2016届高考数学大一轮复习 第二章 12函数模型及其应用课件 文
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.11 变化率与导数、导数的计算课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2016·江西赣州高三检测)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)·(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，∴f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.答案：C2．(2014·高考大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：y ′＝e x －1＋x ex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′| x ＝1＝2.答案：C3．(2016·长春质检)已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1，由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2. 答案：C4．(2016·宜昌模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)等于________．解析：∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， ∴f ′(0)＝0＋3f ′(0)，即f ′(0)＝0，∴f ′(x )＝x 2，则有f ′(1)＝1. 答案：15．(2016·烟台诊断)已知曲线y ＝a sin x ＋cos x 在x ＝0处的切线方程为x －y ＋1＝0，则实数a 的值为________．解析：因为y ′＝a cos x －sin x ，y ′| x ＝0＝a ，根据题意知a ＝1. 答案：16．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． 解析：y ′＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴y －1＝4(x －1)， ∴y ＝4x －3. 答案：y ＝4x －3 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x ； (5)y ＝cos 2xsin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin xx 2＝x －32＋x 3＋sin x x 2，∴y ′＝(x-3/2)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . (4)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x＝21－x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.(5)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .8．(2016·渭南质检)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4， ∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)． ∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级 能力突破]1．(2016·昆明市高三调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.答案：C2．(2016·石家庄一检)已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 015)＋f (－2 015)＋f ′(2 016)－f ′(－2 016)＝( )A ．0B ．2 015C ．2 016D ．8解析：设g (x )＝a sin x ＋bx 3，∴f (x )＝g (x )＋4，且g (－x )＝－g (x )，所以f (2 015)＋f (－2 015)＝g (2 015)＋4＋g (－2 015)＋4＝8，又因为f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，所以f ′(x )为R 上的偶函数，则f ′(2 016)－f ′(－2 016)＝0，所以f (2 015)＋f (－2 015)＋f ′(2 016)－f ′(－2 016)＝8，故选D.答案：D3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.答案：D4．(2016·郑州模拟)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4e xe 2x ＋2e x＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. ∵e x >0，∴e x＋1ex ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同方法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋a ＋2＝2，ax 20＋a ＋2x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：86．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．解析：y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.答案：－37．已知曲线C n ：y ＝nx 2，点P n (x n ，y n )(x n >0，y n >0)是曲线C n 上的点(n ＝1,2，…)． (1)试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程，并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标； (2)若原点O (0,0)到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取得最大值，试求点P n 的坐标(x n ，y n )．解：(1)∵y ′＝2nx ，∴y ′|x ＝x n ＝2nx n ，切线l n 的方程为：y －n ·x 2n ＝2nx n (x －x n )． 即：2nx n ·x －y －n ·x 2n ＝0，令x ＝0， 得y ＝－nx 2n ， ∴Q n (0，－nx 2n )．(2)设原点到l n 的距离为d ，则d ＝|－nx 2n |2nx n2＋1＝nx 2n1＋4n 2x 2n， |P n Q n |＝x 2n ＋2nx 2n 2.所以d |P n Q n |＝n |x n |1＋4n 2x 2n ≤n |x n |2·1·|2n ·x n |＝14， 当且仅当1＝4n 2x 2n ， 即x 2n ＝14n2(x n >0)时，等号成立， 此时，x n ＝12n ，所以，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，14n .。
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版
_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2
D.
