双因素方差分析
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差的定义和使用条件
双因素方差分析（Two-way ANOVA）是一种统计方法，用于分析两个因
素对实验结果的影响。
该方法主要用来检验两个因子对因变量的交互作用。
双因素方差分析特别适用于那些同时受到两个或更多因素影响的因变量研究。
使用双因素方差分析时，需要满足以下条件：
1. 独立性：各个观测值之间必须相互独立，这意味着每个观测值都不受其他观测值的干扰。
2. 正态性：样本必须来自正态分布总体。
3. 方差齐性：各个总体的方差必须相等，即抽样的总体必须是等方差的。
4. 样本容量：每个组中的观测值数量应该足够多，这样才能保证估计的参数接近真实值。
5. 满足其他假设：例如，误差项应该是随机的，并且服从均值为0的正态分布。
双因素方差分析的步骤如下：
1. 提出假设：包括主效应和交互效应的假设。
2. 方差分析表：列出观测值的数量、各组的均值和方差以及总均值和总方差。
3. F检验：通过F检验来检验主效应和交互效应的显著性。
4. 结果解释：如果F检验的结果显著，则说明主效应或交互效应对因变量有影响；否则，说明没有影响。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议咨询统计学专家或查阅统计学相关书籍。
交互作用双因子方差分析
H 03 的 拒 绝 域 为
W 03
S A SE
B 2
2
k3
（6.35）
为 了 确 定 界 限 值 k1 、k 2 、k3 ， 按 照 显 著 性 检 验 的 一 般
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统
计量的分布，
可以证明，
在 H 01 成 立 时
S A 2 r 1 ~ F r 1, rs t 1 S E 2 rs t 1
后的剩余部分，称为水平组合
Ai,Bj 的交互效应。
于 是 X ij ~ N u ij , 2 可 以 等 价 的 表 示 为 ：
X ij u ij ij u i j ij ij
ij ~ N 0, 2
，
i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这 表 明 ， 在 因 素 A, B 的 不 同 水 平 组 合 下 ， 试 验 结 果 的 相 对 差 异 u ij u （ 视 为 总 效 应 ） 是 由 如 下 四 部 分 组 成 ：
i 1 j 1 k 1
S
2 A
r
s
t
x i•• x 2
A
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S
2 B
r
s
t
x • j• x 2
B
称为因素 的主效应偏差平方和。
i 1 j 1 k 1
S 2 A B
rst
A B
x ij • x i • • x • j • x 2 称 为
的交互效应
i1 j1 k 1
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
ST 2
SE2
SA2
SB2
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
6-2双因素方差分析
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著 个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售 地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源 平方和 自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素 列因素 交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产 生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重 复 双 因 素 方 差 分 析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素 地区1
地区因素 地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363
双因素方差分析【最新】
双因素方差分析一、双因素方差分析的含义和类型（一）双因素方差分析的含义和内容在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。
例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。
在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。
同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。
双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。
双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。
（二）双因素方差分析的类型双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。
