高中数学 1.1 集合 集合的概念 康托尔-集合论的创造者素材 新人教版必修1
人教版,数学,高一,必修一,集合的含义与表示
练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。
集合的概念课件高一上学期数学人教A版
集合的分类
有限集：集合中的元素有有限个。 无限集：集合中的元素有无限个。 空集：集合中不含任何元素。
例题：判断下列集合是有限集还是无限集
(1)由小于等于12的所有自然数组成的集合；（有限集） (2)关于方程 x2 x 0 的所有实数根组成的集合；（有限集） (3)由方程 x2 4 0 的实数根组成的集合；（有限集） (4)由大于12小于30的所有实数组成的集合。（无限集）
集合的概念
康托尔 (1845 —1918)德国数学家
集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达 数学内容。集合论最早是由德国数学家康托尔创立的。
情景导入
超市里的物品摆放
请你说一说， 物品的摆放有 何特点？
某奶茶店 的价目表
请你说一说， 这幅图上的分 类有集合的概念：一般地，将研究对象称为元素（element），将某些元素
例3：{等腰三角形，直角三角形，等边三角形，钝角三角形}
二、元素与集合间的关系
（1）属于(belong to)关系：若元素a是集合A中的元素，
那么，a属于A，记作： a∈A
（2）不属于(not belong to)关系：若元素a不是集合A中的
元素，那么，a不属于A，记作：a A
例：A={1,2,0.1,5,10}
例1：用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)关于方程 x2 x 0的所有实数根组成的集合；
集合的表示
2、描述法：
将满足集合中元素性质的所有元素（满足的条件） 表示出来，写成如下形式：
{x A | p(x)}
代表元素
特征属性
P4 例2：试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程 x2 2 0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。
高中数学 1.1 集合 集合的概念 康托尔-集合论的创造者素材 新人教版必修1
康托尔-集合论的创造者康托尔·G（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3～1918.1.6 ）德国数学家，集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡。
父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29～1893.5.14）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31～1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7～1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869～1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直被病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888～1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
主要贡献康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
新人教版(2019)必修一 第一章 集合与常用逻辑用语教材例题课后习题答案完整word版
【解析】
【分析】
集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.
【详解】集合 表示直线 与直线 交点的集合，
即 .DC
【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
拓广探索
10.请解决下列问题：
（1）设 ，若 ，求 的值；
（2）已知集合 ，若 ，求实数a的取值范围.
习题1.1
复习巩固
4.用符号“ ”或“ ”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若 ，则-1_____________A；
（3）若 ，则3________________B；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【解析】
【分析】
根据子集的定义写出一个子集即可.
【详解】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.
9.在平面直角坐标系中，集合 表示直线 ，从这个角度看，集合 表示什么？集合C，D之间有什么关系？
, , , , , , , .
【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.
4.用适当的符号填空：
（1）a_____ ；（2）0____ ；（3） ____ ；
（4） ____N；（5） ____ ；（6） ____ .
【答案】①. ②. ③. = ④.⑤.⑥. =
【解析】
集合的含义课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
9.问题8说明集合中的元素具有什么性质？
互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素
是不重复出现的,这就是集合的互异性.
10.由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集
合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具
有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ × ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ √ ）
六、归纳小结
知识方面
你收获到
了什么？
获取知识的思想方法方面
体验和感悟
七、布置作业
1. 分层作业；
2.教材P5练习1、2，习题1.1复习巩固第1题。
谢谢您的倾听！
集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的
元素是没有顺序的.可以发现：如果两个集合中的元素完全相
同,那么这两个集合是相等的.
三、概念形成
1.元素与集合的概念
（1）一般地，把研究对象统称为元素，表示：a，b，c，d，…
（2）把一些元素组成的总体叫做集合，表示：A，B，C，D，…
2.元素与集合的关系
（4）与0接近的全体实数；
×
（5）到线段的两个端点距离相等的所有点。 √
4.常用数集及其记法：
集
非负整数
正整数
合 （自然数集）
集
记
法
N
N*或N＋
整数集
有理数
集
实数集
Z
Q
R
常用数集的表示方法：
正整数集：N＋或N﹡
自然数集： N
整数集: Z
有理数集: Q
实数集: R
人教A版必修一 第一章 1.1.1 集合的含义及其表示 (共22张PPT)
学习目标
1.通过实例掌握集合的含义并理解集合中
元素的三个性质。
2.能够记住并会使用常用的数集符号。
3.会用符号表示元素与集合之间的关系。
新课导入
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国
数学家，集合论创始人.人们把康托尔 于1873年12月7日给戴德金的信中最早 提出集合论思想的那一天定为集合论 诞生日.A.2B.3C.0或3
D.0,2,3均可
6.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，
2或4 6－a∈A，则a＝_____________.
课堂小结
1.集合的含义.
确定性 2.集合中元素的性质 互异性 无序性 3.数集及其符号表示.
4.元素与集合间的关系
课堂作业
习题1.1 A组
问题2：组成集合的元素一定是数吗？ 组成集合的元素可以是人，物、图、点、数
问题3：高一（11）班所有的“帅哥”能否构成一 个集合？由此说明什么？ 集合中的元 不能. 其中的元素不确定 素是确定的
问题4：由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合
中有5个元素，这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(11)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(11)班的一位同学， b表示高一(12)班的一位同学. 问题8：那么a，b与集合A分别有什么关系?
