高三上第一次月考数学(文)试题及答案

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2024-2025学年陕西省西安中学高三上学期10月月考数学试题及答案

陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A. c b a>> B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A. 1- B. 1C. 3- D. 36. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A. {}eB. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7. 已知函数3()1f x x x =-+，则（）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A. 28- B. 28C. 14- D. 14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（）A.1()x '= B. (e )e x x --'= C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知0c b a <<<，则（）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．的的13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227lnz y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；的（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的的的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->--=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A. c b a >>B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A. {}e B. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7 已知函数3()1f x x x =-+，则（）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得x >或x <()0f x '<得x <<的.所以()f x在(,-∞，)+∞上单调递增，(上单调递减，所以x =是极值点，故A 不正确；对应B，因(10f =+>，10f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x在⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥时，()0f x f ≥>，即函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A. 28- B. 28C. 14- D. 14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（）A. 211()x x '=-B. (e )e x x --'=C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=【答案】ACD【解析】的的【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x+''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11. 已知0c b a <<<，则（）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c abc b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<⇒>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21yx =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】的【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以x <1或x >2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52ii z==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83ex y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i i i ii x zx zbxx ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83az bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83zy x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或t ≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<a <1，则x +1≥(2x−1)22x−1>0，∴4x 2−5x ≤0x >12⇒12<x ≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U<--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得t =，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒t =；②F (x )在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，F (x )在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有t >0Δ>0−1<−12t <2F(−1)>0F(2)>0或t <0Δ>0−1<−12t <2F(−1)<0F(2)<0，解得1t <<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或t ≥18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16 （2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，15(2)38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x ()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>， ()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<， ()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x-'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

河南省郑州市宇华实验学校2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题(含答案)

