传递函数
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数的推导
传递函数的推导一、引言在探索传递函数的推导之前，让我们先明确一下什么是传递函数。
传递函数是用来描述输入和输出之间关系的数学表达式，它可以帮助我们理解信号在系统中的传输过程。
本文将以人类的视角，通过简单的例子来推导传递函数的方法，以增强读者的理解。
二、例子引入假设我们有一个简单的系统，输入信号为一个正弦波，输出信号为经过系统处理后的波形。
我们的目标是找到输入和输出之间的数学关系，也就是传递函数。
三、推导过程我们首先假设输入信号为x(t)，输出信号为y(t)。
根据系统的特性，我们可以得到如下的微分方程表达式：dy(t)/dt + a*y(t) = b*x(t) （1）其中，a和b是常数，表示系统的参数。
为了求解传递函数，我们需要对方程（1）进行变换。
我们对方程（1）两边同时进行拉普拉斯变换，得到：s*Y(s) + a*Y(s) = b*X(s) （2）其中，s是拉普拉斯变量，X(s)和Y(s)是X(t)和Y(t)的拉普拉斯变换。
接下来，我们将方程（2）重排，得到传递函数H(s)的表达式：H(s) = Y(s)/X(s) = b/(s + a) （3）至此，我们推导出了传递函数H(s)的表达式，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
在频域上，传递函数H(s)表示了系统对不同频率信号的传输特性。
四、总结通过以上推导过程，我们得到了传递函数的表达式。
传递函数是一种重要的工具，它可以帮助我们分析和设计各种信号处理系统。
通过理解传递函数的推导方法，我们可以更好地理解信号在系统中的传输过程，从而更好地应用于实际工程中。
以上就是传递函数的推导过程，希望本文能够帮助读者理解传递函数的概念和推导方法。
传递函数的推导是一个重要的数学工具，它在信号处理和系统控制等领域有着广泛的应用。
通过深入研究和应用传递函数，我们可以更好地理解和掌握信号处理和系统控制的原理和方法。
希望读者能够通过本文对传递函数有更深入的认识，并在实际工作中灵活运用。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
传递函数的c语言实现
传递函数的c语言实现摘要：1.传递函数简介2.传递函数的C语言实现a.函数声明与参数定义b.计算传递函数的C语言实现c.代码实例及运行结果3.总结与展望正文：传递函数在控制理论和工程领域中具有广泛的应用，它用于描述输入信号与输出信号之间的关系。
在实际应用中，传递函数可以用于控制系统设计、信号处理和通信系统分析等领域。
本文将介绍如何使用C语言实现传递函数。
首先，我们需要了解传递函数的基本概念。
传递函数是一个数学模型，用于描述输入信号x(t)与输出信号y(t)之间的关系，可以用以下公式表示：Y(s) = A(s) / (1 + βA(s))其中，s是拉普拉斯变换域变量，A(s)是开环增益，β是反馈因数。
传递函数的阶数是A(s)的最高次数。
接下来，我们将介绍如何使用C语言实现传递函数。
首先，我们需要声明一个函数，接收输入信号、开环增益和反馈因数作为参数。
函数声明如下：```cdouble transfer_function(double input, double gain, doublefeedback) {// 函数实现}```接下来，我们实现传递函数的计算。
这里我们采用部分分式法将传递函数分解为多个简单的多项式，然后计算每个多项式的值。
具体实现如下：```cdouble transfer_function(double input, double gain, double feedback) {// 计算开环增益A(s)double A_s = gain / (1 + feedback * gain);// 计算传递函数的零点和极点double zeros[3] = {0, -feedback / gain, 1 / gain};double poles[3] = {0, -1, 0};// 使用部分分式法计算传递函数double result = 0;for (int i = 0; i < 3; i++) {double denominator = 1;for (int j = 0; j < 3; j++) {if (i != j) {denominator *= (s - zeros[j]) / (s - poles[j]);}}result += input * (s - zeros[i]) / (s - poles[i]) * (1 / denominator);}// 拉普拉斯反变换，得到输出信号y(t)double output = 0;for (int i = 0; i < 3; i++) {output += zeros[i] * exp(-feedback * input * i) / (i * factorial(i));}return output;}```为了验证我们的实现，我们可以通过一个简单的例子进行测试。
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
传递函数求导数
传递函数求导数摘要：一、传递函数定义1.传递函数的背景和意义2.传递函数的数学表达式二、传递函数求导数的方法1.利用链式法则求导2.利用隐函数求导法则求导3.利用参数方程求导法则求导三、求导数的实际应用1.控制系统分析2.信号处理3.通信系统设计正文：传递函数是控制理论、信号处理和通信系统设计等领域中一个非常重要的概念。
它描述了输入信号与输出信号之间的关系，可以用来分析系统的稳定性和动态性能。
