东南大学Mathematica数学实验报告

Mathematica 数学实验报告

姓名：于润湉 学号：04213704 成绩：

实验七：空间曲线与曲面的绘制

实验目的：学习利用Mathematica 绘制三维图形来观测空间曲线和空间曲面图形的特点，并学习通过表达式判断不同的曲线类型。

题目：观察二次曲面族kxy y x ++=22z 的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。

解：令t r x cos =，t r y sin =，则二次曲面族的方程可变为t t kr r z sin cos 22+=。 输入以下命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+k*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,0,2Pi},PlotPoints →30]

并赋予k 不同的值： ① k=-4时： 输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-4)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,0,2Pi},PlotPoints →30]

运行后得到图像：

②k=-3时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-3)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

③k=-2时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-2)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

④k=-1时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+(-1)*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1}, {t,0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

⑤k=0时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+0*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

⑥k=1时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+1*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]

⑦k=2时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+2*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

⑧k=3时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+3*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t,

0,2Pi},PlotPoints→30]

⑨k=4时：

输入命令：

ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2+4*r*r*Sin[t]*Cos[t]},{r,0,1},{t, 0,2Pi},PlotPoints→30]

运行后得到图像：

0<

≤k时，对应

的二次曲面图形是椭圆抛物面；当2=k 时，对应的二次曲面图形是抛物柱面；当2>k 时，对应的二次曲面是双曲抛物面。

实验八：无穷级数和函数逼近

实验目的：学习用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势；学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算；展示Fourier 级数对周期函数的逼近情况。

题目：观察函数ππ<≤<≤--=x x x x f 0,10,)(；展成的Fourier 级数的部分和逼近)(x f 的情况。

解：根据Fourier 系数公式可得：

⎰-

+

==π

π

π

π

2

1)(1

0dx x f a ，

])cos (cos [1

⎰⎰--+=

π

π

π

dx nx x nxdx a n ，⎰⎰--+=

ππ

π

])sin (sin [1

dx nx x nxdx b n ，

故输入以下命令，从输出的图形中观察Fourier 级数的部分和逼近)(x f 的情况：

1．输入命令：

f[x_]:=Which[-2Pi ≤x<-Pi,1,-Pi ≤x<0,-x,0≤x

a[n_]:=(Integrate[-x*Cos[n*x],{x,-Pi,0}]+Integrate[Cos[n*x],{x,0,Pi}])/Pi; b[n_]:=(Integrate[-x*Sin[n*x],{x,-Pi,0}]+Integrate[Sin[n*x],{x,0,Pi}])/Pi; s[x_,n_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];

g1=Plot[f[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle→RGBColor[0,0,1],DisplayFunction→Identity]; m=8;

For[i=1,i<=m,i+=2,

g2=Plot[Evaluate[s[x,i]],{x,-Pi,Pi},DisplayFunction →Identity]; Show[g1,g2,DisplayFunction →$DisplayFunction]] 运行程序得到：