平行四边形定义性质以及判定定理

平行四边形定义性质以

及判定定理

性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是图形，对称中心是两对角线的交点.

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。

（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。

（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积

平行四边形的判定方法（共6种）

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；

6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

辅助线作法

一、连接对角线或平移。

二、过顶点作对边的构成。

三、连接对角线与一边中点，或过对角线交点作一边的，构成线段平行或。

四、连接顶点与对边上一点的或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过作对角线的垂线，构成线段平行或三角形。

平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的定义、性质：

（1）平行四边形对边平行且相等.

（2）平行四边形两条对角线互相平分.（菱形和正方形）

（3）平行四边形的对角相等,两邻角互补

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.(推论）

（5）平行四边形的面积等于底和高的积.（可视为矩形）

（6）平行四边形是旋转对称图形,旋转中心是两条对角线的交点.

（7）过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形.

（8）平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.

（9）一般的平行四边形不是轴对称图形,菱形是轴对称图形.

（10）平行四边形ABCD中,AC、BD是平行四边形ABCD的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）.

（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分.

判定：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；

平行四边形性质和判定习题(答案详细)

平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点判定定理、例题的证明． ●教学方法启发式在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备投影片两张第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)

●教学过程 Ⅰ．复习回顾师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线．［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β．下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？［生］图(1)较直观，图(2)不直观．［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？

(完整版)平行四边形的性质和判定练习题

初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定班级：姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）；，_________（对角相等）；…（邻角互补）；，（对角线互相平分）。平行四边形的判定：判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；几何语言判定1., 判定2.，判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长为 cm ． 4.如图，在□中，已知，平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D

平行四边形的3个判定定理

平行四边形的判定教学目标知识与技能： 1、运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法。 2、理解平行四边形的判定方法，并学会简单运用。过程与方法： 1、通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力；使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题，渗透化归意识。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过对平行四边形判定方法的探究，提高学生解决问题的能力。情感、态度与价值观：通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性，认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析事物。教学重难点重点:平行四边形判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的结合运用。难点:对平行四边形判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用。教学过程一、复习、引入新课复习：问题（多媒体展示问题） 1、平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2、平行四边形的性质有哪些？（从三个方面：边、角、对角线，两个角度：文字语言、符号语言回答）

引入新课我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？二、新课活动一： 1、教师明确平行四边形的第一种判定方法——根据定义。平行四边形判定定理 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、学生结合图形，用符号语言表述这一定理。解：∵AB∥CD，AD∥BC（已知） ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形。）活动二： 1、探究1：如图，将两长两短的四条线段首尾顺次连接，拼成一个四边形，使等长的线段成为对边，转动这个四边形，使它形状改变。在图形变化过程中，它一直是一个什么四边形？（如图） 2、猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。教师用几何画板演示，学生观察，进一步猜想。 3、尝试证明：这里采用先由教师提示，然后学生独立思考，学生口述证明过程。

平行四边形性质及判定练习题

A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8，则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是（） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取（） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形，还应满足（） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE．页1

∵四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF． ∴四边形EGFH为平行四边形．【变式】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠F， ∵CE=CF， ∴∠F=∠3， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．例2、如图，在?ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．页2

线面平行的判定定理和性质定理

线面平行的判定定理和性质定理教学目的： 1. 掌握空间直线和平面的位置关系； 2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础前面3 节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点教学过程：一、复习引入：

1 空间两直线的位置关系（ 1 ）相交；（ 2 ）平行；（ 3）异面 2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式： a // b,b // c a // c ． 3. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线所成的锐角 (或直角 )相等 . 5. 空间两条异面直线的画法 a b b D 1 C 1 b a a A 1 B 1 D C A B 6. ．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式： A , B ,l , B l AB 与 l 是异面直线 7. ．异面直线所成的角：已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点 O a b ′ 作直线 a // a, b // b ， a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关，把 b O a , b 所成的锐角（或直角）叫异面直线 a, b 所成的角（或夹角）．为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： (0, ] 2 8. ．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两