郑州市宇华实验学校2024—2025学年高三上学期第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知实数x ,y ,z 满足e ln e y x x y =且1e lne z x z x =,若01y <<,则（）A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>D ．y x z >>3．已知函数2||,(),x m x m f x x x m +≤⎧=⎨>⎩，若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2) B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(2,0)-D ．(2,0)(2,)-+∞ 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线BD 与1CB 的距离为（）A ．1BC ．12D5．在ABC △中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC △的面积为S ,若22cos bc A b c +=+,则sin cos cos A B C=+（）A B ．12C D6．已知z 为复数，且||1z =,则|3i |z -的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]3,4C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦7．若样本空间Ω中的事件123,,A A A 满足()()()()()223113231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，则()13P A A =（）A ．114 B ．17 C ．27 D ．5288．已知a ,b 均为正实数，若直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，则2a b ab ab ++的最小值是（）A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．下列函数()f x 的最小值为2的是（）A ．2()21f x x x =--+B ．()23()log 210f x x x =++C ．()22x x f x -=+D ．1()32x f x -=+10．如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足13PD PB +=+,则下列结论正确的是（）A ．1B D PB ⊥B ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值C ．点P 的轨迹的周长为D ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为11．对于函数3()()ln ,()f x f x x x g x x ==，则下列说法正确的是（）A ．()g x 在x =12eB ．(2)g g >C ．()g x 只有一个零点D ．若方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种_________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．()lg 30.48≈13．已知函数2()2sin cos 0)222xxxf x ωωωω=-+>的最小正周期为T ,若223T ππ<<，且3π是()f x 的一个极值点，则ω=_________．14．过点P 作斜率为k 的直线l 交圆22:8E x y +=于,A B 两点，动点Q 满足||||||||PA QA PB QB =，若对每一个确定的实数k ,记||PQ 的最大值为max d ,则当k 变化时，max d 的最小值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）各项都为整数的数列{}n a 满足272,4a a =-=,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ,使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．16．（15分）如图，正方体111ABCD A B C D -．（1）求证：1A B ⊥面1A BC ;（2）若E 为线段1AC 的中点，求平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小．17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X 近似地服从正态分布(,100)N μ,其中μ近似为样本平均数x ,求(6494)P X <≤；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①()0.6827P X μδμδ-<≤+=；②(22)0.9545P X μδμδ-<≤+=；③(33)0.9973P X μδμδ-<≤+=．18．（17分）已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为2-，直线AB 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．19．（17分）已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-,求实数a 的取值范围．数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cos 1,0sin 1βα<<<<,所以cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+,所以由1cos()4αβ-<不能推出1cos sin 4αβ+<，充分性不成立；反之，11cos sin cos()44αβαβ+<⇒-<成立，即必要性成立；,0,2παβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的必要不充分条件．故选：B ．2．【答案】A【解析】由e ln e y xx y =得ln e ex y x y =，由1e ln e z x z x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<,所以0e e z y z y =-<，又e 0z >,所以0z <,利用01y <<得ln 0e ex y x y =>，又e 0x >,所以ln 0x >,即1x >,所以10x y z >>>>,即x y z >>．故选A ．3．【答案】B【解析】分情况讨论，当0m >时，要使()f x b =有三个不同的根，则2|2|020m m m m ⎧>⇒<<⎨>⎩;当0m <时，要使()f x b =有三个不同的根，同理可知，需要2|2|20m m m m ⎧>⇒<-⎨<⎩．当0m =时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m 的取值范围是(,2)(0,2)-∞- ．故选B ．4．【答案】D【解析】设M 为直线BD 上任意一点，过M 作1MN CB ⊥,垂足为N ,可知此时M 到直线1CB 距离最短，设111,DM DB DA DC CN CB DA DA DD λλλμμμμ==+===+ ，1(1)()MN DN DM DC CN DM DC DA DD λμλμ=-=+-=-+-+ ，11CB DA DD =+ ,因为1MN CB ⊥,所以10MN CB ⋅= ,即()11(1)()0DC DA DD DA DD λμλμ⎡⎤-+-+⋅+=⎣⎦ ，所以0μλμ-+=，即=2λμ=，所以1(12)MN DC DA DD μμμ=--+ ,所以||MN === ，所以当13μ=时，||MN，所以直线BD 与1CB．故选：D ．5．【答案】D【解析】由22cos bc A b c +=+22sin cos A bc A b c +=+,22cos 2sin 6b c b c A A A bc c b π+⎛⎫+=⇒+=+ ⎪⎝⎭，由于2,2sin 26b c A c b π⎛⎫+≥+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c c b =，以及62A ππ+=时，等号成立，结合2sin 6b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 26b c A c b π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，且b c c b =，以及3A π=，故3B C π==，因此sin cos cos A B C ==+故选D ．6．【答案】C【解析】因为复数z 满足||1z =,不妨设cos isin ,R z θθθ=+∈,则|3i ||cos i(sin 3)|z θθ-=+-==．因为sin [1,1]θ∈-，所以[2,4]，所以|3i |z -的取值范围是[2,4]．故选：C ．