吉林大学_陈殿友--线性代数(第4章)

由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b）的 列向量组α1，α2，…，αm , b之间也有一一对应的关系。
二、线性组合
定义3 给定向量组A: α1,α2,…,αm ,对于任何一组实数 k1, k2,…, km ,向量
k1α1 + k2α2 + … + kmαm
称为向量组A的一个线性组合, k1, k2, … , km称为这个线性 组合的系数。
第四章 向量组的线性相关性
§1 n维向量 一、n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 ,L, an 所组成 的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数
ai 称为第 i 个分量。
⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ a2 ⎟ 列向量α ＝ ⎜ ⎜M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠
四、向量组的线性相关性
定义5 给定向量组A: α1 , α2 , … , αm ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，... ， km，使
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。 1）一个向量 α 线性相关的充分必要条件是 α＝0。 2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。 3）三个向量线性相关的几何意义是三向量共面。
bj = k1j α1 + k2j α2 + … + kmj αm
= ( α1, α2, …, αm )
⎛ k1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ k2 j ⎟ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎝ mj ⎠
⎛ k11 ⎜ ⎜ k21 ⎜ M ⎜ ⎜k ⎝ m1
从而 ( b1 , b2 ,… , bs ) = ( α1 , α2 , … , αm )
k12 L k1s ⎞ k22 L k2 s ⎟ ⎟. M M M ⎟ ⎟ km 2 L kms ⎟ ⎠
这里，矩阵Km×s= ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵。
由此可知，若 C m×n = Am×s Bs×n ,则矩阵C的列向量组 能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩
⎛ b11 b12 L b1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b21 b22 L b2 n ⎟ ; ( c1 ,c2 , … , cn ) = (α1 , α2 , … , αs ) ⎜ M M M M ⎟ ⎜ ⎜b b L b ⎟ ⎟ sn ⎠ ⎝ s1 s 2 同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示，A为这一 表示的系数矩阵： ⎛ γ 1T ⎞ ⎛ a11 a12 L a1s ⎞ ⎛ β1T ⎞ ⎜ T⎟ ⎜ ⎟⎜ T ⎟ ⎜ γ 2 ⎟ ⎜ a21 a22 L a2 s ⎟ ⎜ β 2 ⎟ ⎜ M ⎟=⎜ M ⎜ M ⎟. M M M ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ T ⎟ ⎜ γ T ⎟ ⎜ am1 am 2 L ams ⎟ ⎜ β ⎟ ⎠⎝ s ⎠ ⎝ m ⎠ ⎝
1 3 = 0 6
所以，方程组有非零解，即存在不全为零的 x1 , x2 , x3 使（1）成立。故向量组α1T, α2T, α3T是线性相关的。
2）设有x1, x2, x3 使
x1β1T + x2β2T + x3β3T = 0
（2）
即
⎧ x1 + ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1 0 0 1 2 1
x2 + 2 x2 x2 +
e2T = ( 0, 1, … ,0 ),… ,enT= ( 0, 0, …, 1) , 讨论向量组的线性
相关性。 解 显然
αT = a1e1T +a2e2T + … + anenT
由定理2知，向量组 αT, e1T , e2T , … , enT 线性相关。
定理3 设 α1 , α2 , … , αm 线性无关，而 α1，α … … ，α 线性 2， ，αm，β 线性相关，则 β 能由 α1，α2， m 表示，且表示式是唯一的。 证 因 α1，α2，…，αm，β 线性相关，故有k1,…,km,km+1 不全为 0 ，使
三、n维向量的运算律
设 1) 2) 3) 4) 5) 6)
α ， β ， γ 为n维向量，k、l为实数，0为零向量。 α+β=β+ α α+β+γ=α+(β+γ) α+0=α α+(–α)=0
1·α = α
k ( l α ) =( k l ) α
α β 7) k ( α + β ) = kα + kβ α α 8) ( k + l ) α = kα + lα
§2
向量组的线性相关性
一、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。 例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量
⎛ a1 j ⎞ ⎜ a2 j ⎟ ⎟ , ( j = 1, 2, L , n ) αj =⎜ ⎜ M ⎟ ⎜ ⎜a ⎟ ⎟ ⎝ mj ⎠
它们组成的向量组 α1,α2,…,αn称为矩阵A的列向量组。
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
不妨设 k1 ≠ 0，从而有
k2 k3 km α1 = − α 2 − α 3 − L − α m k1 k1 k1
即 α1能由其余的 m-1个向量线性表示。
例2 设 αT = ( a1 , a2 , … , an ) , e1T = ( 1, 0, … , 0 ),
⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ + 2⎜1⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
α +2 β ＝
⎛ −1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ + ⎜ 2⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
3α － β ＝
⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
m×n矩阵A又有m个n维行向量 αiT=( ai1,ai2,…,ai n ), ( i=1,2,…m )
它们组成的行向量组α1T,α2T,…,αmT 称为矩阵A的行向 量组。 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵。例如：
m个n维列向量所组成的向量组α1,α2,…,αm构成一个 n×m矩阵 A=( α1,α2,…,αm ) ;
4）一个向量α是线性无关的充分必要条件是 α ≠ 0。 5）两个向量线性无关的充分必要条件是它们对应的 分量不成比例。 例1 判断下列向量组的线性相关性。 1) α1T = ( 1, 1, 1), α2T = ( 0, 2, 5 ), α3T = ( 1, 3, 6 ) 2) β1T = ( 1, 0, 0, ), β2T = ( 1, 2, 1 ), β3T =( 1, 0, 1 ) 解 1）设有 x1, x2, x3 使 即 （1）
综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成 矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即 B 的行向量组能由A的行向量线性表示。由于初等变换可逆， 则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能 由B 的行向量组线性表示。于是 A的行向量组与B的行向量 组等价。 同理可知，若矩阵A经过初等列变换变成矩阵B，则A 的列向量组与B的列向量组等价。 等价矩阵所对应的线性方程组是同解方程组。
有解。由上章的定理3，即可得到
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件 是矩阵 A = ( α1 , α2 , … , αm ) 的秩等于矩阵 B =( α1 , α2 , … , α m , b )的秩。
三、等价向量组
定义4 设有两个向量组A: α1 , α2 , … , αm 及B: b1 , b2 ,…, bs ,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向 量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相 互线性表示，则称这两个向量组等价。 把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( α1,α2,…,αm ) 和B=( b1 , b2 ,… , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2 , … , s ) 存在数k1j , k2j , … , kmj ,使
行向量 零向量 负向量
α
T
= ( a1 ,
a2 , L ,
an )
0 = ( 0, 0, L , 0 )
−α = ( −a1 , −a2 , L , −an )
T
T
二、n维向量的运算
2 定义2 设n维向量
α = ( a1 , a2 , L , an )
β = ( b1 , b2 , L , bn )
k1α1 + … + kmαm + km+1β = 0
要证β 能由 α1, α2, … , αm 线性表示，知须证明 km+1 ≠ 0 。 用反证法，假设 km+1= 0 , 则 k1, k2, … , km不全为 0 ，且有
k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0
线性表示 给定向量组A: α1,α2,…,αm和向量 b , 如果存 在一组数 λ1 , λ2 , … , λm ,使
b = λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量 组A线性表示。 向量组b能由向量组A线性表示，也就是线性方程组
x1α1 + x2α2 + … + xmαm = b
αm= λ1α1 + λ2α2 + … + λm-1αm-1