有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。
1.无交互作用的双因素方差分析。
无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；2.有交互作用的双因素方差分析。
有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。
例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。
二、数据结构方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
1273医学统计学双因素方差分析
8
F处 理
MS处 理 MS 误 差
F区 组
MS区 组 MS 误 差
如果处理（或区组）因素无作用的话，则 F 1 如果处理（或区组）因素有作用的话，则 F 1
F值越大，P值越小，越有理由认为处理（区组）因 素对实验效应（指标）产生影响。
9
案例：为研究比较甲、乙和丙3个厂家生产的某种灭蚊剂 的灭蚊效果，某市疾病预防控制中心以该市11个不同地区 的蚊群进行了室内灭蚊实验，测试了不同厂家灭蚊剂对蚊 的半数击倒时间（KT50），资料如表7.3，
问题：试分析3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果（处理因素）， 不同蚊群（区组因素）之间有没有差别。
10
11
四、分析步骤
1. 建立假设，确定检验水准 处理间：
H0: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同。 H1: 3个厂家灭蚊剂的灭蚊效果相同不同或不全相同。 区组间：
H0: 11个蚊群(区组)灭蚊效果相同相等 H1：11个蚊群(区组)灭蚊效果不同或不全相同。
均取a =0.05
12
2. 选方法并计算检验统计量F: 求基础数据：见原始表下部分 按公式求各部分SS、、 MS、F
13
1）总变异SS总及其ν总、处理组间变异SS处理及 其ν处理可按前述方法计算。
2）区组间变异反映了蚊群地区间的差异，也 包括随机误差。其计算方法类似于前述处理组间变 异，即各区组的均数（3.82、4.56、…、4.74）与 总均数（4.45）的离差的平方和。
v总 33 -1 32
15
k
∑ (2)SS处理 ni(X i - X )2 , i 1
处理 k - 1
SS处理 11 (4.10 4.45)2 11 (5.00 4.45)2
11 (4.26 4.45)2 5.06
双因素方差分析剖析
双因素方差分析剖析在双因素方差分析中，有两个主要的因素被研究。
这些因素可以是两个不同的处理条件、两个不同的处理时间、两个不同的处理剂量等。
同时，每个因素都可以有两个或多个水平（即取值范围）。
为了进行双因素方差分析，研究人员首先需要确定研究对象和目标变量。
然后他们需要确定每个因素的水平和变量的测量方法。
例如，如果他们想要研究两种不同的药物对于治疗一种疾病的效果，他们需要确定每种药物的剂量以及测量疾病症状的方法。
接下来，研究人员需要收集数据，并进行统计分析。
在双因素方差分析中，主要的统计指标是方差和F值。
方差用来衡量不同因素和不同水平之间的差异。
F值是方差之比，用来判断不同因素之间是否存在显著差异。
进行双因素方差分析之后，研究人员可以得出结论。
如果F值大于临界值，那么可以得出不同因素之间存在显著差异的结论。
如果F值小于临界值，那么就可以得出不同因素之间没有显著差异的结论。
此外，研究人员还可以通过进行后续的多重比较来进一步分析不同因素之间的差异。
常用的多重比较方法包括Tukey方法和Bonferroni方法。
然而，双因素方差分析也存在一些限制。
首先，它只能处理两个或多个因素对于一个或多个变量的影响。
如果有更多的因素需要考虑，就需要进行更复杂的分析方法。
其次，双因素方差分析假设变量的分布是正态分布的，并且各组之间的方差是相等的。
如果数据不符合这些假设，就需要采用其他的非参数方法进行分析。
总之，双因素方差分析是一种常用的统计方法，可以帮助研究人员研究两个或更多因素对于一个或多个变量的影响。
它可以帮助确定不同因素之间的重要性，并且可以探索不同因素之间的相互作用。
然而，研究人员需要在收集数据和进行分析时注意假设的前提条件，并且需要根据具体情况选择合适的统计方法。
双因素方差分析
这种各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响 在统计上称为交互作用. 各因素间是否存在交互作用是 多因素方差分析新产生的问题.
一、无交互作用的方差分析
考虑的因素记为A的第i种效应和因素B的第j 种效应分 别记作αi , βj，试验误差记作εij，其数据结构如下：
第7.3节 双因素方差分析
一、无交互作用的方差分析 二、有交互作用的方差分析 三、利用Excel进行双因素方差分析的步骤
在许多实际问题中, 往往需要同时考察几个因素对指 标的影响，这种同时研究两个因素对试验指标影响的方 差分析，就是 双因素方差分析 (double factor analysis of variance)问题.
B1
B2
B3
A1
390 380 440 420 370 350
A2
390 410 450 430 370 380
解 由Excel软件依次单击：工具-数据分析-方差分析：可重 复双因素方差分析, 如下图
单击“确定”后，得分析结果如下：
由此可见，因素B显著，而因素A和A与B交互作用都 不显著．下面着重考察因素B.