7．【答案】A【解折】因为()()()()()113223231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，所以()()()()()2323323P A P A P A A P A P A A =+∣∣()()()()()3233231P A P A A P A PA A =+-∣∣,解得()357P A =，()()31311P A A P A A =-∣∣()()()()()133131111P A A P A P A A P A P A =-=-∣()()()13311P A A P A A P A =∣()()()1133115144714P A P A A P A =-=-⨯=∣．故选：A ．8．【答案】C 【解析】由于直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，设切点为(,)m n ,而12y x b '=+，故112ln(2)m b m b m a⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩,解得m a =,故21,,a b a b +=均为正实数，故22122(2)16610a b ab a b a b ab b a ba ++⎛⎫=+++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a =，结合21a b +=,即得13a b ==时等号成立，故2a b ab ab ++的最小值是10，故选：C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．【答案】BC【解析】对于A,由二次函数性质可知，()f x 无最小值，A 错误；对于B,令22210(1)99t x x x =++=++≥，因为3log y t =单调递增，所以3()log 92f x ≥=,当1x =-时等号成立，所以min ()2f x =，B 正确；对于C,因为20x >，所以1()222x x f x =+≥，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，所以min ()2f x =，C 正确；对于D,由指数函数性质可知，130x ->,所以1()322x f x -=+>,D 错误．故选：BC ．10．【答案】ABD【解析】对于A,连接11B D ,因为四边形1111A B C D 为正方形，则1111A C B D ⊥,因为1DD ⊥平面111111,A B C D A C ⊂平面1111A B C D ,则111A C DD ⊥,因为111111,B D DD D B D = 、1DD ⊂平面11B DD ,所以11A C ⊥平面11B DD ,1B D ⊂平面11B DD ,所以111B D A C ⊥,同理可得11B D A B ⊥,因为1111111,A C A B A A C A B =⊂ 、平面11A BC ,所以1B D ⊥平面11A BC ,因为PB ⊂平面11A BC ,所以1B D PB ⊥,故A 正确；对于C,由A 选项知1B D ⊥平面11A BC ,设1B D 平面11A BC E =,即1B E ⊥平面11,A BC DE ⊥平面11A BC ,因为1111111116,A B BC AC A B BB B C ======,所以三棱锥111B A BC -为正三棱锥，因为1B E ⊥平面11A BC ,则E 与正11A BC △的中心，则12sin 3A BBE π==，所以1B E ==,因为1B D ==所以DE =,因为13PD PB +=+,3=+,3+=+(3=+-,两边平方化简可得0)PE PE =>,因为E 点到等边三角形11A BC 的边的距离为163PE ==,所以点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E所以点P 的轨迹的周长为，故C 错误；对于B,由选项C 可知，点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E 的圆，EP =1B E =1B E ⊥平面11A BC ,所以1B PE ∠就是直线1B P 与平面11A BC 所成角，所以11tan B E B PE PE ∠===102B PE π<∠<，所以直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值，故B 正确；对于D,因为点E 到直线1BC点P 到直线1BC =，故1BPC △的面积的最大值为162⨯=,因为1B E ⊥平面11A BC ,则三棱锥11B BPC -体积的最大值为13⨯=，故D 正确．故选：ABD ．11．【答案】AC【解新】对于A ，函数32()ln ()ln ,()f x xf x x xg x x x===，则24312ln 12ln (),0x x xxx g x x x x⨯--'==>,令()0g x '=，即12ln 0x -=,解得x =当0x <<时，()0g x '>,故函数()g x在上为单调递增函数，当x >时，()0g x '<，故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，故()g x在x =处取得极大值12eg =,故选项A 正确；对于B,当x >()0g x '<,故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，所以(2)g g <，故选项B 错误；对于C,令函数()0g x =,则ln 0x =,解得1x =,所以函数()g x 只有一个零点，故选项C 正确；对于D,易知1x =不是方程的解；当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，等价于y k =和()ln xh x x=只有一个交点，则2ln 1(),0(ln )x h x x x -'=>且1x ≠，令()0h x '=,即ln 10x -=,解得e x =,当e x >时，()0h x '>,故函数()h x 在(e,)+∞上为单调递增函数，当01,1e x x <<<<时，()0h x '<,故函数()h x 在(0,1)，(1,e)上均单调递减，1x =是一条渐近线，当01x <<时，()0h x <,当1e x <<时，()0h x >,故()h x 在e x =处取得极小值(e)e h =,结合条件可知k e =或0k <,故选项D 错误；故选：AC．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】记事件A 为“种一粒种子，发芽”，则()0.7,(0.3P A P A ==设每穴种n 粒，则相当于做了n 次独立重复实验，记事件B 为“每穴至少有一粒发芽”，则00()C 0.7(10.7)0.3,()1()10.3n n n n P B P B P B =-==-=-若保证每穴不需补种的概率大于97%，则10.30.97n ->即0.30.03n <，两边取对数得，lg 0.3lg 0.03n <,即(lg 31)lg 32n -<-又lg 30.48≈，则lg 322.92lg 31n ->≈-，又n 为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．故答案为：3．13．【答案】72【解析】2()2sincossin 2sin 2223xxxf x x x x ωωωπωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T πω=，于是2223πππω<<，解得34ω<<，因为3π是()f x 的一个极值点，则,Z 332k k πππωπ+=+∈，解得13,2k k Z ω=+∈,所以1k =时，7(3,4)2ω=∈．故答案为：72．14．【答案】2【解析】由题设1348+=<，即P 在圆22:8E x y +=内，令||||P APA PB P Bλ'=='且1λ≠，显然P 是A ,B 内分比点，若P '为外分比点，则||||P APA PB P Bλ'==',此时PP '的中点C 为P ,Q 所在阿氏圆的圆心，对于每一个确定的实数,||k PQ 最大值为max d PP '=,即,Q P '重合时max d 为对应圆直径，根据圆的对称性，如上图，讨论1λ>的情况，而||2OP =,当AB为直径时，max ||3||PA PB λ===+,3=+可得4P B '=-故||PQ 的最大值为max ||2d PP P B PB ''==+=；当AB不为直径时134||AB λ<<+<<,且,||AB λ增减趋势相同，由||P A P B AB P B P Bλ''+==''，得||1AB P B λ'=-，显然||1AB P B λ'=-接近于1时P B '趋向无穷大，此时||PQ 的最大值为max d 趋向无穷大．综上，max d 的最小值是2．故答案为：2．