线性代数23课xm5-3吉林大学《线性代数》
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识梳理
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识梳理吉林省考研数学复习资料：线性代数重点知识梳理一、向量空间在线性代数中，向量空间是研究线性变换、矩阵、线性方程组等重要概念的基础。
了解向量空间的性质对于数学复习至关重要。
向量空间的定义如下：定义 1：设V是一组向量的集合，并且满足以下条件：1. 每个向量的加法封闭性：对于任意的u、v∈V，u+v∈V；2. 向量与标量的乘法封闭性：对于任意的u∈V和a∈R（实数域），au∈V；3. 存在零向量0：对于任意的u∈V，u+0=u；4. 对于每个向量u∈V，存在与之对应的负向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
基于向量空间的定义，我们可以推导出一系列的性质和重要结论。
二、线性方程组与矩阵线性方程组和矩阵是线性代数的重要概念和工具。
线性方程组可以表示为矩阵的形式，研究线性方程组的解的性质可以通过矩阵的运算和特征来进行分析。
1. 线性方程组的表示线性方程组可以表示为以下形式：Ax=b，其中A为一个m×n的矩阵，x为n维列向量，b为m维列向量。
矩阵A的行数m表示方程组的数量，列数n表示未知数的数量。
2. 线性方程组的解的存在性和唯一性对于线性方程组，我们关注它的解的存在性和唯一性。
这可以通过矩阵的秩和行列式等性质进行判断。
- 若方程组无解，则矩阵A的秩r(A) 与增广矩阵[A b]（将b增加在A矩阵的右侧）的秩r([A b]) 不相等。
- 若方程组有解，则可以通过高斯消元法或矩阵的逆来求解。
3. 矩阵的运算与性质矩阵的加法、乘法等运算是线性代数中的基本操作。
- 矩阵的加法：设A和B为同维数的矩阵，定义A和B的加法为A+B=C，其中C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。
- 矩阵的乘法：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，定义A和B的乘法为C=AB，其中C是一个m×p的矩阵，C的每个元素等于A的对应行与B的对应列的乘积之和。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。
所以该课程的地位与作用也更为重要。
通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。
如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。
把握线性代数的体系结构。
从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。
并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。
“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。
“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。
在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。
其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。
吉林大学线性代数全集PPT精选文档
第一章 行列式
本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉
默（Cramer）法则。
5
§1 阶行列式的定义
一、n阶行列式的引出
1、 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
6
用消元法求解，得：
(a1a 122a1a 221 )x1b1a22a1b 22 (a1a 122a1a 221 )x2a1b 12b1a21
3
x2
D2 D
1
x3
D3 D
1
21
3. n元线性方程组
a11x1a12x2
a21
x
1
a22
x2
an1x1 an2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
annxn bn
22
构造：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
n
tt1t2tn ti
i1
28
例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：
t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于 把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对 换（将一个排列中任意两个元素对调， 其余的元素不动，这种作出新排列的手 续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
9
方程组的解可以写成：
x1
x
吉林大学_陈殿友--线性代数(第3章)
(4)
3
4
－2 3 + 4
（5）
于是得
⎧ x1 ⎪ ⎨ x2 ⎪x ⎩ 4
= x3 = x3 =
+ 4 + 3 − 3
其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方 程组可记为：
⎛1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ c + 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ c + 3 ⎟ x = ⎜ ⎟=⎜ 即 x = c⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ x3 c 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 0 ⎠ ⎝ − 3⎠
如在例1中，我们已经计算
⎛1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2 3 −5 ⎟ ⎜4 7 1 ⎟ ⎝ ⎠
的秩为2，将A施行初等变换得
3 ⎞ ⎛1 2 ⎜ ⎟ A ⎜ 0 −1 −11⎟ ⎜ 0 −1 −11⎟ ⎝ ⎠
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换 一.引例
求解线性方程组
⎧ 2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 ⎪ x + x − 2x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪4x1 − 6x2 + 2x3 − 2x4 = 4 ⎪ ⎩3x1 + 6 x2 − 9x3 + 7 x4 = 9
⎧ 2x1 − x2 − x3 + x4 = 2 ⎪ x + x − 2x + x = 4 ⎪ 1 2 3 4 ⎨ 4 x − 6 x + 2 x − 2 x = 4 1 2 3 4 ⎪ ⎪ ⎩3x1 + 6x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9
《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识.docx
