高数在经济学中的应用
高数在经济学中应用
《高等数学》知识在经济学中的应用举例由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。
数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。
应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。
这里我们简单介绍一下一元微积分及多元微积分在经济中的一些简单应用。
一、复利及贴现问题1、复利公式货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。
利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。
在这一期内利息总额及贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。
如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。
在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。
通俗说法就是“利滚利”。
下面推出按福利计息方法的复利公式。
现有本金A0，年利率r=p%，若以复利计息，t年末A0将增值到A t，试计算A t。
若以年为一期计算利息：一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ）二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1）若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是r m，容易推得0(1)mt t r A A m =+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。
若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于000lim (1)lim[(1)]mmt rt rt r m m r r A A A e m m→∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是0rt t A A e =例1 A 0＝100元，r=8%，t ＝1，则一年计息1期 1100(10.08)108()A =⨯+=元一年计息2期 210.08100(1)108.16()2A =⨯+=元 一年计息4期 410.08100(1)108.243()4A =⨯+=元 一年计息12期 1210.08100(1)108.300()12A =⨯+=元 一年计息100期 10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元 连续复利计息 0.081100108.329()A e ==元2、实利率及虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。
高数在经济学领域的应用探讨
高数在经济学领域的应用探讨一、微积分在经济学中的应用微积分作为高等数学的一个重要分支，对于经济学的研究和实践有着重要的应用。
它的主要应用包括：1. 边际分析微积分中的导数概念被广泛应用于经济学中的边际分析。
在经济学中，边际分析是研究单位数量的变化对某一决策变量产生的影响的方法。
在生产函数中，边际产品就是指增加一单位的生产要素所能带来的额外产出。
微积分的导数概念帮助经济学家进行边际分析，从而在生产、消费和投资等方面做出明智的决策。
2. 极值问题微积分中的极值问题在经济学中也有着重要的应用。
在成本函数和利润函数的最大化问题中，微积分的极值定理帮助经济学家找到最优的生产和经营方案。
这对企业的经营管理和资源配置具有重要意义。
3. 动态模型微积分中的微分方程概念被广泛应用于经济学中的动态模型。
经济增长模型、货币供应模型等都需要运用微分方程来描述经济体系的变化过程。
微积分的动态模型为经济学家提供了一个更加准确和深入的研究经济现象的方法。
1. 数量关系的建模线性代数的矩阵和向量概念被广泛应用于经济学中对数量关系的建模。
国民经济核算中的投入产出模型、线性规划模型等都需要运用线性代数的知识来描述和分析经济体系中的数量关系。
2. 统计分析线性代数的矩阵和向量概念在统计分析中也有着重要的应用。
经济学家在分析经济数据时经常需要进行回归分析和相关性分析，这就需要运用线性代数的知识来进行模型的建立和解释。
3. 优化问题三、概率论与数理统计在经济学中的应用概率论与数理统计的概率分布和回归分析方法被广泛应用于经济学中的预测分析。
经济学家在预测经济增长率、通货膨胀率等经济指标时会运用概率论和数理统计的知识来建立模型和进行分析。
2. 风险管理概率论与数理统计的风险分析方法被广泛应用于经济学中的风险管理。
在金融领域，概率论与数理统计的知识帮助金融机构对风险进行评估和控制，从而降低经济风险带来的损失。
3. 假设检验概率论与数理统计的假设检验方法被广泛应用于经济学中的数据分析。
高等数学在经济学中的应用
高等数学在经济学中的应用高等数学作为一门重要的基础学科，在经济学的研究中起着不可或缺的作用。
它帮助经济学家和研究人员分析复杂的经济问题，建立清晰的模型，以便更好地理解和预测经济现象。
本文将从多个方面探讨高等数学在经济学中的具体应用，包括微积分、线性代数、最优化理论及其在数据分析中的作用。