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】（1）()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）{1,3}【解析】（1）设前6项的公差为d ,所以2151612,4,5a a d a a d a a d =+=-=+=+，所以()()12112445a d a d a d +=-⎧⎪⎨+⨯=+⎪⎩，化简可得(43)(1)0d d --=,所以1d =或34，又因为{}n a 各项均为整数，所以d 为整数，所以1d =,当*14,n n ≤≤∈N 时，2(2)4n a a n d n =+-=-,当*5,N n n ≥∈时，555621,2,121n n n a a a --⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，综上所述，()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）当1m =时，1231236,6a a a a a a ++=-=-,满足条件；当2m =时，2342343,0a a a a a a ++=-=,不满足条件；当3m =时，3453450,0a a a a a a ++==，满足条件；当4m =时，4564562,0a a a a a a ++==,不满足条件；当5m ≥时，52n n a -=，若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=,则有22111m m m m m m a a a a a a ++++++=,则5311222m m -+-++=，所以28722m -=，所以2727m -=，又因为273m -≥，所以2728m -≥，所以2727m -=无解，综上所述，m 的取值为{1,3}．16．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -,所以四边形11ABB A 是正方形，所以11AB BA ⊥,又BC ⊥平面111,ABB A AB ⊂平面11ABB A ,所以1BC AB ⊥,又111,,AB BA BA BC ⊥是平面1A BC 内的两条相交直线，所以1AB ⊥面1A BC（2）如图，以A 为原点，以1,,AB AA AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ,又E 为线段1AC 的中点，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),,,222a a a A B a C a a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(,0,0),,,,(0,,0),,,222222a a a a a a AB a AE BC a BE ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =,则0000222ax m AB a a ax y z m AE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩,令1y =,则0,1x z ==-,所以(0,1,1)m =- ，设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,11110000222ay n BC a a a x y z n BE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1111,0x z y ===，所以(1,0,1)n = ，设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小为θ．所以1cos ||||2m n m n θ⋅== ，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=17．（15分）【答案】（1）74；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为65【解析】（1）根据频率分布直方图得：(550.01650.02750.045850.02950.005)1074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）由题意知~(74,100)X N ,即74,10μσ==,所以0.68270.9545(6494)(2)0.81862P X P X μδμδ+<≤=-<≤+==．（3）由题意可知[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60),[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3，321664331010C C C 11(0),(1)C 6C 2P P ξξ======，123644331010C C C 31(2),(3)C 10C 30P P ξξ======，故ξ的分布列为：ξ0123P1612310130所以11316()01236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（17分）【答案】（1）221(2)43x y x +=≠-；（2）直线l 过定点．【解析】（1）设动圆P 的半径为r ,因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+,因为动圆P 于圆N 外切，所以||3PN r =-,则||||(1)(3)4||2PM PN r r MN +=++-=>=,由椭圆的定义可知，曲线C 是以(1,0),(1,0)M N -为左、右焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则2,1a c ==,故2223b a c =-=,所以曲线C 的方程为221(2)43x y x +=≠-．（2）①当直线l斜率存在时，设直线:,l y kx m m =+≠联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()()222438430k x kmx m +++-=，则()()222(8)164330km k m ∆=-+->,化简得22430k m -+>．设()()1122,,,A x y B x y ，则()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩．由题意可知，因为2QA QB k k +=-．2==-，所以)1221121220x y x y x x x x +-++=,所以()())1221121220x kx m x kx m x x x x +++++=,即()1212(22)(0k x x m x x ++-+=,()222438(22)(04343m km k m k k -⎛⎫+⋅+⋅-= ⎪++⎝⎭，即()2(1)3(0k m km m +--=,即(1)]0m m k -++=．因为m ≠，所以1)0m k +=,即m =所以直线l的方程为(y kx k x =-=-,所以直线l过定点．②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且(2,2)t ∈-，则点,,A t B t ⎛⎛ ⎝⎝．所以k 2QA QBk k +=+==-,解得t =,所以直线l的方程为x =也过定点．综上所述，直线l过定点．19．（17分）【答案】（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-．【解析】（1）因为函数()ln f x x x =,所以1()ln ln 1,(1)ln111f x x x x f x''=+⋅=+=+=．又因为(1)0f =,则切点坐标为(1,0)，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-．（2）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞,由（1）可知，()ln 1f x x '=+．令()0f x '=解得1x e=．()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x -0+()f x '↘极小值↗所以，()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）当1x e e ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x≥+”．令22111111()ln ,,,(),,x g x x x e g x x e x e x x x e -⎡⎤⎡⎤'=+∈=-=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．令()0g x '=解得1x =,当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．当(1,)x e ∈时，()0g x '>,所以()g x 在区间(1,)e 单调递增．而111ln 1 1.5,()ln 1 1.5g e e e g e e e e e⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭．所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax ≤-．。