平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定

平行四边形一、平行四边形 1.平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.平行四边形的判定定理：（1）判定定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3）判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（4）判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 3.平行四边形的性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。（3）夹在两条平行线间的平行线段相等。（4）平行四边形的对角线互相平分。（5）平行四边形是中心对称图形。 4.平行四边形的面积：面积=底边长×高= ah（a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离。）二、矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。 2.矩形的判定定理：（1）判定定义：有一个角是直角的平行四边形是是矩形。（2）判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。（3）判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。 3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等。（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。 4.矩形的面积：矩形的面积=长×宽三、菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.菱形的判定定理：（1）判定定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）判定定理（1）：四边都相等的四边形是菱形。（3）判定定理（2）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。（4）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

八年级数学下册平行四边形的判定()教案

18．1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定(1) 1．掌握平行四边形的判定定理；(重点) 2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点) 一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质： 1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD ＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF 为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF ＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF ＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF ＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．方法总结：利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决．探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°. (1)求∠D的度数； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明． (1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D ＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°； (2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB ＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD 第 1 页共3 页

立体几何判定定理与性质定理汇总

文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号语言：α?a ，α?b ，且b a //α//a ?．图形语言：定理二（平面与平面平行的判定定理）文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号语言：β?a ，β?b ，P b a = ，α//a ，α//b αβ//?．图形语言：定理三（直线与平面平行的性质定理）文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．符号语言：α//a ，β?a ，且b =βα b a //?．图形语言：证明：因为b =βα ，所以α?b ．又因为α//a ，所以a 与b 无公共点．又因为β?a ，β?b ，所以b a //．定理四（平面与平面平行的性质定理）文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：βα//，a =γα ，b =γβ b a //?．图形语言： α b a P βα b a a α βa b αγ a b αβ

文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：a c ⊥，b c ⊥，P b a = ，α?a ，α?b α//c ?．图形语言：定理六（平面与平面垂直的判定定理）文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：α⊥a ，β?a ，αβ⊥?．图形语言：定理七（直线与平面垂直的性质定理）文字语言：垂直于同一平面的两条直线平行．符号语言：α⊥a ，α⊥b b a //?．图形语言：定理八（平面与平面垂直的性质定理）文字语言：对于两个相互垂直的平面，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面．符号语言：βα⊥，m =βα ，β?a ，m a ⊥α⊥?a ．图形语言： c a b αP αβa αb a βa m α

平行四边形的性质及判定(复习课)

平行四边形的性质及判定（复习课）教学目的： 1、深入了解平行四边形的不稳定性； 2、理解两条平行线间的距离定义（区别于两点间的距离、点到直线的距离） 3、熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形性质定理1、定理2及其推论、定理3和四个平行四边形判定定理，并运用它们进行有关的论证和计算； 4、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点，体验“特殊--一般--特殊”的辨证唯物主义观点。教学重点：平行四边形的性质和判定。教学难点：性质、判定定理的运用。教学程序：一、复习创情导入平行四边形的性质：边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。角：对角相等（定理1）；邻角互补。平行四边形的判定：边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1）二、授新 1、提出问题：平行四边形有哪些性质：判定平行四边形有哪些方法： 2、自学质疑：自学课本P79-82页，并提出疑难问题。 3、分组讨论：讨论自学中不能解决的问题及学生提出问题。 4、反馈归纳：根据预习和讨论的效果，进行点拨指导。 5、尝试练习：完成习题，解答疑难。 6、深化创新：平行四边形的性质：边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。角：对角相等（定理1）；邻角互补。平行四边形的判定：边：两组对边平行（定义）；两组对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）；一组对边平行且相等（定理4）；两组对角分别相等（定理1） 7、推荐作业 1、熟记“归纳整理的内容”； 2、完成《练习卷》； 3、预习：（1）矩形的定义？（2）矩形的性质定理1、2及其推论的内容是什么？（3）怎样证明？（4）例1的解答过程中，运用哪些性质？