52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒
高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第11讲函数模型及其应用课件文
【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为 y＝30x－570，令 30x－570 ＝0，解得 x＝19. (2)设每个售价定为 x 元，则利润 y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－ 95)2－225]． 所以当 x＝95 时，y 最大． 【答案】 (1)19 (2)95
利用函数图象刻画实际问题
(师生共研)
(2020·高考北京卷)为满足人民对美好
生活的向往，环保部门要求相关企业加强污
水治理，排放未达标的企业要限期整改．设
企业的污水排放量 W 与时间 t 的系为 W＝f(t)，用－f（b）b－ －fa（a）的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能
力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图
【解析】 (1)设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别 为 x1 W/m2，x2 W/m2， 根据题意得 d(x1)＝9lg1×x110－13＝63， 解得 x1＝10－6， d(x2)＝9lg1×x120－13＝54， 解得 x2＝10－7，所以xx12＝10， 所以老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，故选 B．
√A．10 %
C．50 %
B．30 % D．100 %
解析：将信噪比NS从 1000 提升至 2000，C 大约增加了
Wlog2（1＋2 000）－Wlog2（1＋1 000） Wlog2（1＋1 000）
＝log22
001－log21 log21 001
001≈10.9697.9－679.967≈10%，故选
A．2 023 年
B．2 024 年
√C．2 025 年
D．2 026 年
【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以， 从 2 021 年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项 a1 ＝130，公比 q＝1＋12%＝1.12，所以 an＝130×1.12n－1.由 130×1.12n－1>200， 两边同时取对数，得 n－1>lg l2g－1l.1g21.3，又lg l2g－1l.1g21.3≈0.300－.050.11＝3.8， 则 n>4.8，即 a5 开始超过 200，所以 2 025 年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 C．
第二章函数模型及其应用
一、三种增长型函数增长速度的比较
在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y
＝xn(n>0)都是 函数，但它们增的
不同．增随长着速x度的
增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越 ，会超过并远快远大
于y＝xn(n>0)的增长速度；而y＝logax(a>1)的增长速度则会
例4．求 3 3 的近似值。（精确度0.1）
解: x=3 3
x3 3
x3 3 0 再利用二分法求近似根
解：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不 需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三 天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公 斤原材料需要保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料 的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管(x－1)天． ∴每次购买的原材料在x天内的保管费用： y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝6x2－6x.
不改变本题的条件下，材料厂家有如下优惠条件：若一 次购买不少于4 800公斤，每公斤按9折优惠，问该工厂 是否可接受此条件？
解：购买一次原材料平均每天支付总费用为 f(x)＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400×0.9＝60x0＋6x ＋534(x≥12)， f′(x)＝－6x020＋6＝6x2－x2600， 当 x≥10 时，函数 f(x)为增函数． f(x)min＝f(12)＝656， 而 714>656，故该厂可接受此条件．
解：(1)1年后该城市人口总数为 y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)． 2年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3. …
高考数学大一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测(十二)函数与方程理【含答案】
课时达标检测（十二） 函数与方程[练基础小题——强化运算能力]1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含 f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.2．函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 令f (x )＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x 12与y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象(图略)，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B. 3．若f (x )是奇函数，且x 0是y ＝f (x )＋e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (－x )e x－1 B ．y ＝f (x )e －x＋1 C ．y ＝e xf (x )－1D ．y ＝e xf (x )＋1解析：选C 由已知可得f (x 0)＝－e x 0，则e －x 0f (x 0)＝－1，e －x 0f (－x 0)＝1，故－x 0一定是y ＝e xf (x )－1的零点．4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C.5．(2016·天津六校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续的曲线，且对应值如表：则函数y 解析：依题意知f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设a 是方程2ln x －3＝－x 的解，则a 在下列哪个区间内( ) A ．(0,1) B ．(3,4) C ．(2,3)D ．(1,2)解析：选D 令f (x )＝2ln x －3＋x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上递增，且f (1)＝－2<0，f (2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f (x )在(1,2)上有零点，即a 在区间(1,2)内．2．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定解析：选C 在同一坐标系中作出函数y ＝2x，y ＝log 12x 的图象(图略)，由图象可知，当0<x 0<a 时，有2x 0<log 12x 0，即f (x 0)<0.3．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选B 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示：显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.5．(2016·山西四校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋，x <0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0，f x ＋，x <0的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得当函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，有a <1，故选C.6．(2017·湖南衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图2所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．14B ．12C ．10D ．8解析：选A 由题图可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1；由题图2知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－32或f (x )＝32或f (x )＝0.由题图1知，f (x )＝32与f (x )＝－32各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.由此可得m ＋n ＝14.故选A.二、填空题7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为1＋2，1.答案：1＋2，18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：29．(2016·湖北优质高中联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：题设可转化为两个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：1010．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1) 三、解答题11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，∵f (0)＝1>0， ∴f (2)≤0.又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m ≤－32.而当m ＝－32时，f (x )＝0在[0,2]上有两解12和2，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解， 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2－4≥0，－3<m <1，4＋m －＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋2x . 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点，作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，只需－1<a <1，故a 的取值范围为(－1,1)．。