河北省大名县第一中学2022届高三(实验班)上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

高三文科数学月考试题学校：姓名：班级：考号：评卷人得分一、选择题1. [2021·吉大附中高三四模(文)]已知集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A. (0,1]B. [1,+∞)C.(0,2] D.2. [2021·哈三中一模(文)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,周期为2,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. [2021·哈三中一模]下列结论中正确的个数是()①“x=”是“”的充分不必要条件;②若a>b,则am2>bm2;③命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∀x∈R,sin x>1”;④函数f(x )=-cos x在[0,+∞)内有且仅有两个零点.A. 1B. 2C. 3D. 44. [2021·吉林长春普高高三二模]下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是() A. y=e x+e-x B. y=ln(|x|+1) C.y= D. y=x-5. [2021·吉大附中高三四模(文)]设函数f(x)=ln(1+x2)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B. C.D.6. [2021·吉林市普高高三第三次调研]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)=则此函数的“友好点对”有()A. 3对B. 2对C. 1对 D. 0对7. [2021·河北唐山高三摸底月考]设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. [2021·吉林长春高三二模(文)]关于函数y=2sin+1,下列叙述有误．．的是()A. 其图象关于直线x=-对称B. 其图象可由y=2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍得到C. 其图象关于点对称D. 其值域为[-1,3]9. [2022·甘肃省高考诊断(二)(文)]已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且=0,则△ABC 的面积为()A. 1+B.C.1+ D.10. [2022·哈尔滨市第六中学高三一模(文)]已知向量a=(cosθ,-sinθ),b=(-cos2θ,sin2θ)(θ∈(π,2π)),若向量a,b的夹角为φ,则有()A. φ=θB. φ=π-θC.φ=θ-π D. φ=θ-2π11. [2021·河北武邑中学高二入学考试]已知数列,都是公差为1的等差数列，是正整数，若，则( )A. 81B. 99C. 108D. 11712. [2021·河南南阳一中高三第三次月考]已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C.D.评卷人得分二、填空题13. [2021·河北五个一名校联盟高三一模(文)]设△的内角,,所对的边长分别为,若,则的值为.14. [2021·河南南阳方城一中高二开学考试]设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sin A=5sin B，则角C= . 15. [2021·河南许昌五校高二第一次联考]已知在中，，，，，，则的值为.16. [2010·高考辽宁卷，16]已知数列{a n}满足a1=33，a n+1-a n=2n，则的最小值为.评卷人得分三、解答题17. [2021·吉林市普高高三第三次调研]已知函数f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若x∈,求函数g(x)的值域;(2)已知a,b,c分别为△ABC中角A,B,C的对边,且满足f(A)=+1,A∈,a=2,b=2,求△ABC的面积.18. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知数列{a n}满足a1=,a n+1=3a n-1(n∈N*).(1)若数列{b n}满足b n=a n-,求证:{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前n项和S n.19. [2021·河南八市重点高中高二第一次月考(文)]正项数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和为.20. [2021·吉林长春高三二模(文)]已知三棱锥A-BCD中,△ABC是等腰直角三角形,且AC⊥BC,BC=2,AD⊥平面BCD,AD=1.(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;(2)若E为AB中点,求点A到平面CED的距离.21. [2021·湖南长沙长郡中学高三入学考试]已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.22. [2021·广东省仲元中学、中山一中等七校高三联考(一)]在中,角所对的边分别为,且.(1)求的大小;(2)设的平分线交于,求的值.参考答案1. 【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算、解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.由于x2+x-2≤0,所以-2≤x≤1,依据指数函数的性质知y=2x>0,所以集合A =,B =,则A∩B =,故选A.2. 【答案】D【解析】本题考查充分条件与必要条件,函数的奇偶性与周期性,属于中档题.函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.3. 【答案】A【解析】本题考查充分必要条件、不等式性质、命题的否定及命题真假的判定,属于中档题.对于①,当x=时,sin ,充分性成立;当sin 时,x ++2kπ或x ++2kπ,k∈Z,得x=-+2kπ或x=+2kπ,k∈Z,故必要性不成立,故①正确;对于②,当m=0时,若a>b,am2>bm2不成立,故②不正确;对于③,命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”,故③不正确;对于④,函数y =与y=cos x的图象有且只有一个交点,故函数f(x )=-cos x 在内有且仅有一个零点,故④不正确.综上,正确的只有一个,故选A.4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性学问,属于基础题.A,B选项中的函数为偶函数,排解,C选项中的函数是奇函数,但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在争辩函数中的应用,解一元二次不等式、确定值不等式,属于难题.∵f(-x )= ln =ln =f(x),∴函数f(x)为偶函数.当x≥0时,f(x)=ln (1+x2),求导得f'(x )=恒为正,即函数f(x)在单调递增,∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(x)>f(2x-1)等价于f(|x|)>f(|2x-1|),即|x|>|2x-1|,平方得3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.6. 【答案】C【解析】本题考查新概念和函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.设f(x )=(x>0)图象上任一点为A(x,y)(x>0,y>0),点A关于原点的对称点A'(-x,-y)在y=x+1上,所以-y=-x+1,即y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组的根的个数,而y=x-1(x>0)的图象与y的图象有且只有一个交点,∴“友好点对”共1对,故选C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若是偶函数,而不肯定是奇函数,故的图象不肯定关于原点对称;当的图象关于原点对称时,函数是奇函数,则是偶函数,因此“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的必要不充分条件.故选B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、图象变换,属于中档题.关于函数y =2sin+1,令x=-,求得y=-1,为函数的最小值,故A正确;由y =2sin+1图象上全部点的横坐标变为原来的倍,可得y =2sin+1的图象,故B正确;令x =π,求得y=1,可得函数的图象关于点对称,故C错误;函数的值域为[-1,3],故D正确.故选C.9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由=0得=-,两边平方可得·=0,则∠AOB =90°;由=0得=-,两边平方可得·=,则∠AOC=135°;同理可得∠BOC=135°,则△ABC的面积为S△AOB+S△BOC+S△AOC =,故选D.10. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知cosφ==- () =-cosθ=cos(θ-π).由于θ∈(π,2π),所以θ-π∈(0,π),而φ∈[0,π],所以φ=θ-π,故选C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，考查计算力量.,.故选D. 12. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用，函数与方程的关系.=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.13. 【答案】4【解析】本题考查正弦定理与余弦定理、两角和与差公式,考查计算力量.由正弦定理可得=,又由于==,所以=,即, 所以.14. 【答案】【解析】本题考查正弦定理及余弦定理.由正弦定理得, 5b=3a,又b+c=2a,则，由余弦定理得，，又，所以.15. 【答案】【解析】本题主要考查平面对量的线性运算及平面对量数量积.在中，，建立直角坐标系,,,,依题意有D,E(2,0)得，得，故填. 16. 【答案】【解析】由已知可得a n-a n-1=2(n-1),a n-1-a n-2=2(n-2),…,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,左右两边分别相加可得a n-a1=2(1+2+3+…+(n-1)]=n(n-1),∴a n=n2-n+33.=n+-1,令F(n)=n+-1,n≤5时为减函数,n≥6时为增函数且F(5)>F(6),∴F(n)≥F(6)=,故的最小值为.17.(1) 【答案】f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以f(2x)=1+2sin2x.由于函数f(2x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,所以g(x )=2sin+1,即g(x )=2sin+1.由于x ∈,所以2x ∈所以sin ∈,所以g(x)∈[0,3],所以函数g(x)的值域为[0,3].(2) 【答案】由于f(A )=+1,所以sin A =,由于A ∈,所以cos A=.又cos A =,a =2,b=2,所以c=4.所以△ABC面积S△ABC=bc sin A =2.18.(1) 【答案】由题可知a n+1=3(n∈N*),从而有b n+1=3b n,b1=a1-=1,所以{b n}是以1为首项,3为公比的等比数列.(2) 【答案】由第1问知b n=3n-1,从而a n=3n-1+,有S n=30++3++…＋3n-1+=30+31+32+…+3n-1+×n =.19.(1) 【答案】由，得，由于数列是正项数列，所以.(2) 【答案】由第1问得,，所以.20.(1) 【答案】由于AD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AD⊥BC,又由于AC⊥BC,AC∩AD=A, 所以BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.(2) 【答案】由已知可得CD =,取CD中点为F,连接EF,由于ED=EC=AB =,所以△ECD为等腰三角形,从而EF =,S△ECD =,由第1问知BC⊥平面ACD,所以E到平面ACD的距离为1,S△ACD =,令A到平面CED的距离为d,由V A-ECD=·S△ECD·d=V E-ACD=·S△ACD·1,解得d =.所以点A到平面CED 的距离为21.(1) 【答案】由题意得,,, 解得,所以椭圆的方程为.(2) 【答案】①当直线的斜率不存在时,由, 解得,设,则.②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,代入整理化简,得,依题意,直线与椭圆必相交于两点,设,则, 又,所以====.综上所述,为定值2.(说明:若假设直线为,按相应步骤给分)22.(1) 【答案】,,,,.(2) 【答案】在中,由正弦定理:,得,,.。