本文将介绍如何求传递函数的导数，并探讨其在实际应用中的重要性。
首先，我们需要了解传递函数的定义。
传递函数是指输入信号x(t) 与输出信号y(t) 之间的关系，可以用数学表达式G(s) = Y(s)/X(s) 表示，其中s 是复变量，X(s) 和Y(s) 分别是输入信号x(t) 和输出信号y(t) 的拉普拉斯变换。
接下来，我们来探讨如何求传递函数的导数。
根据求导法则，我们可以采用以下三种方法求传递函数的导数：1.利用链式法则求导：对于一般的传递函数G(s)，我们可以利用链式法则求导。
具体步骤如下：G"(s) = d/ds (Y(s)/X(s))= Y"(s) * X(-s) - Y(s) * X"(-s)其中，Y"(s) 和X"(s) 分别表示输出信号y(t) 和输入信号x(t) 的导数的拉普拉斯变换。
2.利用隐函数求导法则求导：对于由参数方程描述的传递函数G(s)，我们可以利用隐函数求导法则求导。
具体步骤如下：G"(s) = d/ds (Y(s)/X(s))= (dY(s)/ds * X(s) - Y(s) * dX(s)/ds) / X(s)^2其中，dY(s)/ds 和dX(s)/ds 分别表示输出信号y(t) 和输入信号x(t) 的导数的拉普拉斯变换。
3.利用参数方程求导法则求导：对于由参数方程描述的传递函数G(s)，我们还可以利用参数方程求导法则求导。
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设系统的微分方程为：
an y(n) (t) an1y(n1) (t) a1y(t) a0 y(t)
bm
x(
m)
(t
)
b x(m1) m1
(t
)
b1x(t) b0x(t)
式中x(t) - 输入，y(t) - 输出，ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m)为常系数
将上式求拉氏变换，得(令初始值为零）
入信号。 y(t) x(t ) 如右图所示。
其传递函数为：G(s) es
y(t)
t
延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有
延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起
见，化简如下：es
1 es
1 1
1s ... 1s
或 es 1s
t
es
es / 2 es / 2
1s / 2 1s / 2
4/29/2021 8:53:37 PM
4/29/2021 8:53:37 PM
4
3、传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无 关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的 关系。
4、传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。
5、传递函数忽略了初始条件的影响。
6、传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母 的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。
衰减振荡。 越小，振荡越厉害。
4/29/2021 8:53:37 PM
15
（五）微分环节：
微分环节的时域形式有三种形式： 相应的传递函数为：
① y(t) Kx(t)
① G(s) Ks
② y(t) K(x(t) x(t))
② G(s) K(s 1)
③ y(t) K[ 2x(t) 2 x(t) x(t)] ③ G(s) K( 2s2 2 s 1)
4/29/2021 8:53:37 PM
19
(ansn an1sn1 a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 b1s b0 ) X (s)
4/29/2021 8:53:37 PM
3
G(s)
Y (s) X (s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
称为系统的传递函数
9
三、典型环节及其传递函数
典型环节有比例、积分、惯性、振荡、微分和延迟环节等 多种。以下分别讨论典型环节的时域特征和复域（s域）特征。 时域特征包括微分方程和单位阶跃输入下的输出响应。s域特性 研究系统的零极点分布。
（一）比例环节：
时域方程：y(t) Kx(t),t 0
传递函数：G(s) Y (s) K X (s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器， 放大器等。
4/29/2021 8:53:37 PM
10
（二）积分环节：
t
时域方程：y(t) K x(t)dt, t 0 0
传递函数：G(s) Y (s) K 1 X (s) s Ts
y(t) y Kt
x(t) u(t)
0
t
S平面 j
当传递函数和输入已知时，由Y (s) G(s)X (s),
通过拉普拉斯反变换可系统的输出函数y(t)
[关于传递函数的几点说明]
1、传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数 微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 2、传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的 传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种 传递函数的各种系统。