《线性代数》知识点归纳整理-⼤学线代基础知识.docx 《线性代数》知识点归纳整理诚毅学⽣编01、余⼦式与代数余⼦式................................................................... - 2 -02、主对⾓线............................................................................. - 2 -03、转置⾏列式........................................................................... - 2 -04、⾏列式的性质......................................................................... - 3 -05、计算⾏列式........................................................................... - 3 -06、矩阵中未写出的元素................................................................... - 4 -07、⼏类特殊的⽅阵....................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则....................................................................... - 4 -09、矩阵多项式........................................................................... - 6 -10、对称矩阵............................................................................. - 6 -11、矩阵的分块........................................................................... - 6 -12、矩阵的初等变换....................................................................... - 6 -13、矩阵等价............................................................................. - 6 -14、初等矩阵............................................................................. - 7 -15、⾏阶梯形矩阵与⾏最简形矩阵......................................................... - 7 -16、逆矩阵............................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题............................................................... - 8 -18、伴随矩阵............................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形：....................................................................... - 9 -20、矩阵的秩：........................................................................... - 9 -21、矩阵的秩的⼀些定理、推论............................................................. - 9 -22、线性⽅程组概念....................................................................... - 10 -23、齐次线性⽅程组与⾮齐次线性⽅程组（不含向量）......................................... - 10 -24、⾏向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................. - 11 -25、线性⽅程组的向量形式................................................................. - 11 -26、线性相关与线性⽆关的概念.......................................................... - 12 -27、向量个数⼤于向量维数的向量组必然线性相关............................................ - 12 -28、线性相关、线性⽆关；齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. - 12 -29、线性表⽰与线性组合的概念.......................................................... - 12 -30、线性表⽰；⾮齐次线性⽅程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................... - 12 -31、线性相关（⽆关）与线性表⽰的3个定理................................................. - 12 -32、最⼤线性⽆关组与向量组的秩........................................................... - 12 -33、线性⽅程组解的结构................................................................... - 12 -01、余⼦式与代数余⼦式a 22 a 23对M ii 的解释：划掉第1⾏、第1列，剩下的就是⼀个⼆阶⾏列式a a ,这个 a 32 a 33⾏列式即元素an 的余⼦式M ii 。
吉林大学《线性代数》线性代数22课xm5-1
长度
x y | x || y | cos
(x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
|| x || 1，单位向量
长度性质
(i)x 0 || x || 0; x 0 || x || 0
(ii) || x ||| | || x ||
正交矩阵的性质
( A1 )T ( AT )1 ( A1 )1 AT A E | AT | | A | 1 | A |2 1 | A | 1 AT A1 , BT B1 ( AB)T BT AT B1 A1 ( AB)1
正不改变长度，常见的反射和旋转变换都是正交变换
夹角与正交
[x, y] 1 || x || || y ||
x 0, y 0
arccos [x, y]
|| x || || y || [x, y] 0，正交 x 0，与所有向量正交。
正交向量组
❖ 两两正交的向量组称为正交向量组
证明：设有1, 2 ,L r 使得1a1 2a2 L rar 0
a1T a2T
1 1
1 2
1 1
Ax 0
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