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学(文)试题(解析版)

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{P x N x =∈≤，a = ）A ．aP B ．{}a P ∈C ．{}a P ⊆D ．a P ∉【答案】D【解析】由a N =，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解. 【详解】因为a N =，集合{P x N x =∈≤，所以a P ∉，{}a P ⊆/. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2．设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >，求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）． A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先与0比较，c 小于0，再a 与b 比较，即可判断大小. 【详解】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，因此c a b << 故选：C. 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是（） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．以上答案都不对【答案】D 【解析】由M N N =，转化为N M ，分N =∅和 N ≠∅两种情况讨论求解.【详解】已知集合{}{}0M x x a a =-==，{}10N x ax =-=，因为MN N =，所以N M ，当N =∅时，0a =，符合题意；当N ≠∅时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则1a a=，解得1a =±，综上：实数a 的值是0或1或-1 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=-，则()6f -=（） A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数，再根据奇函数求解即可. 【详解】解：∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =， ∵()()2f x f x -=-，∴()()(4)(2)22(())()f x f x f x f x f x -=--=--=--=， ∴函数()f x 的周期为4， ∴()()()6200f f f -=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性，是基础题.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于( ) A ．22 B ．23C ．12D ．10【答案】B【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．7．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的自变量为水深h ，函数值为水的体积，得到水深h 越大，水的体积v 就越大，而且增的速度先慢后快再慢的，即可求解. 【详解】由图可知水深h 越大，水的体积v 就越大，故函数()v f h =是个增函数，故排除A ，C 项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力.8．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（） A．(-B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛- ⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=，若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -<B ．32a --C ．2a -D ．以上答案都不对【答案】B【解析】设2()5(1)g x x ax x =---，()(1)ah x x x =>，由25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，在R 上是增函数，则()g x 在1x ≤时单调递增，()h x 在()1,+∞上递增，且()(1)1g h ≤，从而可求. 【详解】函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，设2()5(1)g x x ax x =---，，()(1)ah x x x=>，，由分段函数的性质可知，函数2()5g x x ax =---在(],1-∞单调递增，函数()a h x x=在(1,)+∞单调递增，且()(1)1g h ≤，∴1206a a a a⎧-⎪⎪<⎨⎪--⎪⎩，∴203a a a -⎧⎪<⎨⎪-⎩解得32a -- 故选：B. 【点睛】考查分段函数在R 上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题. 10．定义在R 上的函数()y f x =，恒有()(2)f x f x =-成立，且()(1)0f x x '⋅->，对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件是（）． A ．211x x >≥ B ．122x x +>C ．122x x +≤D ．2112x x >≥【答案】B【解析】根据题中条件，先得到()f x 关于1x =对称；判定函数单调性，分别讨论11x ≥，11<x 两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】由()(2)f x f x =-，得函数()f x 关于1x =对称，由()(1)0f x x '⋅->得，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 为增函数，当1x <时，()0f x '<，此时函数()f x 为减函数，因为12x x <，若11x ≥时，函数()f x 在1x >上为增函数，满足对任意的12x x <，()()12f x f x <，此时122x x +>；若11<x ，∵函数()f x 关于1x =对称，则()()112f x f x =-，则121x ->，由()()12f x f x <得()()()1212f x f x f x =-<，此时122x x -<，即122x x +>；即对任意的12x x <，()()12f x f x <得122x x +>；反之也成立，所以对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件为“122x x +>”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键，属于常考题型.11的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） A．3B ．12C．2D ．13【答案】A【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-，20e +=，所以2e =，故选C ．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有22b ac =，整理后同除以2a20e +=，求出离心率．12．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（） A ．{1,6}- B ．{2,4} C ．{2,5,4,7} D ．{1,4,8,16}【答案】D【解析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =-对称．而选项D 中4811622++≠. 故选：D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 二、填空题13．函数y =________．【答案】[0,3]【解析】. 【详解】因为20x ≥，所以299x -≤，又要使根式有意义，则290x -≥，所以2099x ≤-≤，所以03≤≤，故函数y =[0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题考查了具体函数值域的求解，属于基础题.14．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则()y f x =的解析式为______.【答案】()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()()f x f x =--，且当0x >时，0x -＜，将x -代入()()f x f x =--可得答案. 【详解】解：由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()00f =，()()f x f x =--，当0x >时，0x -＜，故()(ln 3()3])[ln x f x f x x x x =--=--=++-，∴()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩.故答案为：()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，相对简单. 15．若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ .【答案】1- 或5-【解析】对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=，()39f π=-，则23m ±+=- ，1m =- 或5m =-.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度最小值是________.【解析】取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P .三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ；（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =，而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=，解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c+∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，将两组的分数分成5组：[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140)，[]140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两恰为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）5；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】（1）由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中，男女生的人数，进而可得样本中分数小于110分的学生中，男女生的人数，根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数，再由古典概型的概率公式即可得解；（2）由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中，男女生的人数，即可完成列联表，计算出2K后，与2.706比较即可得解.【详解】（1）由题意，抽取的100名学生中，男生10030060500⨯=人，女生10020040500⨯=人，所以分数小于110分的学生中，男生有600.005103⨯⨯=人，记为A，B，C，女生有400.005102⨯⨯=人，记为D ，E ，则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，有基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E ，共10种；其中恰为一男一女的基本事件为：(),A D ，(),A E ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，共6种；故所求概率63105P ==；（2）分数不小于130分的学生中，男生有()0.020.005160150+⨯⨯=人，女生有()400.03250.0051015⨯+⨯=人，所以可得22⨯列联表如下：所以22100(15254515)251.7862.7066040307014K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2165215M ⎝⎭．【解析】试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解2,1a b ==，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，代入椭圆的方程，解得M 点的坐标，同理可得直线PQ 的方程，代入求解所以2165215M M x y ==，即可求解点M 的坐标．试题解析：（1）由题意222221314{a bc a a b c +===+，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，,OM PQ OM ⊥= ① 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组22{14y kxx y =+=，得M M x y ==所以OM =②同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③ 将②③代入①式得= 化简得21110k-=，所以11k=所以M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点1515M ⎛ ⎝⎭【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-，故ln 21122a b +-=-，可得1ln 222b a -=-. （2）由（1）可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>，此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上， ()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点， 108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立，()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的交点分别为A B ，（A B ，异于原点），当斜率(k ∈时，求·OA OB 的取值范围. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）(2,.【解析】（1）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，利用平方关系可得1C 的普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解；（2）分别联立射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的极坐标方程，求出A B ，两点的极坐标，进而得出·OA OB 的取值范围．【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ，得22cos sin ρθρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）设射线(0)l y kx x ≥：＝的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且(k tan ϕ=∈.联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2A OA cos ρϕ== ，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==，所以(2sin ·222cos 2,A B OA OB cos tan k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=，即·OA OB 的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查三种方程间的互化，考查极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.23．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．（1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.。

贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案

江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期第一次月考数学文试卷含答案贵溪市实验中学高中部2019-2020学年第一学期第一次月考高三(文科）数学试卷考试时间：120分钟总分：150 命题人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}31|<<-=x x A ，(){}1lg |-==x y x B ，则()=⋂B C A R （）A 。

()3,1B 。

()3,1- C.()1,1- D.(]1,1-2．已知命题:p x R ∀∈,1sin x e x ≥+。

则命题p ⌝为( ） A ．x R ∀∈，1sin x e x <+ B ．x R ∀∈，1sin x e x ≤+ C ．0x R∃∈，001sin x e x ≤+D ．0x R∃∈，001sin x e x <+3．下列哪一组函数相等（） A 。

()()xx x g x x f 2==与B.()()()42x x g x x f ==与C.()()()2x x g x x f ==与D.()()362x x g x x f ==与 4. = 255tan （）A ．3-2- B ．32-+C ．3-2D ．32+5．设a ，b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的(） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．()的图像为函数R x x y x ∈-=22（） A.B.C 。

D 。

7．已知定义在R 上的函数f （x ),其导函数f ′(x ）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）①f （b )＞f （a ）＞f （c ）；②函数f （x )在x ＝c 处取得极小值在x ＝e 处取得极大值;③函数f （x ）在x ＝c 处取得极大值在x ＝e 处取得极小值;④函数f （x ）的最小值为f （d ）．A.③ B 。