方差来源 平方和 自由度
A B 误差 总和
Q1
r-1
Q2
s-1
Q3 (r-1)(s-1)
Q
rs-1
均方 S12 S22 S32
F值 S12/S32 S22/S32
显著性
二、有交互作用的方差分析
如果因素A 和因素B 没有交互作用， 则只需要在各 个组合水平下各做一次试验就可以进行方差分析．
但是如果因素A 和因素B 有交互作用，这时必须在 各个组合水平下做重复试验方可进行方差分析．
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ni
Xi
6 4.33 124
(n)
(X)
X i2
( X 2 )
SPSS统计分析-07选修
操作提示： 1、数据文件格式
SPSS统计分析-07选修
本题的操作提示： 单击Analyze/General Linear Model/ Univariate…统计分析/一般线性模型/单变量方差 分析选项，打开单变量方差分析主对话框， 将待分析变量和分组变量选入相应的变量列 表中； 单击Model ,全因素模型；模型含截距，系统默认
SPSS统计分析-07选修
多重比较
Multiple Com parisons Dependent Variable: 生 词数 Bonferroni Mean Difference (I-J) Std. Error -2.00 .871 -4.27* .914 2.00 .871 -2.27 .914 4.27* .914 2.27 .914
组内变异
a. R Squared = .609 (Adjusted R Squared = .553)
总变异
SPSS统计分析-07选修
均数估计
指导 措施 Dependent Variable: 生 词 数 指 导 措施 1 2 3 Mean 4.333 6.333 8.600 Std. Error .616 .616 .675 95% Confidence Interval Lower B ound Upper Bound 3.012 5.654 5.012 7.654 7.153 10.047
3、结果解释
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 测 验得 分 Source Corrected Model Intercept 准 备时 间 焦 虑程 度 准 备时 间 * 焦 虑程 度 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 470.000a 5070.000 140.000 270.000 60.000 174.000 5714.000 644.000 df 5 1 2 1 2 24 30 29 Mean Square 94.000 5070.000 70.000 270.000 30.000 7.250 F 12.966 699.310 9.655 37.241 4.138 Sig. .000 .000 .001 .000 .029
SPSS统计分析-07选修
表 不同指导措施下各组被试者所记住的生词数 第一组 第二组 第三组 合计 （i=1） （i=2） （i=3） 5 10 5 7 9 6 8 10 X ij 3 5 7 6 8 7 3 5 3
X 26
i
19
6 6.33 252
20
5 8.60 379
( X )
107
17 6.29 755
单击Post Hoc Tests for,选择Bonferroni方差齐 性检验；
SPSS统计分析-07选修
本题的操作提示： 单击Options选项，打开选项对话框，选择描 述统计量；方差齐性检验； 单击OK完成。
SPSS统计分析-07选修
2、结果解释
Descriptive Sta tistics Dependent Variable: 生 词数 指 导措 施 1 2 3 Total Mean 4.33 6.33 8.60 6.29 Std. Deviation 1.506 1.506 1.517 2.257 N 6 6 5 17
单击模型选项，选择自定义模型，选择Build Term(s)分析效应选项中的Main effects只考虑 主效应不考虑交互效应。 去除Include intercept in model
确定返回，单击ok完成.
SPSS统计分析-07选修
结果解释
处理因素
Tests of Between-Subjects Effects
a. R Squared = .928 (Adjusted R Squared = .896)
随机误差
区组因素
SPSS统计分析-07选修
5.3.2 完全随机单因素方差分析Univariate的实现
例5-4 为研究详尽复述在记忆中的作用，某研究者 随机抽取了17个受试对象。按完全随机设计方案将 他们分为三组，要求每组受试者都记忆10个生词， 生词内容和难度对每组受试者都是一样的，但给予 不同的指导：第一组的受试者可以通过反复朗读单 词来记忆；第二组的受试者可以通过查生词的意思 来记忆；第三组的受试者可以通过寻找生词之间的 联系来记忆。在经过一段时间记忆后，要求受试者 写出所记住的生词，统计记住生词个数，结果见下 表。试问不同指导措施在记忆中的作用是否相同？
2、本题操作提示： 单击Analyze/General Linear Model/ Univariate…统计分析/一般线性模型/单变量方差 分析选项，打单变量方差分析主对话框，
选择分析变量和处理因素；
单击其它选项，选择描述性统计量、方差齐性 检验，确定返回
单击ok完成.
