自动控制 第6章-4 根轨迹校正法
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6.4 根轨迹法串联校正 6.4.1 根轨迹法设计的基本思想 6.4.2 超前校正装置的根轨迹设计 6.4.3 滞后校正装置的根轨迹设计
1
6.4.1 根轨迹法设计的基本思想
性能指标以时域量形式给出时，适合于采用根 轨迹法设计串联校正装置。给出的时域指标如
阻尼比 Hale Waihona Puke Baidu自然振荡频率 n
最大超调量 %
调整时间 ts
5
4
A
0.5
4
3
2
1
0
O
-1
-2
-3
-4
B 0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原根轨迹不可能通过期望闭环极点，必 须采用超前校正
Exam6_4_10.m
13
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
3)AD和AE与实轴的交点为 校正网络的极点和零点
A’
A
pc
zc
D CE
O
pc 5.4 zc 2.9
16
超前校正网络为
Gc (s)
s zc s pc
s 2.9 s 5.4
pc 5.4 zc 2.9
5）串联校正网络后的系统开环传函为
G(s)
G0 (s)Gc
(s)
Kg s(s
(s 2.9) 2)(s 5.4)
7
4）计算超前网络需要提供的相角 c
G0 (s) 原系统的传函 Gc (s) 超前网络的传函
串联校正后的系统开环传函为
G(s) Gc (s)G0 (s)
由根轨迹的相角条件有
Gc (s1) G0 (s1) (2k 1) c Gc (s1) (2k 1) G0 (s1)
8
5）根据计算的 c ，用图解法确定超前网络的零极点
设计时一般根据性能指标要求确定闭环主导极 点，设计校正装置，使校正后的根轨迹通过期望的 闭环主导极点
2
1.性能指标的转换
根据性能指标要求确定闭环主导极点。
1)如果给定的期望指标是阻尼比和自然振荡频率， 则闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
对于闭环主导极点s1,有
arccos
j
s1
n
zc , pc 靠近原点，构成偶极子
一般
c 5
偶极子对s处的根轨迹影响很小
6
6.4.2 超前校正装置的根轨迹设计 超前网络与系统串联后，使根轨迹向左移动，
以增大系统的阻尼比 和自然振荡频率n 设计步骤： 1）做出原系统的根轨迹，分析性能，确定校正形式 2）根据性能指标要求，确定期望闭环主导极点位置s1 3）若原系统根轨迹不通过s1，说明单靠调整放大系数 无法获得期望的闭环主导极点，必须引入超前校正。
rlocus(sys1,sys2); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
Conv用于两个多项式相乘
Tf用于定义传函系统
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
0.5
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正 5
4
0.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
Sgrid（Z,Wn）绘制等阻尼比线和等Wn线，Z 和Wn 是一维数组
14
3）计算 c
取点 s1 2 j2 3
G0 (s)
4 s(s
程序绘制根轨迹 使用函数rlocus
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原系统的根轨迹 Exam6_4_1.m
11
2）根据性能指标计算闭环主导极点
% 20% 0.456 取 0.5
n 1 2
s1 n
n
3
2）如果给定超调量和调节时间，则有
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
n
闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
4
2.串联超前校正网络的影响 超前网络传函为
sj
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
pc zc 0 极点总在零点左侧
p z
pc
G0 (s)
4 s(s
2)
原传函中的增益4融入Kg,由幅值条件求Kg
17
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; sys1=tf(num,den);
num=[1,2.9]; den=conv([1,2,0],[1,5.4]); sys2=tf(num,den);
位置，得网络的传函 (图解法在例题中详细介绍)
6）绘制校正后的根轨迹，由幅值条件确定校正后的
根轨迹增益 K g
9
【例6.4.1】某典型二阶系统的开环传递函数为
G0 (s)
4 s(s
2)
要求性能指标： % 20% ts 2s
试用根轨迹法确定串联超前校正装置
解：1）绘制原系统的根轨迹
10
% 例6.4.1 超前校正 num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
2)
G0 (s1) (s1) (s1 2) 150
所以
c (2k 1) G0 (s1) 30
15
4）用图解法确定校正网络的零极点 在未提出稳态误差要求时，一般方法是：
(1)过极点A作水平线A’， 连AO，作 OAA' 的角平分 线AC
(2)在AC两侧分别做张角为 0.5c 的两条直线AD和AE
zc
超前网络产生的相角 c z p 0
c 不宜太大，否则难以实现
超前网络会使系统根轨迹向左移动
5
3.串联滞后校正网络的影响 滞后网络传函为
s j
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
z p zc pc
zc pc 0 零点总在极点左侧 滞后网络产生的相角 c z p 0
60
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
2s
n
3.5
期望主导极点A、B位置
取 n 4
s1,2 n jn 1 2 2 j2 3 2 3.46 j
12
虚线圆周代表
n 4 直线代表 0.5
