24.1.2垂直于弦的直径
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。
2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节课主要学习了圆中一条特殊的直径——垂直于弦的直径，并探究了它的性质。
教材通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些与圆有关的问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算、圆的性质等知识。
他们具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。
但对于垂直于弦的直径的性质及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生发现和总结垂直于弦的直径的性质，并通过实例让学生体会其在解决实际问题中的应用。
三. 教学目标1.理解垂直于弦的直径的性质。
2.学会运用垂直于弦的直径的性质解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实例引导学生发现垂直于弦的直径的性质。
2.实践操作法：让学生动手画图，加深对垂直于弦的直径性质的理解。
3.问题驱动法：设置问题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质解决问题。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示相关实例和问题。
2.练习题：准备一些与垂直于弦的直径性质有关的练习题。
3.圆规、直尺等画图工具：为学生提供画图所需的工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：在一个圆形池塘中，怎样找到一个点，使得从该点到池塘边缘的距离最远？引导学生思考，并提出解决问题的方法。
2.呈现（10分钟）展示几个与垂直于弦的直径性质相关的实例，引导学生观察和分析这些实例，发现垂直于弦的直径的性质。
3.操练（10分钟）让学生动手画图，验证垂直于弦的直径的性质。
在这个过程中，引导学生运用圆规、直尺等画图工具，提高他们的动手能力。
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．二、教学重点及难点重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片．五、教学过程【合作探究，形成知识】探究圆的对称性1．学生动手操作问：大家把事先准备好的一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．2．探索得出圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．师生活动：学生总结操作结论，教师强调圆的对称轴是直径所在的直线．3．问：圆有几条对称轴？师生活动：学生回答，教师强调圆有无数条对称轴．4．你能证明这个结论吗？师生活动：四人一小组，小组合作交流，尝试证明．让学生注意要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上．教师板书分析及证明过程．设计意图：在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，掌握证明轴对称图形的方法．探究垂径定理按下面的步骤做一做，回答问题：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂足为点M；第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B，如图1．图1 图2问题1在上述操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？师生活动：学生动手操作，观察操作结果，得出结论，看哪个小组做得又快、又好，记入今天的英雄榜．最后师生共同演示、验证猜想的正确性，从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明，此时再板书垂径定理及其推理的过程．证明：如上图2所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB，即OA=OB．因为CD⊥AB，所以△OAM与△OBM都是直角三角形．又因为OM为公共边，所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM．又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称，所以A点和B点关于直线CD对称．所以当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合．因此AM=BM，AC=BC．同 ．理可得AD BD垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．问题2 你能用符号语言表达这个结论吗？师生活动：学生尝试将文字转变为符号语言，用数学符号表达定理的逻辑关系．教师更正并板书．符号语言表达：AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是圆的直径，，于点⇒ 设计意图：增加学生的兴趣，使学生通过探索发现、思维碰撞，获得对数学知识最深刻的感受，体会成功的乐趣，发展思维能力．【例题应用 提高能力】例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O ，过点O 作OC ⊥AB 于点D ．若CD =4 m ，弦AB = 16 m ，求此圆的半径．师生活动：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形．在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．解：设圆的半径为R ，由题意可得OD =R －4，AD =8 m ．在Rt △ADO 中，222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+．解得R =10（m ）．答：此圆的半径是10 m ．设计意图：增加一道引例，是基础应用题，为课本例题的实际应用作铺垫，有过渡作用，不但让学生掌握了知识，又增加了学习数学的兴趣，更体会到成功的喜悦．例2如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
人教版九年级数学上册说课稿：24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自人教版九年级数学上册第24章1.2节，主题为“垂直于弦的直径”。这一节内容在整个课程体系中具有重要地位，它既是圆的相关知识的延伸，也是培养学生空间想象能力和推理能力的重要环节。在之前的课程中，学生已经学习了圆的基本概念、圆的性质以及圆的方程等知识。在此基础上，本节课将引导学生探索垂直于弦的直径的性质，进一步理解圆的相关定理。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级的学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，具有一定的独立思考和自主学习能力。他们在认知水平上，已经具备了基本的几何知识和一定的逻辑推理能力，能够理解并运用圆的相关性质。此外，学生对新鲜事物充满好奇，对数学学科的兴趣也日益浓厚，但学习习惯尚需进一步培养。
2.教学难点：理解并证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
对于教学重点，教师要引导学生通过观察、思考、实践等方法，掌握垂直于弦的直径的基本概念和性质。对于教学难点，教师要提供适当的引导和提示，帮助学生理解并证明这一性质，从而培养学生的推理能力。同时，教师还要注意关注学生的学习过程，鼓励学生积极参与，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生已经掌握了圆的基本概念、圆的性质以及圆的方程等前置知识。然而，他们在学习过程中可能存在以下障碍：1.对垂直于弦的直径的概念理解不够深刻，容易与其他概念混淆；2.在证明垂直于弦的直径平分弦以及平分弦所对的两条弧的过程中，可能缺乏严密的推理能力；3.在实际问题中，学生可能难以将所学知识灵活运用。
作业的目的是让学生通过练习，进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力，培养数学素养。同时，关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中得到有效的提升。
人教版数学九年级上册：24.1.2 垂直于弦的直径 教案(附答案)
