主理想的定义(精)
主理想整环与欧几里得整环讲解
d ak . 另一方面,
ak I d
, 所以
d ak d .
从而
d ak .
由此知, 真因子链(4.4.1)仅有 k项.
8
前页 后页 目录 返回
定理4.4.3 设 D为主理想整环, a是 D 的一个非 零非单位的元素. 则下列条件等价: (1)a是素元; (2)a是不可约元; (3) a 是极大理想; (4) a 是素理想. 证 (1) (2) 见定理 4.3.3。 (2)(3) 因为 a不是单位, 所以 a 为 D 的真理想.
a 极大.
(3)(4) 见第三章定理3.4.3. (4)(1) 设 a | bc , 则 bc a , 因 a 为素理想,故 必有 b a 或 c a , 即有a | b或 a | c . 所以 a为素元
10
前页 后页 目录 返回
定理4.4.1的证明: 由定理4.4.2, 主理想整环的每一个真因子链都 有限. 又由定理4.4.3, 主理想整环的每一个不可约元 都是素元. 从而由定理4.3.7知, 主理想整环是惟一分 解整环.
则因为 g ( x) 0 , 所以 {0} .
29
前页 后页 目录 返回
如果 0 , 则有 h( x) F [ x] , 使
0 f ( x) g ( x)h( x).
取 r ( x) 0, q( x) h( x) , 则有
f ( x) g ( x)q( x).
11
前页
后页
目录
返回
二、欧几里德整环的定义及性质
我们知道, 在惟一分解整环中, 任意两个元素 a, b 都有最大公因子. 为了应用标准分解式求得它们的最 大公因子, 我们必须首先将这两个元素因式分解. 但 即使在整数环中, 因式分解也不是一件轻而易举的事 情. 所以希望通过因式分解来了解它们的最大公因子 是不现实的. 但在主理想整环中, 我们却可以象在整 数环中那样, 把 a, b的最大公因子表示为它们的一个线
近世代数复习
近世代数复习(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。
b. 若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。
群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,------=⇒∈∀,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2 = x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n（有限），则a k。
8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。
交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。
元素的阶：G的一个元素a，能够使a m = e 的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。
若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。
有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。
一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b 和 ya = b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。
理想主义是什么意思
理想主义是什么意思理想主义是什么意思 1比如说: 一个美女坐在独木舟上，如恭不小心船沉了，你在岸边正好看到，你又不会游泳，这个时候。
如果你在岸边大喊叫人救命，你是现实主义如果你什么都不管，就往下跳，想着自己淹不死，还能顺利救她，你就是理想主义理想主义是什么意思 2什么是理想主义? 理想主义又称法理主义或规范主义,产生于第一次大战以后,是对格劳秀斯和康德等西欧的理想主义外事哲学的直接继承和发展。
在现代的英文中,理想主义与唯心主义是同一个词汇,都是ideali *** ，这个词属于哲学范畴。
其意思是，对人而言，思想精神是第一位的，是至高无上的，与现实主义的哲学概念相对应。
概括起来，理想主义有三个特征：一是，理想是不现实的；二是，理想是完美善良的，崇尚大公无私；三是，其理想是尽毕生精力与努力也难以实现的。
什么是理想主义者？无论从哪个角度来看，现代理想主义者都应该是一个上位概念，经常谈论仅凭发挥想像出来的事物，有着一种追求事物完美善良的设想与愿望；思维具有归纳性，而且敏感，重视自身感觉，自尊心强烈；与他人交往充满善意且易动情，相信直觉，追求浪漫，看重荣誉感。
理想主义者由于自身的特征，而必然成为社会的不稳定因素，激烈的理想主义者，如果不坚强，最容易蜕变成彻底的虚无主义者，也就是犬儒主义者。
他们可以参入改造社会的活动，但社会现实中存在着许多困难，却不愿意直面现实来理性辨析与脚踏实地的解决问题；他们可以进行创新，但新的事物总需要有人去实践才能起作用，却没有这种实践的毅力与恒心，幻想一挥而就；他们可以充满善意的与周围的人交往，并热心于道德，喜于裁判正误与对错，可是过多的干预他人的各项事务却会引起不满与生厌，而且过多复杂的人际关系使之精神负载过重后走向反面。
当然，理想主义者具有大公无私的特征，是为了社会的共同利益去设想与思考，只要能够妥善地引导其脚踏实地去直面现实，勇于实践，不怕困难地努力工作，还是会成为大有作为的人。
理想主义与现实
理想主义与现实——在北大国际关系学院文化节闭幕式上的演讲标签：潘维● 潘维（进入专栏）很高兴能为我们学院的―文化节‖做点贡献。
因为讲授社会科学，难得与本科生交流―文化‖。
社会科学讨论不以个人意志为转移的因果关系，也就是―规律‖；文化则属于道德情操之列。
如果不是―文化节‖，就很难有机会与大家交流为人做事的心得。
今天我想议论三件事。