【解析版】山东省日照一中高三上学期第一次月考数学(文)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}4,3,2{=A ，}5,2{=B ，则()U BC A = ( )A. {5}B. {1,2,5}C.}5,4,3,2,1{D.∅2.定义映射B A f →:，若集合A 中元素在对应法则f 作用下象为3log x ，则A 中元素9的象是( ) A ．－3 B ．－2 C ．3 D ． 23.已知命题p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（）A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>考点：全称命题的否定.4.函数x x f 21)(-=的定义域是（） A ．]0,(-∞ B ．),0[+∞ C ．)0,(-∞ D ．),(+∞-∞5.,,A B C 是三个集合，那么“B A =”是“A C BC =”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若2313log 3,log 2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<7.若)(x f 为奇函数且在+∞,0(）上递增，又0)2(=f ，则0)()(>--xx f x f 的解集是（）A ．)2,0()0,2(⋃-B ．)2,0()2,(⋃-∞C ．),2()0,2(+∞⋃-D ．),2()2,(+∞⋃--∞8.已知命题p ：关于x 的函数234y =x ax -+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)xy =a - 为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．23a ≤B. 120a << C ．1223a <≤ D. 112a <<9.下列函数中既是奇函数又在区间]1,1[-上单调递减的是（）A ．x y sin =B ．1+-=x yC ．2ln2x y x -=+ D ．)22(21x x y -+=10.函数2ln 2,(0)()21,(0)x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点的个数（）A ．4 B. 3C ．2D ．111.已知函数()()()()0340x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.1(0,]4 B.(1,2] C.(1，3) D.1(,1)212.若存在负实数使得方程 112-=-x a x成立，则实数a 的取值范围是（） A ．),2(+∞ B. ),0(+∞ C. )2,0( D. )1,0(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()y f x =的图象在(1,(1))M f 处的切线方程是221+=x y ,则(1)(1)f f '+= .14．函数()ln 2f x x x =-的极值点为 .15. 已知函数()y =f x 满足(+1)=(-1)f x f x ，且[1,1]x ∈-时，2()=f x x ,则函数()y =f x 与3log y =|x |的图象的交点的个数是 .16. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]00,44.3,31.3=-=-=，设函数[])()(R x x x x f ∈-=，关于函数)(x f 有如下四个命题：①)(x f 的值域为[)1,0； ②)(x f 是偶函数； ③)(x f 是周期函数，最小正周期为1 ； ④)(x f 是增函数. 其中正确命题的序号是： .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知集合}.02|{},,116|{2<--=∈>+=m x x x B R x x x A （I ）当m =3时，求()R AB ð；（Ⅱ）若}41|{<<-=x x B A ，求实数m 的值.18.（本小题满分12分）已知m R ∈，设命题P ： 353m -≤-≤；命题Q ：函数f （x ）＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点．求使命题“P 或Q ”为真命题的实数m 的取值范围．【答案】()[),12,-∞-⋃+∞. 【解析】试题分析：对P ：353m -≤-≤，即2≤m ≤8 .19.（本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=,函数)(x f 的值域为集合A . （I ）求)1(-f 的值；（II ）设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数141)(++=x a x f 是奇函数．（I ）求a 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的单调性并证明；（III ）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．法二、由（1）知,14121)(++-=x x f21．（本小题满分13分）已知函数32()3.f x x ax x =--（Ⅰ）若()(1,)f x +∞在上是增函数，求实数a 的取值范围.（Ⅱ）若1()3x f x =-是的一个极值点，求()[1,]f x a 在上的最大值.22.（本小题满分13分）已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9].过该函数图象上的动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP .（I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）记OAP ∆的面积为S ，求S 的最大值.【解析】。

新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学(文)试题及答案

乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年第一学期高三年级第一阶段考试文数问卷（命题人：高三数学组考试时间： 120 分钟卷面分值： 150 分）（命题范围：高考）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B的真子集个数为．( )A. 1B. 3C. 2D. 42.命题“∀x∈[1,2]，x 2−2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a≤2B. a≥2C. a≥4D. a≤43.函数y=sin x cos x+3cos2x−3的图像的一个对称中心是．( )B. C. −2π3D.4.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为元( )A. a(1+r)17B. ar [(1+r)17−(1+r)]C. a(1+r)18D. ar[(1+r)18−(1+r)]5.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ=( )A. 43B. 2 C. 158D. 536.设数列{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论不正确的是( )A. d<0B.S9>S5C. a7=0D. S6与S7均为S n的最大值7.已知θ∈(0,π2)，sin (π4−θ)=55，则sin (2θ+π3)的值为( )A. 43+310B. 43−310C. 33+410D.33−4108.若点O 和点F 分别为椭圆x24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⋅FP 的最大值为．( )A. 2B. 3C. 6D. 89.在公比q 为整数的等比数列{ a n }中，S n 是数列{ a n }的前n 项和，若a 1+a 4=18，a 2+a 3=12，则下列说法错误的是( )A. q =2B. 数列{ S n +2 }是等比数列C.数列{ lga n }是公差为2等差数列D. S 8=51010.已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A.63B. −433C. 433D. −23311.在△ABC 中，AC =3，AB =1，O 是△ABC 的外心，则BC ⋅AO 的值为( )A.4B. 6C. 8D. 312.已知函数f(x)=|sinx|+|cos x|−sin 2x−1，则下列说法正确的是( )A. x =π2是函数f(x)的对称轴B. 函数f(x)在区间(π2,5π6)上单调递增C. 函数f(x)的最大值为2，最小值为−2D. 函数f(x)在区间(0,Mπ)上恰有2022个零点，则1011<M ⩽20232二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x >0，y >0，且32x +6y =2，求4x +2y 的最小值____________14.若函数f(x)=2x +mx +1在区间[0,1]上的最大值为3，则实数m =___________.15.已知当a ∈[0,1]时，不等式x 2+(a−4)x +4−2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是．16.数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n−1，前16项和为540，则a 1= ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。

高三上学期第一次月考数学试卷(带答案)