2016届高三数学一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用2-8
A．y＝f(|x|) C．y＝f(－|x|)
①
②
B．y＝|f(x)|
D．y＝－f(|x|)
第十六页，编辑于星期五：二十点 十三分。
解析 y＝f(－|x|)＝ff－x，x，x<x0≥. 0， 答案 C
第十七页，编辑于星期五：二十点 十三分。
知识点三 用图 4.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围 是________．
第四十四页，编辑于星期五：二十点 十三分。
【规律方法】 (1)从图象的左右分布，分析函数的定义域； 从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低 点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶 性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判 断方程是否有解，有多少个解，数形结合是常用的思想方法．
则当直线y＝x＋a过点(1,0)时，a＝－1； 当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，
第四十三页，编辑于星期五：二十点 十三分。
由yy＝ ＝x－＋xa2＋，4x－3， 得x2－3x＋a＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34. 由图象知当a∈－1，－34时，方程至少有三个不等实根．
第七页，编辑于星期五：二十点 十三分。
归纳拓展：(1)平移变换： y＝f(x)hh><―00， ，―右 左→移 移y＝f(x－h)； y＝f(x)kk><―00， ，―上 下→移 移y＝f(x)＋k. (2)伸缩变换： y＝f(x)0<ω―ω><1―，1→，缩伸y＝f(ωx)； y＝f(x)0<A―A><1―，1，→伸缩y＝Af(x)；
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
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由C(0)＝ 1
k 0
0
＝24，得k＝2 400，
所以y＝ 1 5 2 4 0 0 + 0 .5 x=1 8 0 0+ 0 .5 x， x≥0.
2 0 x+ 1 0 0
x+ 5
(2)因为y＝ 1800 +0.5(x+5)- 2.5
x+5 2 18000.5 - 2.5 =57.5
当且仅当 1 8 0 0
解析： 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5) 分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝
=
所以当t＝ ＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 答案： B
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2．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持 下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用 的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨， 月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为： y＝ 1 x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工 产品2 价值为100元．
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[归纳升华]
把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关
(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是 什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学 符号语言，用数学式子表达数学关系；
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知 数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学 模型．
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考向分层突破二：函数y＝x＋ (a>0)模型
例1近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决 定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网， 安装 这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位 ：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后 采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该 企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的 面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝ k
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考向分层突破一：二次函数模型
1．(2014•北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加 工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常 数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数 据，可以得到最佳加工时间为( ) A．3.50分钟B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
x+5
＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，
所以当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．
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ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练1．某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品 的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投 入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元( 科技成本)，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第 n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝ k (k>0，k为常数， n∈Z，且n≥0)．若产品销售价保持不变，第nn次+ 投1 入后的年利润 为f(n)万元． (1)求k的值，并求出f(n)的表达式； (2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元 ？
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2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1) y＝logax(a>1)
在(0，＋∞) 上的单调性
增函数 越来越快
增函数 越来越慢
y＝xn(n>0) 增函数
相对平稳
增长速度
随x值增大，图 象与y轴接近平
行
随x值增大，图象 与x轴接近平行
随n值变化而不同
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考点 • 分类整合
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整知识·萃取知识精华 整方法·启迪发散思维
考向分层突破一 考向分层突破二 考向分层突破三
考点 • 分类整合
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型
幂函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解析： 设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－（
1 2
x2－200x＋80 000）
＝－
1 2
x2＋300x－80 000＝－12
(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
20x + 100
(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费 用与该企业15年共将消耗的电费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式． (2)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？
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解析： (1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时 的用电费用，即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费．
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解析： (1)由g(n)＝ k
，
n +1
当n＝0时， 由题意，可得k＝8，所以f(n)＝(100＋10n) (1 0 -
8 ) －100n. n +1
(2)由f(n)＝(100＋10n) (1 0 -
＝1 000－80
(
解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符
号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：