元素a与集合A的关系
属于 集合A， 如果a是集合A的元素，就说a_____ a∈A ； 记作_____
不属于 集合A, 如果b不是集合A中的元素，就说b_______
集合中的元
素是互异的
问题5：高一（11）班的全体同学组成一个集合，
人教版数学必修一 第一章 1.1.1 集合的含义与表示
问题
如果用A表示高一（ ）班学生组成的集合， 表示高 如果用 表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 表示高一 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 ）班的一位同学， 表示高一（ ） 表示高一 那么a、 与集合 分别有什么关系？ 与集合A分别有什么关系 学,那么 、b与集合 分别有什么关系？由此看出元 那么 素与集合之间有什么关系？ 素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数 的值. 求实数a的值 求实数 的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？ 今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 元素与集合的关系： ， 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
第12页 页 习题1.1 A组 第1、2、3、4题 习题 组 、 、 、 题
2．选择题 ． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中 关键在于 解析 判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 判断一个元素是否在某个集合中 弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 的所有实数根” 的所有实数根 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｝ 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 并用花括号｛ 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号｛｝括起来表示 注意：元素与元素之间用逗号隔开） （注意：元素与元素之间用逗号隔开） 叫做列举法 集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法 用列举法表示下列集合： 例1 用列举法表示下列集合： 一个集合中的元素 (1)小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 小于 的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合； 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的所有实数根组成的集合； 方程 的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合 以内的所有素数组成的集合. 由 以内的所有素数组成的集合 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ， ， ， ， ， ， ， 1.确定性 确定性 2.互异性 互异性 3.无序性 无序性
高中数学集合的含义新教材人教版高中必修第一册
8
课前预习
课堂互动
素养达成
2.元素与集合的关系 在a∈A与a∉A这两种情况中有且只有一种成立
知识点
元素与 集合的 关系
关系
概念
记法
如果__a_是__集__合__A_中__的__元__素____，
属于
__a_∈__A__
就说a属于A
不属于 如果_a_不__是__集__合__A_中__的__元__素__， __a___A_ 就说a不属于A
A.著名物理家
B.很大的数
C.聪明的人
D.小于3的实数
(2)下列各组对象可以构成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
18
课前预习
课堂互动
素养达成
解析 (1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合. (2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点” 无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平 面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集 合. 答案 (1)D (2)B
11
课前预习
课堂互动
素养达成
[微训练]
给出下列说法： ①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合； ③高一(1)班所有姓氏能构成集合； ④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个. 其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
12
课前预习
课堂互动
素养达成
3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能
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康托尔-集合论的创造者康托尔·G（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3～1918.1.6 ）德国数学家，集合论的创始人。
生于俄国圣彼得堡。
父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。
先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29～1893.5.14）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31～1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7～1891.12.29)。
1866年曾去格丁根学习一学期。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869～1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
1872年成为该校副教授，1879年任教授。
由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直被病魔缠身。
1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888～1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。
主要贡献康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。
两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。
康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。
可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。
”（一）集合论的建立19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。
康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。
1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。
为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。
这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。
他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。
他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。
两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。
这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。
他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。
1874年他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。
至于实数集合是否可列的问题，1873年康托尔给戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6～1916.2.12）的一封信中提出过，但不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。
由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。
同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。
他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。
从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。
第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名为《一般集合论基础》。
第六篇论文是第五篇的补充。
康托尔的信条是：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。
……数学的本质就在于它的自由。
”（二）超穷数理论的建立《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：第一生成原则：从任给一点的数出发，通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。
第二生成原则：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。
第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。
反复应用三个原则，得到超穷数的序列ω，ω1，ω2，…利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。
在《一般集合论基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。
在《一般集合论基础》中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。
康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。
《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。
《对超穷数论基础的献文》分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。
第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。
《对超穷数论基础的献文》的发表标志着集合论从点集论过渡到抽象集合论。
但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常称为古典集合论或朴素集合论。
康托尔的遭遇由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的两千多年以来，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，它从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。
不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。
加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，其中反对最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。
克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象。
他反对无理数和连续函数的理论，同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。
他说康托尔的集合论空洞毫无内容。
除了克罗内克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。
法国数学家庞加莱（Poincare，J ulesHenri,1854.4.29～1912.7.17）说：“我个人，而且还不止我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西。
”他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。
德国数学家魏尔（Wey1，Claude Hugo Hermann,1885.11.9～1955.12.8）认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。
克莱因（Klein，Christian Felix，1849.4.25～1925.6.22）也不赞成集合论的思想。
数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。
集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。
1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克的尖锐对立，康托尔精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。
他的精神沮丧，不能很好地集中精力研究集合论，从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔。
不过每当他恢复常态时，他的思想总变得超乎寻常地清晰，继续他的集合论的工作。
康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。
瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨（Hurwitz，Adolf，1859.3.26～1919.11.18）在他的综合报告中，明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用，这破天荒的第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学，而是真正对数学发展起作用的理论工具。
在分组会上，法国数学家阿达玛（Hadamard Jacques，1865.12.8～1963.10.17）也报告了康托尔对他的工作的重要作用。
随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。
希尔伯特(Hilbert David，1862.1.23～1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。