第一，什么是理想主义？第二，为什么大学培养理想主义？第三，为什么有理想主义的社会是有亲和力的社会，比较令人羡慕？一．什么是理想主义？在英文里，理想主义与唯心主义是一个词，都是idealism。
这个词属于哲学范畴，意思是说，对人而言，思想精神是第一位的，是至高无上的。
我在这里讨论的理想主义，虽然与哲学意义上的唯心主义不完全是一回事，但有密切关联。
这里首先谈理想主义的定义，或者说关于理想的三个特征。
第一，理想不是现实。
理想主义的词根是idea，是观念。
ism是至上的意思，就成了―主义‖。
如果去掉表示―至上‖的后缀词尾–ism，就是idea，就是观念。
观念不是现实，理想不是现实，这是关于理想的第一个特征。
第二，理想意味着善良完美的观念，是大公无私的集体主义精神。
因为是perfect idea，所以是ideal。
如果不是完美善良的观念，而是一般的idea，就很难―至上‖，很难成为―主义‖。
所以，idealism是ideal 加上后缀-ism，不是普通的idea加-ism。
公元前5世纪的柏拉图是古希腊世界里最著名的唯心主义者，他的著作集中讨论―善‖，即―good‖。
从11世纪到18世纪，欧洲流行主观唯心主义。
主观唯心主义的核心内容是绝对精神，是absolute。
Absolute的含义与柏拉图的good几乎是一样的，即完美的善良，绝对的善，也就是孔子讲的―至善‖。
在那个时代，唯心主义者是这样证明上帝存在的：因为上帝完美无私，所以上帝存在。
如果上帝不存在，怎么会有完美无私这种观念呢？在那个时代，善良完美为―真‖，代表―真理‖，就是perfect。
第5章 主理想整环与欧氏环(2015)
作业
第三版 5-4第201页 1，2
5.3-5.4
、理想的定义 、理想的构造 一、主理想整环 二、 欧氏环
一、主理想整环
——（第五章第三节）
定义 设K是一个有单位元的整环，如果K的每个 理想都是Байду номын сангаас理想，则称K是一个主理想整环.
例 (1) 整数环是主理想整环. (2) 域F上的多项式环F[x]是主理想整环. (P166 习题3(1)） (3) 整数环Z上的多项式环Z[x]不是主理想整环. (因为 <2,x>不是主理想 ) 故Zn不是主理想整环. （4）当n为合数时，环Zn有零因子， 定理 Gauss整环Z[i]={a+bi|a,b∈Z}是主理想整环.
二、 欧氏环
——（第五章第四节）
定义 设K是一个有单位元的整环.如果 （1）有一个从K-{0}到非负整数集的映射 存在, 使 （2）对于K中任意元素a及b≠0, 存在元素q, r∈K，
a bq r , r 0, 或 ( r ) (b), 则称K关于 作成一个欧氏环.
例 整数环Z是一个欧氏环. 例 域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环. 定理 欧氏环必是主理想整环.
近世代数课件 第11节 子环与理想
11/27
近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
22/27
近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
4/27
近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
2/27
近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
3/27
近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。
近世代数简介ppt
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
第四讲：主理想整环上的模及其分解
數學傳播32卷1期,pp.25-47線性代數五講一一第四講主理想整環上的模及其分解龔昇·張德健4.1.環上的模的基本概念A.在第二講及第三講中,我們討論了向量空間及其上線性變換,在這一講及下一講中將從模的觀點來重新認識之,這是本書的主要部份,在這一講中,將介紹模的定義和基本性質,尤其是在主理想整環上的模及其分解。
若V體F上的一個向量空間,T∈L(V)。
對F[x]中任一多項式p(x),對任意 v∈V,可定義p(x) v=p(T)( v),這就是我們要討論作用在V上的線性算子。
顯然對任意r(x),s(x)∈F[x], u, v∈V有r(x)( u+ v)=r(x) u+r(x) v,(r(x)+s(x)) u=r(x) u+s(x) u,(r(x)s(x)) u=r(x)(s(x) u),1 u= u,等等。
但是F[x]不是體而是環,所以F[x]中元素對V作純量乘積,V不能成為一個向量空間。
於是引入了比向量空間更為一般的概念:模。
定義4.1.1:若R是有單位元的交換環,其元素稱為純量(scalar)。
一個R−模(R−module),或R上的一個模(a module over R)是一個非空集合M,有運算加法,記作+,對( u, v)∈M×M,有 u+ v∈M;另一個是R與M的運算是純量乘積,用毗連來表示,對(r, v)∈R×M,有r v∈M,而且有1.M對加法而言是Abel群;2.對所有r,s∈R, u, v∈M有2526數學傳播32卷1期民97年3月a.(分配律):r( u+ v)=r u+r v,(r+s) u=r u+s v;b.(結合律):(r s) u=r(s u),c.1 u= u.顯然當R為體,則模為向量空間,即體上的模就是向量空間。
當R=Z(整數環),則Z−模就是Abel群,故模也是Abel群的概念之擴充。
特別重要的是在第一講開始就說到的R=F[x],若F是體,則由定理1.2.1,F[x]是主理想整環,於是可以定義F[x]−模,這是我們今後要主要討論的對象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i 1
n
的元素及这些元素的和, 因此 a I . 于是 a I .