平行四边形的性质及判定(提升版)

第11讲平行四边形的性质及判定小测试总分10分得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算．【教学重难点】能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点．知识点1：平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3．知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形．注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）．在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3

5.4平行线的性质定理和判定定理

7.3平行线的判定【知识沙盘】【学习目标】 1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”. 2.能用平行线的判定解决一些简单的问题. 【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理. 2.平行线判定定理的简单应用. 【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述. 【学情分析】经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直

线平行”，从而得到平行线的判定定理. 【教学过程】一、导入你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！二、自主学习阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级. 三、交流研讨出示答案，自主订正四、精讲部分（一）不讲内容： ①知识储备、归类总结 ②A级1,2 （二）略讲内容： ①B级 3 3.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中 o = B70 = ∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论. D ∠ = C A110 = ∠ ∠，o

直线平行）　（同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质）Ｂ（已知）Ｂ，直线平行）　（同旁内角互补，两（等式的性质）（已知），理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A C A DC A B O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容： ① C 级 4 4.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分（１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //. （２）若BC DE //，求证：BDE ?为等腰三角形. （３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．

《平行四边形》的性质与判定专题练习题含答案

人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．

7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；

八年级数学下册平行四边形的判定定理教案

22.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1 1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点) 2．平行四边形性质定理与判定定理的综合应用．(难点) 一、情境导入我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：1．两组对边分别平行且相等； 2．两组对角分别相等； 3．两条对角线互相平分．那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知，如图E、F是四边形ABCD 的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF ＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．探究点二：平行四边形的判定定理与性质的综合应用【类型一】利用性质与判定证明如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE 是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF 中， ?? ? ?? ∠DFC＝∠BEA， ∠FCD＝∠EAB， AB＝CD， ∴△ABE≌△ CDF(AAS)； (2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中， ?? ? ?? AD＝BC， ∠DAE＝∠BCF， AE＝FC， ∴△ADE≌△CBF，

平行四边形的定义,性质及判定方法

一、平行四边形知识结构及要点小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。二、解题方法及技巧小结：证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。

特殊的平行四边形知识结构及要点小结矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形正方形：定义；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。

平行线的判定定理和性质定理练习题

平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件：． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件：． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来：． 10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（）；二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥C F ． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ A D C B O 图５图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B

平行四边形的判定定理

18.1.2平行四边形的判定教学设计（第一课时）单位：盖州什字街学校年级：八年级设计者：吕庆涛时间：2017-05-13 一、学习目标 1、知识与技能：在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边来判定平行四边形的方法． 2、过程与方法：会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 3、情感态度与价值观：培养学生合情推理能力，以及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵． 4、重难点、关键重点：理解和掌握平行四边形的判定定理．难点：平行四边形判定方法的证明及应用. 关键：把握动手操作、观察、交流这一思想立线，利用三角形全等的概念加以理解二、学前准备 1. 教学准备：教师准备：投影仪，教具：课本P45“探究”内容；补充材料制成幻灯片．学生准备：复习平行四边形性质；学具：课本P45“探究”内容．

2 、学习方式：采用逆向思维来发现新的知识，通过交流形成知识体系．三、教学过程（一）预习指导： 1.平行四边形定义是：____________________________________。 2.平行四边形性质 1;_____________________________________________。平行四边形性质 2;_____________________________________________。 3.平行四边形性质1的逆命题;_____________________________________。平行四边形性质1的逆命题;________________________________________。（二）学习新知引入新课，启发学生：逆命题成立么？从而引出问题：以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，让学生画图，写出已知求证已知：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：

高中数学教案线面平行的判定定理和性质定理

教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点教学过程：一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα???．证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=，若P m ∈，则和//l m 矛盾，若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，