SPSS统计分析-07选修
协变量 WLS权重
SPSS统计分析-07选修
定义模型类型 全因素模型 自定义模型
因变量 和协变量
分析效应选项
交互效应 主效应 2阶交互效应 3阶交互效应 4阶交互效应
计算离差 平方和方法
模型内 含有截距
SPSS统计分析-07选修
均数估计
模型主效应与 交互效应因素
输出框内因 素的均数估计
SPSS统计分析-07选修
SPSS统计分析-07选修
焦虑 程度 高焦 10 虑 9
准备时间
0小时 5 7 4 11 8 1小时 9 5 7 19 17 2小时 13 15 11
低焦 18 16 虑
14
16 11
19
16
17
13
15
20
19
18
16
12
SPSS统计分析-07选修
5.2.1 SPSS软件操作served means. *. The mean difference is significant at the .05 level.
SPSS统计分析-07选修
练习5-1 为研究不同的唤醒水平下完成相同难度 任务的作业成绩是否有差异，在同一城市中随机选 取6个学校，在每个学校同一年级（如六年级）的学 生中随机抽取3名被试者。让他们在一定时限内， 接受3种不同的唤醒水平下完成适宜的相同难度任 务，记录其成绩，见下表。
焦虑程 度 高焦虑 低焦虑 10 9
准备时间
0小时 5 14 7 4 11 8 16 18 16 16 11 19 1小时 9 5 17 7 13 15 19 20 17 19 2小时 13 18 15 16 11 12
SPSS统计分析-07选修
1、录入数据文件
因素A
因素B
因变量
SPSS统计分析-07选修
因素B
因变量
SPSS统计分析-07选修
单击Analyze/General Linear Model/ Univariate…统计分析/一般线性模型/单变量方差 分析选项，打开单变量方差分析主对话框
因变量
SPSS统计分析-07选修
模型
因素内水 平比较
固定因素 随机因素
交互效 应轮廓图 存入新变量
多重比较 选项
(I) 指 导措 施 1 2 3
(J) 指 导措 施 2 3 1 3 1 2
Sig. .113 .001 .113 .079 .001 .079
95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -4.37 .37 -6.75 -1.78 -.37 4.37 -4.75 .22 1.78 6.75 -.22 4.75
三组总体方差非齐性。
SPSS统计分析-07选修
方差分析
组间变异
Tests of Be tween-Subjects Effects Dependent Variable: 生 词 数 Source Corrected Model Intercept 指 导 措施 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 49.663a 696.008 49.663 31.867 755.000 81.529 df 2 1 2 14 17 16 Mean Square 24.831 696.008 24.831 2.276 F 10.909 305.778 10.909 Sig. .001 .000 .001
SPSS统计分析-07选修
小鼠区 组编号
处理因素 甲 乙 丙 丁
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.525
0.525 0.700 0.600 0.300 0.325 0.625 0.600 0.725 0.725 0.700
0.300
0.600 0.500 0.200 0.150 0.400 0.625 0.325 0.500 0.200 0.500
0.425
0.150 0.375 0.425 0.600 0.150 0.300 0.525 0.500 0.375 0.300
0.200
0.150 0.250 0.050 0.025 0.100 0.175 0.475 0.425 0.050 0.250
12
0.575
0.300
0.125
0.050
Dependent Variable: 测 量指 标 Source Model 处 理组 区组 Error Total Type III Sum of Squares 8.059a .937 .390 .621 8.679 df 15 3 11 33 48 Mean Square .537 .312 3.550E-02 1.881E-02 F 28.561 16.603 1.887 Sig. .000 .000 .078