 （B ）变小（C ）不变 （D ）难以估计12、较高的简单相关系数是多重共线性存在的（ ）（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充要条件 （D ）并非条件13、方差扩大因子VIF j是由辅助回归的可决系数R j2计算而得，R j2越大，方差扩大因子VIF j就（）（A）越大（B）越小（C）不变（D）无关14、解释变量间的多重共线性越弱，方差扩大因子VIF j就越接近于（）（A）1 （B）2（C）0 （D）1015、多重共线性是一个（）（A）样本特性（B）总体特性（C）模型特性（D）以上皆不对二、多项选择题1、多重共线性包括（）（A）完全的多重共线性（B）不完全的多重共线性（C）解释变量间精确的线性关系（D）解释变量间近似的线性关系（E）非线性关系2、多重共线性产生的经济背景主要由（）（A）经济变量之间具有共同变化趋势（B）模型中包含滞后变量（C）采用截面数据（D）样本数据自身的原因3、多重共线性检验的方法包括（）（A）简单相关系数检验法（B）方差扩大因子法（C）直观判断法（D）逐步回归法（E）DW检验法4、修正多重共线性的经验方法包括（）（A）剔除变量法（B）增大样本容量（C）变换模型形式（D）截面数据与时间序列数据并用（E）变量变换5、严重的多重共线性常常会出现下列情形（）（A）适用OLS得到的回归参数估计值不稳定（B）回归系数的方差增大（C）回归方程高度显著的情况下，有些回归系数通不过显著性检验（D）回归系数的正负号得不到合理的经济解释三、名词解释1、多重共线性2、完全的多重共线性3、辅助回归4、方差扩大因子VIF j5、逐步回归法6、不完全的多重共线性四、简答题1、多重共线性的实质是什么？2、为什么会出现多重共线性？3、多重共线性对回归参数的估计有何影响？4、判断是否存在多重共线性的方法有那些？5、针对多重共线性采取的补救措施有那些？6、具有严重多重共线性的回归方程能否用来进行预测？五、辨析题1、在高度多重共线性的情形中，要评价一个或多个偏回归系数的单个显著性是不可能的。
第四章多重共线性
2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大
庞皓《计量经济学》(第4版)章节题库-第4章 多重共线性【圣才出品】
第4章 多重共线性一、选择题1．下列哪项回归分析中很可能出现多重共线性问题？（ ）A．“资本投入”“劳动投入”两个变量同时作为生产函数的解释变量B．“消费”作为被解释变量，“收入”作解释变量的消费函数C．“本期收入”和“前期收入”同时作为“消费”的解释变量的消费函数D．“每亩施肥量”“每亩施肥量的平方”同时作为“小麦亩产”的解释变量的模型【答案】C【解析】产生多重共线性的主要原因有：①经济变量相关的共同趋势；②模型设定不谨慎；③样本资料的限制。
C项中“本期收入”和“前期收入”两个解释变量之间很可能存在线性相关性，导致模型中很可能会出现多重共线性问题。
2．在线性回归模型Y i＝β0＋β1X i1＋β2X i2＋β3X i3＋u i中，如果X3i＝2X1i＋3X2i，则表明模型中存在（ ）。
A．异方差B．多重共线性C．序列相关D．设定误差【答案】B【解析】当存在不全为0的c i使c i X i1＋c2X i2＋…＋c k X ik＝0（i＝1，2，…，n），即某一个解释变量可以用其他解释变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全共线性，模型的回归系数估计值不存在。
本题中，存在c i 不等于0，使得X 3i －2X 1i －3X 2i ＝0，因此模型存在完全多重共线性。
3．对于模型Y i ＝β0＋β1X 1i ＋β2X 2i ＋μi ，与r 12＝0相比，当r 12＝0.5时，估计量Error!1的方差Var （1）将是原来的（ ）倍。
A ．1.00B ．1.33C ．1.45D ．2.00【答案】B【解析】在二元线性回归模型中，()221211ˆ1i Var r X σβ=⋅-∑多重共线性使参数估计量的方差增大，方差膨胀因子为VIF （1）＝1/（1－r 2），所以当r 12＝0.5时，方差将是原来的1/（1－r 122）＝1/（1－0.52）＝1.33倍。
4．下列各项中，不属于解决多重共线性的方法的是（ ）。
计量经济学(第四章多重共线性)
06
总结与展望
研究结论总结
多重共线性现象普遍存在于经济数据中，对计量 经济学模型的估计和解释产生了重要影响。
通过使用多种诊断方法，如相关系数矩阵、方差膨 胀因子（VIF）和条件指数（CI），可以有效地识别 多重共线性问题。
在存在多重共线性的情况下，普通最小二乘法 （OLS）估计量虽然仍然是无偏的，但其方差可能 变得很大，导致估计结果不稳定。
主成分分析法的优点
可以消除多重共线性的影响，同 时降低自变量的维度，简化模型。
岭回归法
岭回归法的基本思想
通过在损失函数中加入L2正则化项（即所有自变量的平方和），使得回归系数的估计更加稳定， 从而消除多重共线性的影响。