微积分在经济学中的应用微积分是高等数学的一个重要分支，它主要研究函数的变化率和累积量。
在经济学中，微积分被广泛应用于以下几个方面：需求与供给的弹性需求和供给的弹性是描述价格变化对商品需求量和供给量影响的重要概念。
通过微积分，我们可以求出需求函数和供给函数的导数，从而确定价格变化引起的数量变化。
比如，设需求函数为 ( D(p) = a - bp )，则其导数为( D’(p) = -b )。
通过弹性公式，可以得出：[ E_d = = ]这表达了价格变动对需求量变动的敏感程度，为企业制定价格策略提供了理论依据。
边际分析边际分析是经济学中的重要工具，通过微分可以计算特定变化带来的影响。
例如，在生产过程中，边际成本（MC）和边际收益（MR）的概念至关重要。
假设总成本函数为 ( C(q) )，总收益函数为( R(q) )，则：[ MC = C’(q), MR = R’(q) ]在完全竞争市场中，企业的利润最大化条件为 ( MR = MC )。
通过这种方法，企业能有效地决定生产规模和市场策略。
最大化与最小化问题微积分还用于解决最大化与最小化问题。
例如，在决策过程中，企业通常需要最大化利润或最小化成本。
设利润函数为 ( (q) = R(q) - C(q) )，我们可以对利润函数进行求导并找到极值点，通过二次导数判别法来判断极值的性质：[ ’(q) = 0 ]如果( ’’(q) < 0 )，则表示利润达到最大。
如在生产过程中，通过这种方法找出最佳生产水平，使得利润最大化。
线性代数在经济学中的应用线性代数关注向量空间及其线性变换，而这一领域在经济决策中的应用也相当广泛。
高等数学在经济领域中的应用分析
高等数学在经济领域中的应用分析高等数学是应用最广泛的一门数学学科之一，其中的各种数学方法和技巧在经济学领域有着广泛的应用。
本文将从微积分、线性代数和概率论的角度，分析高等数学在经济领域的应用。
一、微积分在经济领域中的应用微积分是分析变化和变化速率的数学工具，对经济学而言尤为重要。
经济学研究的诸多问题都可以通过微积分来解决。
1.极限和导数的应用在经济学中，利润、成本、供需等关系都经常涉及到边际变量的概念。
边际收益和边际成本的概念可以通过导数的概念来解释和计算。
例如，在生产函数中，可以利用导数的概念计算边际产出，从而决定产品生产量。
在市场供需方面，利用微积分可以计算供给曲线和需求曲线的价格弹性，帮助分析市场的平衡价格和数量。
同样的，微积分的极限和导数概念也可以用来解析货币供应和通货膨胀之间的关系。
2.积分的应用积分是微积分的另一个重要概念，它可以帮助分析经济学中的面积、加权平均、总量等问题。
例如，在计算国内生产总值（GDP）时，可以利用积分的概念对每个行业的产值进行加权求和，从而得到总体的GDP。
同时，在消费者需求分析中，可以利用消费者需求曲线下的面积来计算某一产品的总需求量。
二、线性代数在经济领域中的应用线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，其在经济学领域的应用主要体现在经济模型的建立和分析中。
1.矩阵的应用经济学研究中常常涉及到多个变量之间的关系，这些关系可以通过矩阵来表示。
矩阵乘法和线性方程组等概念可以帮助经济学家分析和解决多变量的经济模型。
例如，经济增长模型、投资模型等都可以通过矩阵的运算和求解线性方程组来进行分析和预测。
2.特征值和特征向量的应用在经济学研究中，经常需要求解矩阵的特征值和特征向量。
例如，在输入产出分析中，可利用特征值和特征向量来分析经济系统的稳定性和结构。
此外，经济学中的协方差矩阵和相关矩阵等概念也是线性代数在经济学中的应用之一。
三、概率论在经济领域中的应用1.概率分布的应用概率论是研究随机事件及其概率的数学工具，它在经济学领域中的应用主要体现在统计分析和经济决策中。
高等数学在经济学中的应用
高等数学在经济学中的应用高等数学是一门研究数与空间、变与不变的关系的学科，它是现代科学和工程技术的基础。
经济学作为社会科学的一门重要学科，也离不开数学的支持和应用。
本文将探讨高等数学在经济学中的应用，包括微积分、线性代数和概率论等方面。
微积分在经济学中的应用微积分是研究变化率和积分的数学分支，它在经济学中有着广泛的应用。
首先，微积分可以帮助经济学家建立经济模型并进行分析。
例如，在需求和供给模型中，微积分可以帮助我们计算边际效用、边际成本和边际收益等重要概念，从而更好地理解市场行为和决策。
其次，微积分还可以帮助我们解决最优化问题。
在经济学中，我们常常需要找到最大化或最小化某个目标函数的解，微积分提供了一种有效的工具来求解这类问题。
最后，微积分还可以帮助我们理解经济学中的变化和趋势。
通过对函数的导数和积分进行分析，我们可以研究经济变量的增长率、速度和趋势，从而更好地预测和解释经济现象。
线性代数在经济学中的应用线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，它在经济学中也有着重要的应用。
首先，线性代数可以帮助我们理解和分析经济系统中的关系和相互作用。
例如，在输入产出模型中，线性代数提供了一种有效的工具来描述不同产业之间的关联关系，并计算它们之间的影响和效应。
其次，线性代数还可以帮助我们解决多元方程组和矩阵运算等问题。
在经济学中，我们常常需要求解多个变量之间的关系和平衡条件，线性代数提供了一种有效的方法来求解这类问题。
最后，线性代数还可以帮助我们进行数据分析和模型估计。
通过对数据进行矩阵运算和线性回归等分析，我们可以得到经济模型的参数估计和统计推断，从而更好地理解经济现象和做出决策。