12
前页 后页 目录 返回
(2) 如果R有单位元 e , 则
ma (me)ae(m Z), xa xae, ay eay
都是形如 xay的元素. 所以
8
前页
后页
目录
返回
三、主理想的定义及表示
设 a R , 考察 R 中含有元素 a 的全部理想的集 合
{I R | a I }.
因为 a R , 且 R R , 所以 R , 从而 非空. 令 a I .
I
则由定理3.3.2知, a 为R 的一个理想. 这个理想称 为 R 的由 a 生成的主理想 (principal ideal). 因a I ( I ) 所以 a a ,从而 a . 我们看到:
i 1
n
(2) 如果 R 是有单位元的环 ,则 n a { xi ayi | xi , yi R, n N };
i 1
(3) 如果 R 是交换环, 则
a {xa ma | x R, m Z}; (4) 如果 R 是有单位元的交换环, 则 a aR {ar | r R}.
§3.3 理想与商环
一、理想的定义 三、主理想 主理想的定义 定理3.3.3 ---主理想的表示
定义3.3.1 ---理想
例1
例2
二、理想的运算 定义3.3.2 ---和与交 定理3.3.1 ---和与交仍为理想 定理3.3.2 ---多个理想的和与交 1
推论1
推论2 三、商环
例3
例4
商环的定义 定理3.3.4 ---商环的性质
6
前页 后页 目录 返回
同理 于是
a b, ax, xa J .
a b, ax, xa I J .
所以 I J为 R 的理想.
7
前页
后页
目录
返回
定理3.3.2 (1) 环R 的任意有限多个理想的和还 是理想;(2) 环 R 的任意 (有限或无限)多个理想的交还 是 R 的理想. (提示：如上同样的证明方法，只要把所有的 写出来即可.)
r s (a1 a2 ) (b1 b2 ) (a1 b1 ) (a2 b2 ) I J ; xr x(a1 a2 ) xa1 xa2 I J ; rx (a1 a2 ) x a1 x a2 x I J .
所以 I J 为 R 的理想． (2) 对任意的 a, b I J , x R. 因 a, b I , 则有 a b, ax, xa I .
a { xi ayi | xi , yi R, n N };
(3) 如果 R 是交换环 , 则 xay xya, ay ya. 从而 n xi ayi xa ay ma
d 0; Z 的全部理想为dZ 其中d Z，
用类似方法还可证明, 对任意m Z(m > 0),Z m 的所有理想为dZ m , 其中d 0, 或d | m,1 d m.
4
前页
后页
目录
返回
二、理想的运算
定义3.3.2 设R 为环, I , J 都是R 的理想, 集合
I J {a b | a J , b J }与I J
分别称为理想I 与 J 的和与交. 定理3.3.1 设R为环, I , J 都是R 的理想. 则 I 与 J 的和与交都是R的理想．
5
前页
后页
目录
返回
证 （1）设 r , s I J , x R . 则有
a1 , b1 I , a2 , b2 J,使 r a1 a2 , s b1 b2 .从而
I dZ 则对任意的 r dx, s dy I , z Z, r s dx dy d ( x y ) I ; rz zr (dx) z d ( xz ) I .
3
前页
后页
目录
返回
所以 dZ 为 Z 的理想. 由此知,I 为Z 的理想当且仅当I 为 Z 的子环. 因此
9
前页 后页 目录 返回
一方面, a 是包含 a 的理想; 另一方面, a 是所有包含
a 的理想的交. 所以 a 是 R 中包含 a 的最小理想.
பைடு நூலகம்
10
前页
后页
目录
返回
定理3.3.3 设 R 为环, a R 则 (1)
a { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}
11
前页 后页 目录 返回
证（1） 设
I { xi ayi xa ay ma | xi , yi , x, y R, n N , m Z}.
易知 I 为 R 的理想. 因为a 1 a I (1 Z) 所以 I 为 包含 a 的理想, 从而 a I . 又因为 a 是由 a 生成的理想, 所以 a 必包含所 有的形如
I R , 则称 I 为R 的真理想 (proper ideal).
由定义可知, 如果 I 为 R 的理想,则 I 必为R的子环.
2
前页 后页 目录 返回
例1 {0} 与R 本身显然都是 R的理想. 这两个理想称 为 R 的平凡理想(trivial ideal). 例2 试求Z的所有理想.
解 设 I 为 Z的任一理想, 则 I 为 Z 的子环. 从而存 在 d Z, d 0 ,使 I dZ(见§3.1例10). 反之, 设I 为 Z 的任一子环, 那么存在d Z , 使
前页 后页
例5 例6
返回
目录
一、理想的定义
I为R 的非空子集,如果I 满足 定义3.3.1 设R为环,
(I1) 对任意的 r1 , r2 I , r1 r2 I ； (I2) 对任意的 r I , s R, rs, sr I . 则称 I 为环 R 的一个理想 ( ideal), 记作 I R . 又如果