岭回归法的步骤
首先确定正则化参数λ的值，然后求解包含L2正则化项的损失函数最小化问题，得到岭回归系数的估 计值。
逐步回归法的优点
可以自动选择重要的自变量，同时消除多重共线性的影响。
主成分分析法
主成分分析法的基本思想
通过正交变换将原始自变量转换 为互不相关的主成分，然后选择 少数几个主成分进行回归分析。
主成分分析法的步骤
首先对原始自变量进行标准化处理， 然后计算相关系数矩阵并进行特征值 分解，得到主成分及其对应的特征向 量。最后，选择少数几个主成分作为 新的自变量进行回归分析。
岭回归法的优点
可以有效地处理多重共线性问题，同时避免过拟合现象的发生。此外，岭回归法还可以提供对所 有自变量的系数进行压缩估计的功能，使得模型更加简洁易懂。
05
实证研究与结果分
析
数据来源及预处理
数据来源
本研究采用的数据集来自于公开的统 计数据库，涵盖了多个经济指标和影 响因素的观测值。
数据预处理
第四章多重共线性实例
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
112884 15264.0
19497
1775.8
108845 22705.3
20913
Yˆ 28259.19 2.240X5
(-1.04) (2.66) R2=0.3064 F=7.07 DW=0.36
• 可见，应选第1个式子为初始的回归模型。
4、逐步回归
将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻 找最佳回归方程。
C
X1 X2 X3
X4
X5
R2
DW
Y=f(X1)
30868 4.23
0.8852 1.56
t值
25.58 11.49
Y=f(X1,X2)
-43871 4.65 0.67
0.9558 2.01
t值
-3.02 18.47 5.16
Y=f(X1,X2,X3)
-11978 5.26 0.41 -0.19
0.9752 1.53
t值
0.85
19.6 3.35 -3.57
Y=f(X1,X2,X3,X4) -13056 6.17 0.42 -0.17 -0.09
1930.6
110933 23656.0
22950
1999.3
111268 20392.7
24836
2141.5
110123 23944.7
第四章第四节 多重共线性的补救措施
其中， Yt 为商品的消费量， X 2t 为商品的价格，X3t 为消费者收入，若通过抽样调查得到截面数据从而
求得消费者收入的边际消费倾向估计量 ˆ3 ，则上式
变为：
Yt ˆ3 X3t 1 2 X2t ut
令 Yt* Yt ˆ3X3t ，则 Yt* 1 2 X 2t ut
如果原模型(4.4.13)式存在严重的多重共 线性，那么一般情况下，经过差分变换后 会对减轻或消除多重共线性。但是在对一 阶差分式的估计中极有可能会出现 ut 序 列相关的问题，将不满足高斯－马尔可夫 定理（古典假设）。所以，一般情况下， 差分形式应慎用。
五、逐步回归法
基本做法：1.将被解释变量Y对每一个解 释变量 Xi (i 1,2,, k) 分别进行回归，对每一个 回归方程根据经济理论和统计检验进行综合分 析判断，从中挑选出一个最优的基本回归方程。 2.在此基础上，再逐一引入其他解释变量，重 新作回归，逐步扩大模型的规模，直至从综合 情况看出现最好的模型估计形式。
但是劳动力的增长同资本的增长随时间的变换呈高
度相关。如果已知规模报酬不变，即 1 ，则 生产函数变为：
Qt
ALt
K
1 t
从而有：
ห้องสมุดไป่ตู้
Qt Kt
A( Lt ) Kt
Qt
Lt
其中 Kt 为资本产出率， Kt 为劳动对资本的
投入率。将上式两边去对数得：
ln( Qt ) ln A ln( Lt )
1
* 2
X 3t X 2t
ut
可回避原模型的多重共线性。
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计量经济学课程教案第四章 多重共线性§ 什么是多重共线性 一、多重共线性的概念 对于模型Y i =1+2X 2i +3X 3i++k X ki+ii=1,2,…,n其基本假设之一是解释变量是互相独立的。
如果存在c 1X 1i +c 2X 2i +…+c k X ki =0 i=1,2,…,n其中: c i 不全为0，则称为解释变量间存在完全共线性（perfectmulticollinearity ）。
在矩阵表示的线性回归模型 Y=X+中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=kn nn k k X X XX X X X X X X 212221212111111二、实际经济问题中的多重共线性一般地，产生多重共线性的主要原因有以下三个方面： （1）经济变量相关的共同趋势时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济变量（收入、消费、投资、价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于下降。