概率论在经济学中的应用概率论是研究随机现象和概率分布的数学分支，它在经济学中也有着广泛的应用。
首先，概率论可以帮助我们建立和分析风险模型。
在经济学中，我们常常需要考虑不确定性和风险因素对决策和预测的影响，概率论提供了一种有效的工具来描述和计算这些不确定性和风险。
高等数学在经济领域中的应用初探
高等数学在经济领域中的应用初探高等数学是数学学科的一种，它通常包括微积分、线性代数、微分方程等，是计算数学学科的基础。
在经济领域中，高等数学的应用非常广泛，如经济理论分析、金融衍生产品的设计和风险管理等。
1. 微积分在经济领域中的应用微积分是高等数学中最重要的一个分支，它包括了一系列基础的概念和方法，如导数、积分等。
在经济领域中，微积分的应用非常普遍，例如：1.1 优化问题的求解微积分是求解优化问题的关键工具之一。
在经济学中，很多问题都是优化问题，例如生产计划、资源分配、收益最大化等。
通过微积分的方法，可以求出函数的极值，从而得出最优解。
这种方法在生产和经济计划中非常有用。
1.2 边际分析微积分中的导数是边际分析的基础。
边际分析是经济学中非常重要的工具，用于分析一个单位的商品或服务对总效益的贡献。
例如，企业决策者需要了解产量增加一单位所带来的边际成本和边际收益。
这些问题可以通过微积分的导数概念进行分析。
1.3 基础的微积分模型微积分也是经济学中最基础的数学模型之一。
例如，供求分析、成本分析、收益分析等都是微积分模型的基础。
2. 线性代数在经济领域中的应用线性代数是高等数学中非常重要的一个分支，它主要关注线性方程、向量和矩阵。
线性代数在经济领域中的应用非常广泛，例如：2.1 风险管理风险管理是金融领域中的重要问题。
通过线性代数中的技术可以对一系列资产进行分析和管理。
例如，通过协方差矩阵和特征向量，可以对资产组合的风险进行度量。
这些技术对于投资组合的优化非常有用。
2.2 实证经济研究线性代数方法在经济学实证研究中也非常有用。
例如，多元回归分析就是线性代数模型的应用。
通过建立多元回归模型，可以利用线性代数的技巧来分析各种重要经济变量之间的关系。
2.3 机器学习机器学习是一种基于大规模数据的自动化技术，它可以应用于市场预测、金融分析、风险管理等领域。
线性代数的技术可以用于机器学习中的矩阵分解、聚类分析等。
高等数学在经济领域中的应用探究
高等数学在经济领域中的应用探究
一、微积分的应用
微积分是高等数学中的重要分支，它包括导数、积分等概念和方法。
在经济学中，微积分被广泛应用于边际分析、优化理论、供求关系等方面。
边际成本和边际效益是经济学中重要的概念，通过微积分可以求出边际效益函数和边际成本函数的导数，帮助经济学家做出最优决策。
二、线性代数的应用
线性代数是高等数学中的另一个重要分支，它研究向量、矩阵和线性方程组等概念和方法。
在经济学中，线性代数被广泛应用于经济模型的建立和分析。
使用线性方程组可以描述经济系统中的供求关系、生产函数等，通过求解线性方程组可以得出均衡价格和数量等经济指标。
三、概率论和数理统计的应用
概率论和数理统计是高等数学中的重要分支，它们研究随机事件和随机变量的概率分布和性质。
在经济学中，概率论和数理统计被广泛应用于风险分析、市场预测等方面。
通过概率论和数理统计可以对投资风险进行量化评估，帮助投资者做出合理的投资决策。
高等数学在经济领域中具有重要的应用价值。
微积分、线性代数、概率论与数理统计以及微分方程等数学工具为经济学家提供了分析和解决经济问题的工具，帮助他们理解经济现象、预测市场走向，并做出相应的决策。
掌握高等数学知识对于从事经济研究和经济管理的人员来说是非常重要的。
高等数学在经济学中的应用
高等数学在经济学中的应用高等数学作为一门重要的数学分支，涵盖了微积分、线性代数、最优化理论等多个方面。
在现代经济学中，高等数学不仅是理论研究的重要工具，也是解决经济问题、进行经济分析的重要基础。
本文将探讨高等数学在经济学中的主要应用，包括微观经济学中的需求与供给分析、宏观经济学中的模型构建、最优化理论在社会资源配置中的应用，以及统计学方法在经济决策中的重要性。
需求与供给分析在微观经济学中，需求与供给是决定市场价格和交易数量的基本因素。
高等数学特别是微积分的应用在需求与供给分析中尤为重要。
需求函数与供给函数需求函数反映了消费者在不同价格水平下对某种商品的购买数量，通常用符号 Q_d 表示；而供给函数则反映了生产者在不同价格水平下能够提供的商品数量，用符号 Q_s 表示。
假设需求函数为 (Q_d = f(P))，其中 (P) 是商品价格，(f(P)) 为一个关于价格的递减函数。
供给函数则可能表示为 (Q_s = g(P))，其中 (g(P)) 是一个关于价格的递增函数。
通过求导，分析这两个函数的变化率，可以直观地理解消费者和生产者对价格变化的反应。
均衡分析市场均衡发生在需求量等于供给量的点，也就是 (Q_d = Q_s)。
通过联立需求函数与供给函数，可以求得均衡价格及均衡数量。
这种处理方式运用到了代数和图形的结合，帮助我们明了市场机制。
若设需求函数为 (Q_d = 100 - 2P)，供给函数为 (Q_s = 3P - 20)，则有：[ 100 - 2P = 3P - 20 ]解这个方程可以得到均衡价格 (P) 和均衡数量 (Q)。
通过这种方式，我们可以深入洞察市场运作机制，为政策制定提供依据。
宏观经济模型构建在宏观经济学中，高等数学用于构建各种经济模型，以预测宏观经济行为。
例如，IS-LM模型、新古典模型等，都需要运用微积分和线性代数工具进行处理。
IS-LM模型分析IS-LM模型描述了产品市场和货币市场的均衡条件。
