2021届全品高考复习方案：第12讲 函数模型及其应用
2021年高考数学总复习：函数模型及其应用
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[解题技法] 判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先 建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实 际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是 否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况 的答案．
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[知识梳理]
1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)； (3)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(4)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (5)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a≠0，b>0，
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考点二 应用所给函数模型解决实际问题 [师生共研过关]
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[例1] (1)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且
每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品
数Q的函数，K(Q)＝40Q－
1 20
Q2，则总利润L(Q)的最大值是
________万元．
(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒
2．三种函数模型的性质
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性质
函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上 的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐 随x的增大，逐
渐表现为与y轴 渐表现为与x轴
12、函数模型及其应用(含答案)
12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。
2021年新课标新高考数学复习课件：§3.8 函数模型及函数的综合应用
解析 (1)前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,k≠0,将点(1,10)和点(10,3
0)代入函数解析式得
10 30
k b, 10k
b,
解得k=
20 9
,b=
70 9,所以y=源自20 9x+
70 9
,则当x=6
时,y=190 .
9
(2)①根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故
9x-2x2 6-x
=15-2 (6-x)
9 6-x
≤15-12=3,
当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.
(ii)当1≤c<3时,由T'= 2x2 -24x 54 = 2(x-3)(x-9) >0知,函数T=9x-2x2 在[1,c]上
(6-x)2
(6-x)2
6-x
例2 某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会 产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:
P=
1 6-x
,1
2 3
,x
c
x
c,
(其中c为小于6的正常数).
(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其
①写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域; ②求羊群年增长量的最大值; ③当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
解题导引 (1)根据图象信息,确定函数解析式. (2)由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,则蓄养率为 x ,故空闲率为1-
m
x .建立函数模型后,利用函数的最值求羊群年增长量的最大值.
2.9 函数模型及其应用 2021年高考数学复习优化一轮用书文数
考点1
考点2
考点3
考点4
-34-
2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的 最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还 要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由 于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较
大的实际问题. ( √ )
(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈ (4,+∞)时,恒有
h(x)<f(x)<g(x). ( √ )
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越
快的形象比喻. ( √ )
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是 y=100×(1+1.2%)x.
考点1
考点2
考点3
考点4
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(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 所以10年后该城市人口总数约为112.7万. (3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,
-11-
考点1
考点2
考点3
考点4
解:由题意知S(t)=g(t)f(t),
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是 二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函 数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
考点1
考点2
高考数学一轮复习 第12讲 函数模型及其应用课件 理 北师大版
答案
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第12讲 函数模型及其应用
双
向
—— 链接教材 ——
固 基
1．[教材改编] 已知函数模型①y＝0.25x；②y＝log2x＋1；
础 ③y＝1.002x.随着 x 的增大，增长速度的大小关系是________．
[答案] ③>①>②
[解析] 根据指数函数、幂函数、对数函数的增长速度 关系可得．
时是增长的，但是增长的速度越来越缓慢，底数越大越
明显．( )
