平面法向量的一种简单求法和在求角

平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用
云南李学元
一、法向量的定义：
与平面垂直的向量叫平面的法向量
（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积
a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ<a,b>
ｃｏｓ<a,b>=
若a=(x1,y1,z1)b=(x2,y2,z2),则a·b=
∣a︳=
三、向量积：a×b
a×b的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）
方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量a×b的方向（即：a×b垂直平面）
大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。

如图所示：
a×b
b
α a
（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）
a×b的坐标计算
设a=(x1, y1, z1)
b=(x2 , y2, z2)
则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc
习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下
作b×a时，把b写在上，把a写在下
练习：已知a=（2，1，0）
b =（-1，2，1）
（1）求a×b。

（2）求b×a
解：a×b=
b×a=
注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。

例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。

求平面AEF的一个法向量
解：以D为坐标原点建立坐标系
∴A（）D1C1
E（）A1 B1
F（）E
∴AF=（）
AE=（） D F C
A B
∴平面AEF的法向量n=( )
四、法向量在求角中的应用。

1、用法向量求线面角。

如图
n a a ΘΘ n
Θ=1
2
π-<a,n> Θ=<a,n>- 1
2
π
两种情况下都有：sinΘ=︱cos<a,n>︱因为
2、用法向量求二面角
n1
Θ
（1）
n2
Θ
n1 (2)
n2
如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。

因此可以用向量的数量积公式的变形直接求出二面角。

例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。

求平面AEF和平面ABCD所成的二面角。

解：以D为坐标原点建立坐标系
∴A（）D1C1
E（）A1 B1
F（）E
∴AF=（）
AE=（） D F C
A B
∴平面AEF的法向量n1=( )
∴A（）
B（）
AB=（）
∴平面ABCD的法向量n2=（）
cos< n1,n2>=
平面AEF和平面ABCD所成的二面角是
五、法向量在求距离中的应用。

1、利用法向量求点到面的距离。

如图所示：
A
Θ
B C
设点A到平面α的距离为d=AC=
因为AC垂直于平面α，所以AC可以看作平面α的一个法向
量n，但需注意AC与n的方向相同或相反，
所以〈AB，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以d= = （其中B是平面内的任意一点，n是已知平面的法向量）
2、利用法向量求两异面直线之间的距离
如图所示：
A C a
Θ
b B O
α D
a,b是两条异面直线，AB是两异面直线的公垂线，过直线a 上任意一点C做平面α的垂线于点O，连接BO，所以BO平行于直线a，且AB=CO，在直线b上任意取一点D，连接OD。

设〈CD，CO〉=Θ，因为CO垂直于平面α，所以CO可以看作平面的一个法向量n。

但需注意CO与n的方向相同或相反。

所以〈，n〉=Θ（或=π-Θ），故cosΘ= 所以两异面直线的距离d=AB=CO=
= = （其中C，D分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a的平行线BO与直线b所确定的平面的法向量）
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F 分别是DD1、DC的中点。

（1）点G是A1B1上的一点，且B1G =1
4A1B1。

求点G到平
面AEF的距离。

（2）求异面直线A1D与AC的距离
D1C1
A1G B1
E
D F C
A B。