2021年大一(第一学期)高数期末考试题及答案

大一上学期高数期末

考试

欧阳光明（2021.03.07）

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '=（B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '=（D ）()f x 不可导.

2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=

x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()

x x αβ与是等价无穷小；

（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若

()()()02x

F x t x f t dt

=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且

'>()0f x ，则（）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；

（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；

（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22

x （B ）

2

22x +（C ）1x -（D ）2x +.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =

+→x

x x sin 20

)

31(lim .

5. ,)(cos 的一个原函数是已知

x f x x =⋅⎰x x x

x f d cos )(则.

6.

lim

(cos cos cos )→∞

-+++=2

2

2

21

n n n

n

n

n π

π

ππ.

7. =

-+⎰

2

1

2

1

2

211

arcsin －

dx x

x x .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y

e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .

9.

设函数)(x f 连续，=⎰1

0()()g x f xt dt

，且→=0

()

lim

x f x A x ，A 为常

数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足

=-

1

(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）

11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任

一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x

轴围成平面图形D.

(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体

的体积V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，

1

()()≥⎰⎰q

f x d x q f x dx

.

14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且

)(0

=⎰

π

x d x f ，

cos )(0

=⎰

π

dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点

21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设

⎰=

x

dx

x f x F 0

)()(）

解答

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.

6

e . 6.c x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.

3

π

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

11.

解：103

3

()x

f x dx xe dx ---=+⎰

⎰⎰

12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A g x A x

→→-'==-

=

⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2

ln dy y x dx x +=

1

(1),0

9y C =-=，

11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且

02d x

y y x y

'=+⎰，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2 特征方程：022

=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r

其通解为x

x e C e C y 221+=-

代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==

C C

故所求曲线方程为：

x

x e e y 23132+=

-

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为)

ln ,(00x x ，切线方程：

)

(1

ln 00

0x x x x y -=-

由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：

x e y 1=

则平面图形面积

⎰-=

-=1

121

)(e dy ey e A y

（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V1，则

2131e V π=

曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V2

D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

)

3125(6221+-=

-=e e V V V π

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：1

()()q

f x d x q f x dx -⎰⎰1

()(()())

q

q

q

f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰

故有：