分支定界法完整可编辑版
完整word版,分支定界法的Matlab实现
一个调用例子：ifint=[0 1];f=[10 9];a=[1 0;0 1;-5 -3];b=[8 10 -45];[x,fval,exitflag] = linprogdis(ifint,f,a,b,[],[],[],[],[],[])function r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0function r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0可以使用ismember(arrow,amat,’rows’)替换ifrowinmat的调用，2005-10-28标注使用时，将下面的代码存入文件：linprogdis.mfunction [x,fval,exitflag,output,lambda]=... linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%Title:% 分支定届法求解混合整数线性规划模型%%初步完成：2002年12月%最新修订: 2004-03-06%最新注释：2004-11-20%数据处理[t1,t2] = size(b);if t2~=1,b=b';%将b转置为列向量end%调用线性规划求解[x,fval,exitflag,output,lambda] =linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);if exitflag<=0,%如果线性规划失败，则本求解也失败returnend%得到有整数约束的决策变量的序号v1=find(ifint==1);%整数变量的indextmp=x(v1);%【整数约束之决策变量】的当前值if isempty(tmp),%无整数约束，则是一般的线性规划，直接返回即可returnendv2=find(checkint(tmp)==0);%寻找不是整数的index if isempty(v2),%如果整数约束决策变量确实均为整数，则调用结束returnend%第k个决策变量还不是整数解%注意先处理第1个不满足整数约束的决策变量k=v1(v2(1));%分支1：左分支tmp1=zeros(1,length(f));%线性约束之系数向量tmp1(k)=1;low=floor(x(k));%thisA 分支后实际调用线性规划的不等式约束的系数矩阵A%thisb 分支后实际调用线性规划的不等式约束向量b if ifrowinmat([tmp1,low],[A,b])==1%如果分支的约束已经存在旧的A，b中，则不改变约束thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp1];thisb=b;thisb(end+1)=low;end%disp('fenzhi1'),thisA,thisb%递归调用[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);%分支2：右分支tmp2=zeros(1,length(f));%tmp1;tmp2(k)=-1;high= - ceil(x(k));if ifrowinmat([tmp2,high],[A,b])==1thisA= A;thisb= b;elsethisA=[A;tmp2];thisb=b;thisb(end+1)=high;end%disp('fenzhi2'),thisA,thisb[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]= ...linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,o ptions);if isempty(v2) & ((exitflag1>0 & exitflag2<=0 & fval<=fval1 ) ...| (exitflag2>0 & exitflag1<=0 &fval<=fval2 )...| (exitflag1>0 & exitflag2>0 &fval<=fval1 & fval<=fval2 )),disp('error call')return %isempty(v2) 表示都是整数 2002-12-7非常重要end%下面分别根据返回标志exitflag确定最终的最优解%case 1if exitflag1>0 & exitflag2<=0 %【左分支有】最优解，右分支无最优解x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;%case 2elseif exitflag2>0 & exitflag1<=0 %【右分支有】最优解，左分支无最优解x = x2;fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;%case 3elseif exitflag1>0 & exitflag2>0 %【左、右分支均有】最优解，则比较选优if fval1<fval2,%【左】分支最优（min）x = x1;fval = fval1;exitflag = exitflag1;output = output1;lambda = lambda1;else x = x2;,%【右】分支最优（min）fval = fval2;exitflag = exitflag2;output = output2;lambda = lambda2;end%fval1<fval2endfunction r=checkint(x)%算法：如果x(i)是整数，则返回r(i)=1；否则返回r(i)=0%输入参数：x 向量%输出参数：r 向量for i=1:length(x),ifmin(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1 e-03%这里用于判定是否为0的参数可以调整，如改为1e-6r(i)=1;elser(i)=0;endendfunction r=ifrowinmat(arow,amat)%输入参数：% arow 向量，% amat 矩阵%%设计：如果 arow与矩阵amat中的某一行相等，则返回1，如果找不到现等的一行，则返回0r = 0;rows = size(amat,1);for i=1:rows,temp = (amat(i,:)==arow);%利用 Matlab的==操作，如果相等，则为1向量；if length(find(temp==0))==0,%没有为0的，即temp元素全部是1r=1;return end%end %for。
运筹学第三节分支定界法
整理课件
10
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
整理课件
4
运筹学教程
整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
6
运筹学教程
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
0, B采用原加工方式 y1 1, B不采用原加工方 多余式 的约束
0, B采用新加工方式 y2 1, B不采用新加工方式
当y1=1,y2=0;采用
st.00..23xx11
0.5x2 0.4x2
150My1 120My2
新工艺,(2)式成立;
y1 y2 1 整理课件
15
分枝定界法
4
x1
x2 x1
16.5 4
x1 0, x2 0
结论1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中
2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值
3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
二: 定界,以每个后继问题为一分枝标明求解结 果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作 为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出 目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界 为0.