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
4/29/2021 8:53:37 PM
11
（三）惯性环节
时域方程：Ty(t) y(t) Kx(t) t 0
传递函数： G(s) Y (s) K
X (s) Ts 1
当输入为单位阶跃函数时,有 Ty(t) y(t) K，可解得：
(s
1 p1 )( s
p2 )
s2
1
2 ns
n2
或
(T1s
1 1)(T2 s
1)
T
2s2
1
2Ts
1
其中系数、 由 p1、p2 或 T1、T2 求得；
同理，共轭复零点可表示如下
(s z1)(s z2 ) s2 2ns n2 或 (T1s 1)(T2s 1) T 2s2 2Ts 1
y(t)
K (1
e
t T
)，式中：K为放大系数，T为时间常数。
当K=1时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和零极点分
布图如下：
x(t)
y(t) 1
斜率=1/T x(t)
0.8
y(t)
0.6
0.632
0.4
0.2
00 T
t
1 T
j S平面
0
Re
通过原点的斜率为1/T，且只有一个极点（-1/T）。
4/29/2021 8:53:37 PM
T
若 0 1 ，传递函数有一对共轭复数极点。此时传递函
数可写成（设K=1)：
4/29/2021 8:53:37 PM
14
G(s)
s2
n2 2ns
n2
(其中n
1) T
对阶跃输入
Y (s)
G(s) X
(s)
s(s2
2 n
2ns
n2 )
y(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t arctan
(
2 k
s
2
2k k s
1)
i1
k 1
n1
(Tj s
1)
n2
(Tl
2
s
2
2lTl
1)
j 1
l 1
振荡环节
式中： m1 2m2 m,
从上式可以看出：传递函数是一
n1
2n2
n
些基本因子的乘积。这些基本因子就 是典型环节所对应的传递函数，是一
些最简单、最基本的一些形式。
4/29/2021 8:53:37 PM
控制系统的传递函数（补充）
一、传递函数的基本概念 二、传递函数的表现形式 三、典型环节及其传递函数
4/29/2021 8:53:37 PM
1
关于传递函数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。 利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如下问 题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系 统在输入信号作用下的动态过程。
4/29/2021 8:53:37 PM
8
若再考虑有 个零值极点，则传递函数的通式可以写成：
比例环节 一阶微分
二阶微分
G(s) Kg s
积分环节惯性环节
m1
(s
zi
)
m2
(
s
2
2kk s
2 k
)
i1
k 1
n1
(s
p
j
)
n2
(
s
2
2 l l
2 l)
K s
m1
(
i
s
1)
m2
(is 1)
i 1 n
(Tjs 1)
j 1
m
zi
显然：K Kg
i 1 n
pj
j 1
，
i
1 zi
,
Tj
1 pj
,
其中 i，Tj 分别称为时间常数，K称为放大系数。
4/29/2021 8:53:37 PM
7
对于共轭复数的零点和极点常用二阶项表示。例 p1, p2
为共轭复极点，T1、T2 也为共轭复数。相应的二阶项表示为：
可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过 程的影响，因而使分析系统的问题大为简化。
可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数 的要求，使综合问题易于实现。
4/29/2021 8:53:37 PM
2
一、传递函数的基本概念
传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
m
G(s)
Y (s) X (s)
bm an
Q(s) P(s)
Kg
(s zi )
i 1 n
(s pj )
式中：s
zi
称为传递函数的零点，s
j 1
pj
称为传递函数的极点。
Kg
bm an
—传递系数（零极点形式传递函数增益）
4/29/2021 8:53:37 PM
6
⒊时间常数形式：
m
G(s) b0 Q(s) K a0 P(s)
4/29/2021 8:53:37 PM
5
二、传递函数的几种表达形式：
⒈有理分式形式：
G(s)
Y (s) X (s)
bmsm an s n
bm1sm1 b1 b0 an1sn1 a1 a0
式中：ai , bj —为实常数，一般n≥m
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。
⒉零点、极点形式：
17
1
1
（七）其他环节：还有一些环节如 Ts 1, T 2s2 2Ts 1 等，
它们的极点在s平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是 不稳定的。称为不稳定环节。
4/29/2021 8:53:37 PM
18
小结
传递函数的基本概念； 传递函数的列写(由微分方程和系统原理图出发)； 典型环节及其传递函数(单位阶跃响应及其零极点分布)。
分别称为：纯微分，一阶微分和二阶微分环节。微分环节没有极 点，只有零点。分别是零值零点、实数零点和一对共轭复零点