横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动力投入往往出现高度相关情况，大企业二者都大，小企业都小。
（2）滞后变量的引入在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济关系。
例如，消费=f(当期收入, 前期收入） 显然，两期收入间有较强的线性相关性。
（3）样本资料的限制由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，特定样本可能存在某种程度的多重共线性。
一般经验：时间序列数据样本：简单线性模型，往往存在多重共线性。
截面数据样本：问题不那么严重，但多重共线性仍然是存在的。
§ 多重共线性产生的后果一、完全共线性下参数估计量不存在μX βY +=的OLS 估计量为：Y X X X β''=-1)(ˆ如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在，无法得到参数的估计量。
二、近似共线性下OLS 估计量非有效 近似共线性下，可以得到OLS 参数估计量， 但参数估计量方差的表达式为12)()ˆ(-'=X X βσCov由于|X’X|0，引起(X’X)-1主对角线元素较大，使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有效。
多重共线性使参数估计值的方差增大，1/(1-r 2)为方差膨胀因子(Variance Inflation Factor, VIF)表 4.3.1 方差膨胀因子表相关系数平方00.50.80.90.950.960.970.980.990.999方差膨胀因子12510202533501001000三、参数估计量经济含义不合理如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如 X 2= X 1 ，这时，X 1和X 2前的参数1、2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它们对被解释变量的共同影响。
1、2已经失去了应有的经济含义，于是经常表现出似乎反常的现象：例如1本来应该是正的，结果恰是负的。
四、变量的显著性检验失去意义仍以二元线性模型 y=1x 1+2x 2+ 为例:∑∑∑∑∑∑∑∑-=-='=-2221221212221222122211121)(1/)()()ˆvar(ii i i iii i i ix x x x x x x x x x X X σσσβ221211r x i -⋅=∑σ∑∑∑2221221)(ii i i x x x x 恰为X 1与X 2的线性相关系数的平方r 2 由于 r 21，故 1/(1- r 2 )1当完全不共线时, r 2 =0 当近似共线时, 0< r 2 <1∑∑>-⋅=2122212111)ˆvar(ii x r x σσβ当完全共线时， r 2=1，∞=)ˆvar(1β∑=2121/)ˆvar(i x σβ五、模型的预测功能失效变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。
§ 多重共线性的检验多重共线性表现为解释变量之间具有相关关系，所以用于多重共线性的检验方法主要是统计方法：如判定系数检验法、逐步回归检验法等。
多重共线性检验的任务是： （1）检验多重共线性是否存在；（2）估计多重共线性的范围，即判断哪些变量之间存在共线性。
一、检验多重共线性是否存在(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法求出X 1与X 2的简单相关系数r ，若|r|接近1，则说明两变量存在较强的多重共线性。
(2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法若在OLS 法下：R 2与F 值较大，但t 检验值较小，说明各解释变量对Y 的联合线性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y 的独立作用不能分辨，故t 检验不显著。
二、判明存在多重共线性的范围如果存在多重共线性，需进一步确定究竟由哪些变量引起。
(1) 判定系数检验法存在多重共线性时参数估计值的方差与标准差变大容易使通过样本计算的t 值小于临界值，可能将重要的解释变量排除在模型之外使模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释变量进行回归，并计算相应的拟合优度。
如果某一种回归： X ji =1X 1i+2X 2i +LX Li的判定系数较大，说明X j 与其他X 间存在共线性。