直线与圆周交点即 为期望闭环极点
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
1
6.4.1 根轨迹法设计的基本思想
性能指标以时域量形式给出时，适合于采用根 轨迹法设计串联校正装置。给出的时域指标如
阻尼比 Hale Waihona Puke Baidu自然振荡频率 n
最大超调量 %
调整时间 ts
5
4
A
0.5
4
3
2
1
0
O
-1
-2
-3
-4
B 0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原根轨迹不可能通过期望闭环极点，必 须采用超前校正
Exam6_4_10.m
13
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
3)AD和AE与实轴的交点为 校正网络的极点和零点
A’
A
pc
zc
D CE
O
pc 5.4 zc 2.9
16
超前校正网络为
Gc (s)
s zc s pc
s 2.9 s 5.4
pc 5.4 zc 2.9
5）串联校正网络后的系统开环传函为
G(s)
G0 (s)Gc
(s)
Kg s(s
(s 2.9) 2)(s 5.4)
7
4）计算超前网络需要提供的相角 c
G0 (s) 原系统的传函 Gc (s) 超前网络的传函
串联校正后的系统开环传函为
G(s) Gc (s)G0 (s)
由根轨迹的相角条件有
Gc (s1) G0 (s1) (2k 1) c Gc (s1) (2k 1) G0 (s1)
8
5）根据计算的 c ，用图解法确定超前网络的零极点
设计时一般根据性能指标要求确定闭环主导极 点，设计校正装置，使校正后的根轨迹通过期望的 闭环主导极点
2
1.性能指标的转换
根据性能指标要求确定闭环主导极点。
1)如果给定的期望指标是阻尼比和自然振荡频率， 则闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
对于闭环主导极点s1,有
arccos
j
s1
n
zc , pc 靠近原点，构成偶极子
一般
c 5
偶极子对s处的根轨迹影响很小
6
6.4.2 超前校正装置的根轨迹设计 超前网络与系统串联后，使根轨迹向左移动，
以增大系统的阻尼比 和自然振荡频率n 设计步骤： 1）做出原系统的根轨迹，分析性能，确定校正形式 2）根据性能指标要求，确定期望闭环主导极点位置s1 3）若原系统根轨迹不通过s1，说明单靠调整放大系数 无法获得期望的闭环主导极点，必须引入超前校正。
rlocus(sys1,sys2); sgrid([0.5],[4]) title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
Conv用于两个多项式相乘
Tf用于定义传函系统
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
0.5
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正 5
4
0.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.5
4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
Sgrid（Z,Wn）绘制等阻尼比线和等Wn线，Z 和Wn 是一维数组
14
3）计算 c
取点 s1 2 j2 3
G0 (s)
4 s(s
程序绘制根轨迹 使用函数rlocus
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Real Axis
原系统的根轨迹 Exam6_4_1.m
11
2）根据性能指标计算闭环主导极点
% 20% 0.456 取 0.5
n 1 2
s1 n
n
3
2）如果给定超调量和调节时间，则有
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
n
闭环主导极点为
s1,2 n jn 1 2
4
2.串联超前校正网络的影响 超前网络传函为
sj
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
pc zc 0 极点总在零点左侧
p z
pc
G0 (s)
4 s(s
2)
原传函中的增益4融入Kg,由幅值条件求Kg
17
% 例6.4.1 超前校正 clc; clear; num=1; den=[1,2,0]; sys1=tf(num,den);
num=[1,2.9]; den=conv([1,2,0],[1,5.4]); sys2=tf(num,den);
位置，得网络的传函 (图解法在例题中详细介绍)
6）绘制校正后的根轨迹，由幅值条件确定校正后的
根轨迹增益 K g
9
【例6.4.1】某典型二阶系统的开环传递函数为
G0 (s)
4 s(s
2)
要求性能指标： % 20% ts 2s
试用根轨迹法确定串联超前校正装置
解：1）绘制原系统的根轨迹
10
% 例6.4.1 超前校正 num=1; den=[1,2,0]; rlocus(num,den); title('例6.4.1 超前校正') axis([-3,0.5,-5,5]);
2)
G0 (s1) (s1) (s1 2) 150
所以
c (2k 1) G0 (s1) 30
15
4）用图解法确定校正网络的零极点 在未提出稳态误差要求时，一般方法是：
(1)过极点A作水平线A’， 连AO，作 OAA' 的角平分 线AC
(2)在AC两侧分别做张角为 0.5c 的两条直线AD和AE
zc
超前网络产生的相角 c z p 0
c 不宜太大，否则难以实现
超前网络会使系统根轨迹向左移动
5
3.串联滞后校正网络的影响 滞后网络传函为
s j
Gc (s)
Kc
s s
zc pc
补充一个零点和一个极点
z p zc pc
zc pc 0 零点总在极点左侧 滞后网络产生的相角 c z p 0
60
% e 1 2 100%
ts
3.5
n
2s
n
3.5
期望主导极点A、B位置
取 n 4
s1,2 n jn 1 2 2 j2 3 2 3.46 j
12
虚线圆周代表
n 4 直线代表 0.5
直线与圆周交点即 为期望闭环极点
Imaginary Axis
例6.4.1 超前校正