第二十四章圆全章课件学案19

（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
第二十四章 圆-全章课件+学案19（PPT优秀课件）
③AE=BE, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
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若AE=BE,那么CD与AB有怎样的位置关系？ 你发现图中有哪些相等的弧，为什么？ C
D
B
D
B
O
C
A
C
C
B
D
A
O
O
C
B
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练习1 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相 等的线段或相等的圆弧.
D
A
B
E
A
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
C
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C
直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
·O
E
A
B
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条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
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1．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一 段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道 顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
解：如图所示，连接OA，过O作OE⊥AB，
垂足为E，交圆于F，
则AE=
1 2
AB = 30 cm．
令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
AE B
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。
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A
B
.O
.O
A
E C
D
B
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
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回顾本节课的学习历程， 你有哪些收获（知识、方法）？ 还有什么疑问？
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结束寄语
确到0.1m). 如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 AB 的中点，CD就是拱高. 由题设知
A B37,C D 7.23,
37
AD 1 AB1 37 18.5, 22
O DO CDC R7.23.
O E D B
O
AE
B
D
O
D D
O
AE
B
C
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练习 2
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径
所在直线都是它的对称轴．
●O
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如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为 E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
24.1.2 垂直于弦的直径
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赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝 大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史， 是今天世界上最古老的石拱桥。上面修成平坦的桥 面，以行车走人.赵州桥的特点是“敞肩式”，是 石拱桥结构中最先进的一种。其设计者是隋朝匠师 李春。它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又 似长虹饮涧。尤其是栏板以及望栓上的浮雕。充分 显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是 隋唐时代石雕艺术的精品。1991年被列为世界文化 遗产.
推论：平分弦（不是直径）的
直径垂直于弦，并且平分弦所
·O
对的两条弧．
E
A
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, D ④A⌒C=B⌒C,
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⑤A⌒D=⌒BD.
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C
O
A
A
E
B
D
A
O
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
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再逛赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱 桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对 是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距 离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精
R-10，
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，
即R2=302+(R-10)2．
解得R =50 cm．
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道。
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2. 通过本节课的学习，你能编一道 用垂径定理来解决的数学问题吗？
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在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
7.23 18பைடு நூலகம்5
A
D
B
R-7.23
O2AAD 2OD 2,
R
即 R 218.52(R7.23)2.
解得 R≈27.3（m）.
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.
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A
E
垂直于弦的直径平分弦，
B
D
并且平分弦对的两条弧。
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垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
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C
·O
题设
结论 A E
B
（1）直径
｝ ｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
• 做一件事情，不管有多难，会不会有结果这 些都不重要，即使失败了也无可厚非，关键 是你有没有勇气解脱束缚的手脚，有没有胆 量勇敢滴面对。很多时候，我们不缺乏方法， 缺的是一往无前的决心和魄力。不要在事情 开始的时候畏首畏尾，不要在事情进行的时 候瞻前顾后，唯有如此，一切皆有可能。
祝同学们学习进步，学有所成!
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问题 ：赵洲桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的 距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
A
B
•O
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活动1、把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？