具体可进一步对上述回归方程作F 检验。
构造如下F 统计量)1,2(~)1/()1()2/(2.2.+--+---=k n k F k n R k R F j j j式中：R j •2为第j 个解释变量对其他解释变量的回归方程的决定系数，若存在较强的共线性，则R j •2较大且接近于1，这时（1- R j •2 ）较小，从而F j 的值较大。
因此，给定显著性水平，计算F 值，并与相应的临界值比较，来判定是否存在相关性。
另一等价的检验是:在模型中排除某一个解释变量X j ，估计模型；如果拟合优度与包含X j 时十分接近，则说明X j 与其它解释变量之间存在共线性。
(2)逐步回归法以Y 为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归模型，进行模型估计。
根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否独立。
如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是一个独立解释变量；如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变量与其它变量之间存在共线性关系。
§ 多重共线性的补救措施如果模型被检验证明存在多重共线性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类。
一、第一类方法：排除引起共线性的变量找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去。
以逐步回归法得到最广泛的应用。
注意：这时，剩余解释变量参数的经济含义和数值都发生了变化。
二、第二类方法：差分法时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型: Y i =1X 1i +2X 2i ++kX ki +i可以有效地消除原模型中的多重共线性。
一般讲，增量之间的线性关系远比总量之间的线性关系弱得多。
三、第三类方法：减小参数估计量的方差多重共线性的主要后果是参数估计量具有较大的方差，所以采取适当方法减小参数估计量的方差，虽然没有消除模型中的多重共线性，但确能消除多重共线性造成的后果。
例如：①增加样本容量，可使参数估计量的方差减小。
*②岭回归法（Ridge Regression ）70年代发展的岭回归法，以引入偏误为代价减小参数估计量的方差，受到人们的重视。
具体方法是：引入矩阵D ，使参数估计量为Y X D X X β'+'=-1)(ˆ其中矩阵D 一般选择为主对角阵，即 D=aIa 为大于0的常数。
显然，与未含D 的参数B 的估计量相比，(*)式的估计量有较小的方差。
§ 案例——中国粮食生产函数根据理论和经验分析，影响粮食生产（Y ）的主要因素有：农业化肥施用量（X 1）；粮食播种面积(X 2)成灾面积(X 3); 农业机械总动力(X 4); 农业劳动力(X 5)已知中国粮食生产的相关数据，建立中国粮食生产函数： Y=+1X 1 +2X 2 +3X 3 +4X 4 +4X 5 +一、用OLS 法估计上述模型：54321028.0098.0166.0421.0213.644.12816ˆX X X X X Y ---++-=R 2接近于1；给定=5%，得F 临界值 (5,12)= F= > ，故认上述粮食生产的总体线性关系显著成立。
但X 4 、X 5 的参数未通过t 检验，且符号不正确，故解释变量间可能存在多重共线性。
二、检验简单相关系数X1X2X3X4X5X1 1.000.010.640.960.55X20.01 1.00-0.45-0.040.18X30.64-0.45 1.000.690.36X40.96-0.040.69 1.000.45X50.550.180.360.45 1.00发现： X 1与X 4间存在高度相关性。
三、找出最简单的回归形式可见，应选第1个式子为初始的回归模型。
四、逐步回归将其他解释变量分别导入上述初始回归模型，寻找最佳回归方程。
五、结论回归方程以Y=f(X 1，X 2，X 3)为最优：32119.041.026.511978X X X Y -++-=思考题1、多重共线性的实质是什么为什么会出现多重共线性2、多重共线性对回归参数的估计有何影响3、多重共线性的典型表现是什么判断多重共线性的方法有哪些4、针对多重共线性的不同情形,能采取的补救措施有哪些5、具有多重共线性的回归方程能否用来进行预测1576.464.30867ˆX Y += R 2=0.8919 F= DW= 2699.018.33821ˆX Y +-=R 2=0.075 F= DW=4380.00.31919ˆX Y += R 2=0.7527 F= DW=5240.219.28259ˆX Y +-= R 2=0.3064 F= DW=。