高三上学期第一次月考数学试卷（带答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝11＋i 的虚部是A ．1B ．12C ．－12D ．－12．已知a 是单位向量，向量b 满足||a －b ＝3，则||b 的最大值为 A ．2 B ．4 C ．3 D ．13．已知角θ的终边在直线y ＝2x 上，则cos θsin θ＋cos θ的值为A ．－23B ．－13C ．23D ．134．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋3－3a ，x <0，x 2＋a ，x ≥0，对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，总满足以下不等关系：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则实数a 的取值范围为A ．a ≤34B ．a ≥34C ．a ≤1D ．a ≥15．如图，圆柱的母线长为4，AB ，CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB ⊥CD ，三棱锥ABCD 的体积为83，则圆柱的表面积为A ．10πB ．92πC ．4πD ．8π6．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋3|BF |的最小值为 A ．6＋52B ．26＋5C ．46＋10D ．117．设函数f (x )＝cos(x ＋φ)，其中|φ|<π2.若x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x .则y ＝f (x )的图象与直线y ＝14x －1的交点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )满足：g (0)≠0，f (x )g (y )－f (y )·g (x )＝f (x －y )，且g (x )g (y )－f (x )f (y )＝g (x －y )，则下列说法正确的是 A ．f (0)＝1B ．f (x )是偶函数C ．若f (1)＋g (1)＝12，则f (2024)－g (2024)＝－22024D ．若g (1)－f (1)＝1，则f (2024)＋g (2024)＝2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是A ．一个样本的方差s 2＝120[(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 20－3)2]，则这组样本数据的总和等于60B ．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为16C ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D ．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，则A ．f (x )的值域为RB ．f (x )图象的对称中心为(0，2)C ．当b －3a >0时，f (x )在区间(－1，1)内单调递减D ．当ab >0时，f (x )有两个极值点11．我国古代太极图是一种优美的对称图．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是A ．函数f (x )＝sin x ＋1是圆O ：x 2＋(y －1)2＝1的一个太极函数B ．对于圆O ：x 2＋y 2＝1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C ．对于圆O ：x 2＋y 2＝1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D ．若函数f (x )＝kx 3－kx (k ∈R )是圆O ：x 2＋y 2＝1的太极函数，则k ∈(－2，2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线y ＝2x －ln x 在点(1，2)处的切线与抛物线y ＝ax 2－ax ＋2相切，则a ＝．13．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为椭圆C 上一点，PF 1⊥F 1F 2，△PF 1F 2的内切圆的半径为c3，则椭圆C 的离心率为．14．设函数f (x )＝ax ＋xx －4(x >4)，若a 是从1，2，3，4四个数中任取一个，b 是从4，8，12，16，20，24六个数中任取一个，则f (x )>b 恒成立的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(b ＋c )(sin B －sin C )＝(a －c )sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为334，且AD →＝2DC →，求BD 的最小值．16．(本小题满分15分)已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(3，2)在双曲线E 上，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．(1)求E 的方程；(2)过F 2作两条相互垂直的直线l 1和l 2，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．17．(本小题满分15分)如图，侧面BCC 1B 1水平放置的正三棱台ABCA 1B 1C 1，AB ＝2A 1B 1＝4，侧棱长为2，P 为棱A 1B 1上的动点．(1)求证：AA 1⊥平面BCC 1B 1；(2)是否存在点P ，使得平面APC 与平面A 1B 1C 1的夹角的余弦值为53333若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分17分)若无穷正项数列{a n }同时满足下列两个性质：①存在M >0，使得a n <M ，n ∈N *；②{a n }为单调数列，则称数列{a n }具有性质P .(1)若a n ＝2n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫13n(ⅰ)判断数列{a n }，{b n }是否具有性质P ，并说明理由；(ⅱ)记S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，判断数列{S n }是否具有性质P ，并说明理由；(2)已知离散型随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，0<p <12，记X 为奇数的概率为c n .证明：数列{c n }具有性质P .19．(本小题满分17分)已知函数f (x )＝4e x －2x －2x ，g (x )＝－x 2＋3ax －a 2－3a (a ∈R 且a <2)．(1)令φ(x )＝f (x )－g (x )，h (x )是φ(x )的导函数，判断h (x )的单调性； (2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案CBDDABCCABDBDAD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

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21.解：(1) 动点P满足 , 点P的轨迹是以E F为直径的圆，
动点P的轨迹方程为 …………2分
设M(x,y)是曲线C上任一点，因为PM x轴，，
点P的坐标为（x，2y）
点P在圆上，，
曲线C的方程是 …………4分
(2)因为，所以四边形OANB为平行四边形，
当直线的斜率不存在时显然不符合题意；
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
16.已知函数定义在上，对任意的，
已知，则
三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 .在△ABC中，已知 .
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
19.（12分）第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类:第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）.某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示.
求四边形面积的最大值,并求此时的直线的方程.
桂林十八中12级高三第一次月考试卷
数学（文科）答案
（2）由余弦定理，有，因为， ,所以，又因为，所以，即 .
19.解：(1)因为在频率分布直方图上，中位数的两边面积相等，
平均数为
.
(2)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为 .
⑴求该小区居民用电量的平均数；
⑵利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率；
21（12分）.已知两定点动点满足 ,由点向轴作垂线段
垂足为点满足 ,点的轨迹为 .
(1)求曲线C的方程;
(2)过点作直线与曲线交于两点,点满足 ( 为原点),
当直线的斜率存在时，设：，与椭圆交于两点，
由得 …………6分
由，得
………………8分
…………10分
令，则（由上可知），
当且仅当即时取等号；
当平行四边形OANB面积的最大值为
此时直线的方程为 …………12分
桂林市第十八中学高三上学期第一次月考
文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
2.已知复数，且为实数，则
A. B. C. D.
4.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的
实数的个数为
A.1B.2C.3D.4
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何12
10.登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温
18
13
10
-1
山高
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程为 ,由此估计山高为处气温的度数为
A.-10B.-8C.-6D.-4