24．1.2 垂直于弦的直径教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．预习反馈阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)，∴CD ⊥AB ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．例题讲解例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ；(2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．【跟踪训练1】 若⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为3__cm ．【跟踪训练2】 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足．若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：连接OC.∵AE ＝9，BE ＝1，∴半径OC ＝5，OE ＝4.∵弦CD ⊥AB ，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝3.又∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CD ＝2CE ＝6.【跟踪训练3】 ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】 当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当M 在A(或B)处时，OM 最大．例2 (教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA.根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB ︵的中点，CD 就是拱高．由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)， OD ＝OC －CD ＝R －7.23.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝18.52＋(R －7.23)2.解得R ≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．巩固训练1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是3__cm ．【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134__cm ．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．4．⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，则弦AB与CD 之间的距离为22__cm或8__cm．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．。
24.1.2垂直于弦的直径教案 2022-2023学年人教版九年级上册数学
24.1.2 垂直于弦的直径教案2022-2023学年人教版九年级上册数学本教案旨在帮助学生理解并掌握垂直于弦的直径概念，并通过实例让学生能够运用所学知识解决相关问题。
通过本教案的学习，学生将能够更深入地理解圆的性质与特点，提高数学解题能力。
一、教学目标1.理解并掌握垂直于弦的直径的概念。
2.掌握相关综合运用题的解题方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.教学重点：垂直于弦的直径的概念及应用。
2.教学难点：综合运用题的解题方法。
三、教学准备1.教师准备：–教材：人教版九年级上册数学教材。
–备课笔记和教案。
–相关教学资源。
2.学生准备：–学习用具：课本、笔、纸等。
四、教学过程1. 导入通过提问和讨论，回顾圆的相关概念，如半径、直径、弧等，引导学生思考并复习相关知识。
2. 概念讲解•引入垂直于弦的直径概念，解释其定义和性质。
•强调垂直于弦的直径的特点，即垂直于弦的直径恰好经过弦的中点。
•通过实例和图示让学生更好地理解和记忆该概念。
3. 示例分析通过具体的例题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质进行解题。
教师可以选择简单的例题进行分析，逐步引导学生掌握解题方法。
示例题1：在一个圆上，弦AB的长度为6cm，弦AB的中点O到圆心的距离为4cm，求圆的半径。
解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦AB的中点O到圆心的距离等于圆的半径。
所以，圆的半径为4cm。
4. 综合运用题训练设计一些综合运用题，让学生将所学知识应用到更具挑战性的问题中。
逐步提高学生的解题能力和逻辑思维能力。
练习题1：已知圆上弦CD的长度为10cm，且CD垂直于弦AB，弦AB的长度为8cm。
求圆的半径。
解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦CD垂直于弦AB，且AB的长度为8cm，那么AB就是CD的直径。
所以，圆的半径为4cm。
5. 总结和归纳对本节课所学的知识进行总结和归纳，提醒学生关注垂直于弦的直径的特点和解题方法，加深对相关概念的理解。
24.1.2垂直于弦的直径教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂直于弦的直径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，例如：“你们认为这个性质在建筑或工程中可能会有哪些应用？”
24.1.2垂直于弦的直径教案
一、教学内容
《24.1.2垂直于弦的直径》为本章节的教学内容，选自人教版数学九年级下册第二十四章《圆》。本节课主要内容包括：
1.探索圆的性质：垂直于弦的直径。
2.证明垂径定理及其推论。
3.应用垂径定理解决实际问题。
二、核心素养目标
《24.1.2垂直于弦的直径》教学的核心素养目标为：
2.教学难点
-难点内容：
a.理解并证明垂径定理。
b.掌握垂径定理推论的应用。
c.将垂径定理应用于解决复杂的几何问题。
-难点突破：
a.通过动态演示或模型操作，帮助学生直观理解垂径定理。
b.分步骤引导学生进行垂径定理的证明，强调证明过程中的关键步骤。
c.设计不同难度的练习题，从简单到复杂，帮助学生逐步掌握垂径定理的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是圆内一条特殊的线段，它不仅垂直于弦，而且能够将弦平分成两段相等的部分。这个性质在几何图形的构造和解题中有着重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有一个圆，弦AB需要被平分，我们可以如何找到能够实现这一点的直径？通过分析，我们可以发现，只需找到垂直于AB的直径CD，就可以轻松完成这个任务。
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如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E． 你发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分
弦，并且平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
B
D
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
·O
E
A
B
D
赵州桥主桥拱的半径是多少？
例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的 历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.23m，求赵洲桥主桥拱的半径（结果保留小数 点后一位）.
复习巩固
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
r
O·
复习巩固
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·AC来自复习巩固A⌒B圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记
作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
A
B
O·
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的
两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四
边 形ADOE是正方形． C
· E
O
A
D
B
达标检测
填空： 1.已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的 两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm . 3.在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 4.已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为 14cm或2cm .
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半 圆．
B
O·
A
C
复习巩固
能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？你能证明你的结论吗？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线
5.已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
⊙ O的半径是3cm，那么过P点的最短的弦等
于 2 5 cm .
6.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
则这弓形所在的圆的半径为 13 cm. 4
C
A
D
B
O
说一说
1、本节课你学到了哪些数学知识？ 2、在利用垂径定理解决问题时，你
掌握了哪些数学方法？
• 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功!
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 ⌒ A表B 示主桥拱， 设» AB 所⌒A 在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的B垂线OC，D为垂足，
OABC的与中AB点相，交C⌒ A是于B点的C，中连点接，OCDA，就根是据拱垂高径．定C 理，D是
由题意可知：AB=37cm，
CD=A7D.2321cmA B，
1 2
37
1
8
.5
D A
R
B
OD = OC－CD = R－
O
在Rt△7O.2A3D中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 +
即 R2=1O8D.522+（R－7.23）解得：R≈27．3（m）
2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．