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第12讲 函数模型及其应用
双
向
固 基
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
础
[解析] (1)根据二次函数性质知当 a>0 时，f(x)在[－2ba，
＋∞)上是增长的，其导函数 f′(x)＝2ax＋b，因此增长速度 是变化的．
(2)根据指数函数性质得，在 a>0，b>1 的情况下是增 长的，其导函数是 f′(x)＝(aln b)·bx，由于 aln b>0，故其增 长的速度很快，且底数越大增长越快．
且增长速度是变化的．( )
(2)指数型函数模型 f(x)＝a·bx＋c(a，b，c 为常数，
a≠0，b>0，且 b≠1)，这个函数在 a>0，b>1 的情况下是
增长的，而且增长的速度很快，且底数越大增长速度越
快．( )
(3)对数型函数模型 f(x)＝mlogax＋n(m，n，a 为常数， m≠0，a>0，且 a≠1)，这个函数模型在 m>0，底数 a>1
第12讲 函数模型及其应用
双
向 固
3.实际问题中的函数建模
《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第12课指数函数
第12课 指数函数一、教学目标1．理解指数函数的概念、图像和性质；2．能利用函数图像的平移与对称变换争辩指数函数的图像；3．会利用换元法及分类争辩的数学思想和方法，求解一些简单函数的值域。
二、基础学问回顾与梳理 1、下列函数是指数函数吗？①()23x f x =⋅；②xx f 13)(=；③13)(+=x x f ；④)2,1()1()(≠>-=a a a x f x【教学建议】本题主要是挂念同学复习、理解指数函数的概念。
（1）教学时，老师可让同学说明理由。
结合本题，强调定义重在形式，并且迁移指出高中阶段学习的三大初等函数（幂、指、对）都是形式上的定义。
（2）对于④，要引导同学审题，“)(x f ”意味着函数的自变量为x ，而a 是一个常数，符合指数函数的定义，复习时还可连续追问假如)(x f 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围如何？（教材P52练习1）。
2、对于函数x y 2=、xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21、xy 10=（1）它们各自具有哪些性质？它们在平面直角坐标系中图像如何？（2）xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图像有什么关系？x y 2=与xy 10=的图像的相对位置如何？【教学建议】本题改编自课本P50探究问题，主要是复习指数函数的图像和性质。
通过这一组问题，可以挂念同学理解争辩指数函数图像和性质的关键点——“看底数与1的大小关系”。
教学时要强调图像的重要性（指出函数性质的记忆可以通过图像完成）；通过（2）可引导同学总结出指数函数图像当a 变化时的记忆规律以及函数)1,0(≠>=a a a y x与)1,0(1≠>⎪⎭⎫⎝⎛=a a a y x图像的关系。
3、对于函数12+=x y 、22-=x y 、121-=+x y（1）它们各拘束平面直角坐标系中图像与xy 2=的关系如何？ （2）它们各自有哪些性质？【教学建议】本题改编自课本例题3。
教学时，可引导同学从数式特点和图像变换的基本原理两个角度理解，如对于函数12+=x y ，与指数函数xy 2=比较，可设计以下两个问题：（1）从数式特点看，当函数值相等时，自变量的值之间有什么关系？ （2）从图像变换角度来看，把指数函数xy 2=看做)(x f ，那么函数12+=x y 如何表示？另外，对于这些函数所具有的性质不建议用复合函数思想解决，要指导同学养成良好习惯：能画出图像的函数性质，可以从图像上轻松而精确 地得到。
全国文数第12课 函数模型及其应用
37
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
38
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
39
两组题讲透
数学低段
第12课 第（8）题
P49
40
数学低段
第12课 小积累
P50
41
两组题讲透
数学低段
第12课 第（9）题
P50
42
两组题讲透
数学低段
第12课 第（9）题
数学低段
第11-12课 第 12 题 P18
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课 后 提 分 练 11 12 B
数学低段
第11-12课 第 12 题 P18
97
课 后 提 分 练 11 12
数学低段
第11-12课 第 13 题 P18
98
课 后 提 分 练 11 12
数学低段
第11-12课 第 13 题 P18
课后提分练 11-12 A组 第1题
第5题 第9题
B组 第13题
第2题 第7题
第3题 第8题
第4题 第9题
第5题
第2题 第6题 第10题 第14题
第3题 第7题 第11题
第4题 第8题 第12题
目录
2
一张图学透
数学低段
第12课 一张图学透
常见的函 数模型
3
一张图学透
数学低段
第12课 一张图学透
数学低段
第12课 第（1）题
P47
8
两组题讲透 D
数学低段
第12课 第（1）题
P47
9
数学低段
第12课 方法便笺
P48
【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案
【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案 3.函数模型及其应用知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2.功能建模的基本过程误区警示在解决函数应用问题时，关键环节是检查问题。
检查问题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将书面语言正确准确地翻译成数学语言言，用数学表达式加以表示；第三，找出给定的条件和需要解决的问题过何种数学模型加以解决；四是严格按照各种数学模型的要求进行推理运算算，并对运算结果作出实际解释．3.对常见功能模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它）、二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：可以用指数函数表示的函数模型。
它的增长特征是，随着自变量的增加，函数值的增长速度越来越快。
它通常被生动地称为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：可以用幂函数表示的函数模型。
它的增长取决于价值的变化。
公共二次函数模型。
（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
四、典型分析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1。
当一件商品的原价为每件1元时，每天可以卖出M件。
现在，在降价X个百分点（即X%）后，销售量增加了Y个百分点，日销售量是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）当销售量最大时，求X的值（结果可用n的公式表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
解决方案：（1）根据主题的含义，有一个（1-x%）×M（1+y%）=Kam，替换y=NX并简化它（2）由（1）知当时，k值最大。
因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为元。