浙江省专升本《高等数学》考试大纲

浙江省普通高校“专升本”统考科目：《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。

考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。

求某点处极限，连续，和导数都要考虑其邻域。

即有左极限，右极限；左连续，右连续；左导，右导（有无定义，左导等不等于右导，对分段函数（只要有定义就要去求导，有的时候公式不能用的要用定义去求，例如）只要讨论有左右之分的分段点处）考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。

2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

3．理解函数y=ƒ(x)与其反函数y =ƒ-1(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。

4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。

5．掌握基本初等函数的性质及其图像。

6．理解初等函数的概念。

7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。

(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。

理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。

2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。

3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。

会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量替换求极限。

4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：1sin lim0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x，并能用这两个重要极限求函数的极限。

(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。

会判断分段函数在分段点的连续性。

2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。

3．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。

4．掌握闭区间上连续函数的性质：最值定理(有界性定理)，介值定理(零点存在定理)。

会运用介值定理推证一些简单命题。

总结:1。

函数定义：一个Y 对应一个X （D ，f ）2．反函数定义：一个Y 对应一个X, 一个X 对应一个Y3.基本初等函数（常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）4.复合函数：5.初等函数6．极限存在一：极限lim()f x A x =→∞的充分必要条件是lim lim()()f x f x A x x ==→-∞→+∞极限二：极限存在二lim ()f x A x x =→的充分必要条件是00lim lim ()()f x f x A x x x x -+==→→注：函数的极限和左、右极限要分开,且极限即收敛，与有界不同连续：f(x)在x 一个领域内有定义，且000lim lim ()()()f x f x f x A x x x x -+===→→三层意思：a 、领域内有定义b 、极限存在c 、极限值为函数值7、极限内定理：夹逼定理极限内定理：最值定理，介值定理（根的存在定理） 8、重要结论：一切初等函数在其定义区间上都是连续的 9、两个重要极限10、无穷小量和无穷大量：等价无穷小量公式二、一元函数微分学 (一)导数与微分1．理解导数的概念及其几何意义，了解左导数与右导数的定义，理解函数的可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3．熟记导数的基本公式，会运用函数的四则运算求导法则，复合函数求导法则和反函数求导法则求导数。

会求分段函数的导数。

4．会求隐函数的导数。

掌握对数求导法与参数方程求导法。

5．理解高阶导数的概念，会求一些简单的函数的n 阶导数。

6．理解函数微分的概念，掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性，理解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

(二)中值定理及导数的应用1．理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。

会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。

会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。

、应用介值定理和罗尔中值定理证明方程实根的个数例１ 证明等式ｘ２＝ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ恰可对两个实数ｘ成立。

证明 考虑函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ，则有ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上连续，且ｆ（－■）＞０，ｆ（０）＜０及ｆ（■）＞０．故由介值定理的推论可知，ｆ（ｘ）至少有两个零点ξ１∈（－■，０），ξ２∈（０，■），但如果ｆ（ｘ）有三个或更多的零点，则ｆ′（ｘ）至少有两个零点，但ｆ′（ｘ）＝２ｘ－ｓｉｎｘ－ｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝ｘ（２－ｃｏｓｘ），它仅有一个零点，所以ｆ（ｘ）恰好有两个零点，即等式ｘ２＝ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ恰可对两个实数ｘ成立。