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《高等数学》知识在经济学中的应用举例由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。
数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。
应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。
这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。
一、复利与贴现问题1、复利公式货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。
利息以“期”，即单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。
在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。
如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。
在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。
通俗说法就是“利滚利”。
下面推出按福利计息方法的复利公式。
现有本金A 0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末A 0将增值到A t ，试计算A t 。
若以年为一期计算利息：一年末的本利和为A 1=A 0（1+r ）二年末的本利和为A 2=A 0（1+r ）+A 0（1+r ）r= A 0（1+r ）2类推，t 年末的本利和为A t = A 0（1+r ）t （1）若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是r m，容易推得 0(1)mt t r A A m=+ （2） 公式（1）和（2）是按离散情况——计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t 的复利公式。
若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m →∞，这时，由于000lim (1)lim[(1)]mmt rt rt r m m r r A A A e m m→∞→∞+=+= 所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是0rt t A A e =例1 A 0＝100元，r=8%，t ＝1，则一年计息1期 1100(10.08)108()A =⨯+=元一年计息2期 210.08100(1)108.16()2A =⨯+=元 一年计息4期 410.08100(1)108.243()4A =⨯+=元 一年计息12期 1210.08100(1)108.300()12A =⨯+=元 一年计息100期 10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元 连续复利计息 0.081100108.329()A e==元 2、实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。
当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。
这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。
如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。
记r 为名义年利率，r m 为一年计息m 期的实利率，本金A 0，按名义利率一年计息m 期，一年末将增值到A 0（1+r m）m ，按实利率计息，一年末将增值到A 0（1+r m ）。
于是，有 1+r m ＝（1+r m ）m ，即(1)1m m r r m =+-是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。
若记r m 为连续复利的实利率，由于lim(1)m r m r e m→∞+= 所以，实利率与虚利率之间的关系为1r m r e =-。
3、数e 的经济解释设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为)()11(lim 元e mm m =+∞→ 这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e 元。
这可作为数e 的经济解释。
由于71828.2≈e ，所以，这是的实利率大约为172％。
4、贴现问题我们已经知道，初时本金A 0，年利率r ，t 年末的本利和A t ，以年为期的复利公式是t t r A A )1(0+=，一年均分为m 期的复利公式是 mt t mr A A )1(0+=，连续复利公式是rt t e A A 0=。
若称A 0为现在之，A t 为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知未来值A t 求现在值A 0，则称贴现问题，这时利率r 称为贴现率。
由复利公式，容易推得：离散的贴现公式为 t t r A A -+=)1(0mt t mr A A -+=)1(0 连续的贴现公式为 rt t e A A -=0例2 设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。