x1 x2 x3 x4 x5 解
检 0 0 -20/3 0 -50/3 Z-440/3
x2 0
x1 1 x4 0
1 1/3 0
00
0
0 -1/3 1
-2/3 17/6 13 -10/3 5/3
L1最优解：x1 3，x2 17 6 , x3 0
x4
5 3
,
x5
0,
最优值：z1
440 3
求解子问题L3 :
x1 x2 x3
检 0 0 -20/3
x2 0 1 1/3 x1 1 0 0 x4 0 0 -1/3
x6 0 1 0
x4 x5
x6
0 -50/3 0
00 1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
2
最优解：
xx14
35，/ 2x，2 x52, x03,
11 4，x2 0，x4
3, 52，
z3 130 得下界
x5 14 , x6 0
z4
285 2
z3
L5
:x1 x3
2，x2 0，x4
分支定界法
分支定界法第一篇：分支定界法整数线性规划之分支定界法摘要最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。
1947年，Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法，即单纯形算法，随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展，以及信息革命的不断深化，到现在的几十年时间里，它有了很快的发展。
目前，求解各种最优化问题的理论研究发展迅速，例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等，各种新的方法也不断涌现，并且在军事、经济、科学技术等方面应用广泛，成为一门十分活跃的学科。
整数规划（integer programming）是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划，实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。
本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。
关键词：整数线性规划；分支定界法；matlb程序；1．引言1.1优化问题发展现状最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如，在工程设计中，选择怎样的设计参数，才能使设计方案既满足要求又能降低成本；在资源分配中，资源有限时怎样分配，才能使分配方案既可以满足各方面的要求，又可以获得最多的收益；在生产计划安排中，怎样设计生产方案才能提高产值和利润；在军事指挥中，确定怎样的最佳作战方案，才能使自己的损失最小，伤敌最多，取得战争的胜利；在我们的生活中，诸如此类问题，到处可见.最优化作为数学的一个分支，为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法.最优化是个古老的课题.长期以来，人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末，Dantzig 提出了单纯形法，有效地解决了线性规划问题，从而最优化成为了一门独立的学科。
目前，有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究，实际应用中还有待进一步的完善。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
5.2 分支界定解法
第三步： 第三步：
主要特征就是定界 主要特征就是定界. 特征就是定界. 具体作法 作法： 具体作法： 以每个后继问题为一分支标明求解的结果， 以每个后继问题为一分支标明求解的结果， 与其他问题的解的结果中， 与其他问题的解的结果中， 找出最优目标函数值最大者作为新的上界 找出最优目标函数值最大者作为新的上界 z ； 从已符合整数条件的各分支中， 从已符合整数条件的各分支中， 找出目标函数值为最大者作为新的下界 新的下界z， 找出目标函数值为最大者作为新的下界 ， 若无可行解， 若无可行解， z=0
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。 图来表示，见下图。
B x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≤ 3 x2≥ 4 UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
3.定界：由图可知。界为max 39， 3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是 41。 定界 但是， 的整数条件， 界枝是B2。但是，B2的最优解不满足A的整数条件， 的最优解。因此，应当再次分枝。 从而它不是A的最优解。因此，应当再次分枝。 的最优解中， 1.8， 第二次分枝： 第二次分枝：由B2的最优解中，选择决策变量 x1= 1.8， 的两枝： 写出B2的两枝：
Max y = 5x1 + 8x 2 5x1 + 9x 2 ≤ 45 B1 x1 + x 2 ≤ 6 x2 ≥ 4 x1 , x 2 ≥ 0
B2
把它们依次记作B1和B2。 最优解（ 解B1得：最优解（x1，x2）=（3，3）,最优值 ymax= 39 最优解（ 1.8,4） 解B2得：最优解（x1，x2）=（1.8,4）,最优值 ymax= 41
分枝定界法
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
第15页/共34页
x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
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1 3
x 1 , x 2 0 且取整数
x2
zBz1 m1/a0 3x zCz24/1 9
５ zDz21 6/14
４
A(32,103)
zEz2114 zFz2124
３
B(1,7 3)
C(2,239)
２
D(3314,2)
１
E(2,0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
LP 21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z 0 61 / 14
LP22 S22 无可行解
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP 211
x1 2, x2 2 z0 4
LP 212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
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第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x 2
x1
9 14
x2
51 14
2 x1
x2
1 3
x1 , x 2 0 且取整数
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(32,103)
区域1
１
区域2
x1
２３
⑴ 分支
假设松弛问题中 xi bi 不是整数，则构造两
个约束条件 xi bi 及 xi bi 1
分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
⑵ 定界
就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 的各子问题中目标函数值最大者作为下界，若
０
１s211 ２
３
x1
LP0
z 29 6
S x1 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6 z 0
x1 1
x1 2
LP 1
S1
x1 1, x 2 7 / 3 z 0 10 / 3
LP 2
z 41 9
S2
x1 2, x 2 23 / 9 z 0 41 / 9
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x 1 x 2
x
1
9 14
x2
51 14
2 x1
x2