2．掌握洛必达(L’Hospital)法则，会用洛必达法则求“00”，“∞∞”，“∞⋅0”，“∞-∞”，“∞1”，“00”和“0∞”型未定式的极限。

3．会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。

4．理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题。

5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

6．会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)。

7．会描绘一些简单的函数的图形。

总结：函数和极限研究的是变量之间的对应关系与变量变化的趋势，而导数、微分研究变量之间变化快慢的程度问题。

这类问题叫做变化率问题，在数学上可归结为自变量的该变量与相应的函数改变量之间的比率关系，在数学上叫导数1. 连续和导数的概念用极限来定义连续：函数在x0某领域有定义，若()()0000lim lim 0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=⎡⎤⎣⎦则称函数f （x ）在点x0处是连续的导数：函数在x0某领域有定义，()()00y f x x f x ∆=+∆-如果极限0lim x yx∆→∆∆存在，则y=f （x ）在点x0处可导，即()()()00'000limlim x x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆2. 连续和导数的求解 连续：000lim lim ()()()f x f x f x A x x x x -+===→→a 、领域内有定义b 、极限存在c 、极限值为函数值应用（一切初等函数在其定义区间上都是连续的）于求连续函数的极限 导数：导数的运算公式 隐函数的求导显函数化隐函数的方便求导法：适用于vy u =一。

u 、v 都含x ，二。

u 为分式，分子、分母都含x 的复杂形式。

参数方程的求导导数应用①单调性②函数的极值（实际问题中的最大值，最小值） 2. 反函数的求导法则：()''1()f x y ϕ=3. 高阶导数及应用 一些简单的函数的n 阶导数①''()0f x >则曲线f （x ）在区间（a ，b ）上是凹的②''()0f x >则曲线f （x ）在区间（a ，b ）上是凸的 4. 微分及其应用：推倒过程正方体金属薄片：()()2220002A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆ 因为()2x x ∆∆比高阶无穷小所以02A x x ∆≈∆不难发现0x x 'A A x =∆≈∆ 微分定义：0dy=f'（x ）dx 5. 微分的应用：微分公式6. 微分在近似计算中的应用：原理为微分推到过程即()()()000'x x f x f x x +∆≈+∆f ，当x 在0 处可推倒处近似等效公式()1,1,ln 1x xe x x x n≈+≈++≈7. 利用导数求极限：中值定理是导数应用的理论基础 ①中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理②洛必达法则：以导数为工具求未定式极限的一种简便方法 应用于0,0∞∞型 ()()()()00'lim lim'x x x x f x f x f x f x →→=其中（00lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=∞=∞或，或） 对于其他的不定时如：00,,1,0,∞⋅∞∞-∞∞型都可以通过一定的转化为0,0∞∞型 注意如果经过一次转化以上不能化简的马上换方法6．会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)①水平渐近线： 则曲线 有水平渐近线 y=b②垂直渐近线： 则曲线 有垂直渐近线 ③斜渐近线 斜渐近线推到过程：原式可得0])([lim 0])([lim =--→=--+∞→+∞→xbk x x f x b k x x f x x x,)(lim b x f x =+∞→)(x f y =,)(lim 0∞=+→x f x x )(x f y =.0x x =,0])([lim =-+∞→x f x )(b x k +有则曲线)(x f y =.b x k y +=xx f k x )(lim∞→=∴ ])([lim x k x f b x -=∞→例2. 求曲线3223-+=x x x y 的渐近线 .,)1)(3(3-+=x x x y ,lim 3∞=-→y x 所以有铅直渐近线1,3=-=x x又因为x x f k x )(lim ∞→=32lim 22-+=∞→x x x x 1=])([lim x x f b x -=∞→3232lim 22-++-=∞→x x xx x 2-=所以y=x-2为曲线的斜渐近线 . 7．会描绘一些简单的函数的图形借助单调，凹凸，极值，拐点步骤：一、确定函数定义域和某些特性（如奇偶性，周期性等）求一介导和二介导二、求零点和拐点，间断点和导数不存在的点，用这些点把定义域划分为几个部分区间三、确定这些区间内导数的符号，由此确定函数的升降、凹凸，极值点和拐点四、确定函数的水平、垂直渐近线五、算出零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形的相应点例如：描绘函数()()()()()()()()()[][)()234x x ,-33613363726',''33,3,-33,3,6,6,6,+lim f x =lim f x =-xy x x x f x f x x x →∞→=++--↓↑==++-∞-+∞∞∞及，（）1，（），的图形解：（1）所给函数的定义域为()(),3,3,-∞+∞()()()()()()34363726',''33x x f x f x x x --==++（2）()'f x 的零点为3；()''f x 的零点为x=6；x=-3是函数的间断点。