这里，贴现率r=6.5％，未来值A t =1200，t=16。
所以，现在值（元）15.4248292.212001*********.116065.00===⋅==⨯--e e e A A rt t 增长率设变量y 是时间t 的函数y = f (t)，则比值)()()(t f t f t t f -∆+ 为函数f (t)在时间区间],[t t t ∆+上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限)()()()()(lim 0t f t f t f t t f t t f t '=⋅∆-∆+→∆ 为函数f (t)在时间点t 的瞬时增长率。
对指数函数rte A y 0=而言，由于r e A re A y dt dy rt rt==00，因此，该函数在任何时间点t 上都以常数比率r 增长。
这样，关系式rt t e A A 0= （*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。
如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t 的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。
因此，指数函数rte A 0中的“r ”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t 的增长率。
如果当函数rt e A 0中的r 取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r 为衰减率。
贴现问题就是负增长。
例3 某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。
由于未来值A 0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力 （万）56.543671828.2200020005002.050=⨯==⨯e A例4 某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。
若原价值为A 0，经t 年后，价值为021A ，这里r=-0.05。
由t e A A 05.00021-=，若取6931.02ln =，易算出t=13.86（年），即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。
二、级数应用举例1、银行通过存款和放款“创造”货币问题商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才能用作放款。
得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定准备金，其余部分作为放款。
如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货币。
设R 表示最初存款，D 表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额），r 表示法定准备金占存款的比例，r<1。
当n 趋于无穷大时，则有rR r R r R r R r R R D n =--=+-++-+-+=)1(11)1()1()1(2ΛΛ 若记 rK m 1= 它称为货币创造乘数。
显然，若最初存款是既定的，法定准备率r 越低，银行存款和放款的总额越大。
这是一个等比级数问题。
例如 设最初存款为1000万元，法定准备率20%，求银行存款总额和贷款总额。
这里，R=1000，r=0.2，存款总额D 1由级数1000+1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…决定，其和 )(50002.01000)2.01(110001万元==--=D 贷款总额D 2由级数1000(1-0.2)+1000(1-0.2)2+…决定，显然D 2=4000（万元）投资费用这里，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列服务或购进设备所需费用的现在值。
将各次费用化为现值，用以比较间隔时间不同的服务项目或具有不同使用寿命的设备。
设初期投资为p ，年利率为r ，t 年重复一次投资。
这样，第一次更新费用的现值为rt pe-,第二次更新费用的现值为rt pe 2-，以此类推。
如此，投资费用D 为下列等比级数之和：ΛΛ+++++=---nrt rt rt pe pe pe p D 2 于是 11-=-=-rt rtrt e pe e p D 例如，建造一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，若年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济？钢桥费用包括两部分：建桥的系列费用和油漆的系列费用。
对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因440)1.0(==⋅t r ，则建桥费用1114444241-=-=+++=-⋅--e pe e p pe pep D Λ 查表知598.544=e ，于是 8.3870901598.54598.543800001=-⋅=D 同样，油漆钢桥费用。