A
~
1 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1
0
x1 x3 x2 0
1 1
基础解系
0
,
a3
0
1
1
规范正交基
规范正交基便于计算坐标
a 1e1 2e2 L rer
[b1 , b1 ]
b2
a2
[a2 [b1
, ,
b1 b1
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数是现代数学的一个重要分支，是许多领域的基础和工具。
它主要研究线性方程组、向量空间、线性变换和矩阵等数学概念和方法。
在各个学科领域，包括物理学、计算机科学、经济学和工程学等，线性代数都有着广泛的应用。
本文将对线性代数的主要知识点进行总结。
1. 向量与向量空间向量是线性代数中的基本概念，它包含有大小和方向的信息。
向量可以是二维、三维甚至更高维度的。
向量的加法和数乘运算满足一定的性质，构成了向量空间。
向量空间是一组向量的集合，这些向量满足一定的运算规则。
2. 矩阵与线性变换矩阵是线性代数中的重要概念，它由数表组成，具有行和列的结构。
矩阵可以表示线性方程组，通过矩阵的运算，可以求解线性方程组的解。
线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它可以用矩阵表示。
矩阵乘法是线性代数中的一种重要运算，它将一个矩阵映射到另一个矩阵。
3. 行列式与特征值特征向量行列式是一个数值，它可以判断一个矩阵是否可逆。
当行列式不等于零时，矩阵可逆，否则不可逆。
特征值和特征向量是矩阵的另一个重要概念。
特征值是一个数，它表示线性变换沿着特定方向的伸缩因子。
特征向量是一个非零向量，它在线性变换下只发生伸缩而不改变方向。
4. 线性方程组线性方程组是线性代数中的核心概念之一，它描述了变量之间的线性关系。
线性方程组可以由矩阵表示，并通过矩阵的运算来求解。
高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它通过对方程组进行一系列的消元操作将其化为简化形式。
矩阵的秩表示矩阵的行（列）向量组的最大线性无关组的个数，可以用来判断线性方程组的解的情况。
5. 特殊矩阵与特殊向量在线性代数中，有一些特殊矩阵和特殊向量具有重要的性质和应用。
对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它本身，它具有很多重要的性质和应用。
正交矩阵是指矩阵的转置矩阵等于它的逆矩阵，它在几何变换中起到了重要的作用。
零空间是线性变换的核的子空间，它包含了所有使线性变换为零的向量。
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点整理
吉林省考研数学复习资料线性代数重点知识点整理线性代数是数学中的一个重要分支，也是吉林省考研数学科目中的重点内容之一。
本文将对数学复习资料中线性代数的重点知识点进行整理，以帮助考生更好地复习准备考试。
一、向量空间向量空间是线性代数中的基本概念，也是本科线性代数课程的重点内容之一。
下面是向量空间的一些重要性质和定义：1. 向量空间的定义向量空间是一个满足若干性质的集合，其中包含了向量的加法和数乘运算。
一个向量空间必须满足以下四个条件：封闭性、交换律、结合律和存在零向量。
2. 线性无关性与生成子空间线性无关性是向量空间中一个重要的概念，它描述了向量之间的关系。
线性无关的向量可以生成一个子空间，该子空间称为生成子空间。
生成子空间是向量空间中另一个重要的概念，它由向量组中的所有线性组合构成。
3. 基与维数基是向量空间中一组线性无关的向量，该组向量能够生成该向量空间。
维数是向量空间中基的个数，它描述了向量空间的维度。
二、矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的另一个重要内容，其重点知识点如下：1. 矩阵的基本运算矩阵的加法和数乘运算是矩阵的基本运算，其运算规则与向量的加法和数乘运算类似。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，其运算规则为矩阵乘法的定义。
3. 逆矩阵与转置矩阵逆矩阵和转置矩阵是矩阵运算中的重要概念。
逆矩阵是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵，而转置矩阵是指将原矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
4. 行列式的性质与计算行列式是矩阵中的一个标量，它有许多重要的性质与计算方法，如拉普拉斯展开定理、余子式与代数余子式、Cramer法则等。
三、线性方程组线性方程组是线性代数中的另一个重要内容，它包含有关向量空间、矩阵和行列式的知识点。
下面是线性方程组的相关内容：1. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组齐次线性方程组是指等号右边全为零的线性方程组，非齐次线性方程组则相反。
对于齐次线性方程组，必定存在零解；而对于非齐次线性方程组，解的存在与唯一性则与矩阵的秩有关。
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, 不可逆矩阵
P是否可逆？
A的特征向量p1,p2 , pn组合成P P是否可逆？ p1,p2 , pn是否线性无关？
不是所有的方阵都能对角化
❖ 回忆： ❖ 不同特征值的特征向量必然线性无关 ❖ 相同特征值未必有线性无关的特征向量
相似矩阵，多项式计算
A PBP1 Ak PBk P1 ( A) P(B)P1
P1 AP Ak Pk P1 ( A) P()P1
1k
k
2k
(1 )
,
()
nk 的一个结论
f () | A E | ，求证f (A) O
证明：
假设P1 AP diag(1, 2 , n )
3 1
5 2
2
1
3 51 7 15 3 5 2
1
2
2
4
1
2
1
P1 AP
如何对角化
相似对角化
P (p1, p2 , pn ) P1 AP
AP P
A(p1, p2 , pn ) ( Ap1, Ap2 , Apn )
1
(p1, p2 ,
p
n
)
2
n
(1p1, 2p2 , npn ) Api ipi , (i 1, 2, , n)
P就是由A的特征向量组合而成的
5 51
1
5
5
1
10
1
5
5
5 5
1 1
0 0
0
1 1
5
5
5 1
5
1
11＝11
1 10
1
0
1 1 1 5 5 1 1 10
1
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第五章 第三节
相似矩阵
相似矩阵
P1 AP B PBP1 A, 相似对称性 P1 AP B, Q1BQ C Q1P1 APQ C (PQ)1 APQ C A,C相似（相似传递性）
相似矩阵特征值完全相同
假设P1 AP B
| B E || P1 AP P1( E)P || P1( A E)P | | P1 || A E || P || A E |
特征多项式相同 特征值相同。
P
1 2
3
5
P 1
5
2
3 1
A
1
2
B P1 AP
5 2
3 1
1
1
2
2
3 5
5 2
6 1
2
2
3
5
7 2
15
4
相似变换成为简单的矩阵
相似矩阵的特征向量不同
P1 AP B PBP1 A
Ap p PBP1p p BP1p P1p B(P1p) (P1p) B和A特征值相同，但是特征向量不同，变成P1p
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0， 0 2 0 ， 0 2 0 ， 1 2 3 0 0 2 0 1 2
遇到多重特征值， 要仔细计算解集的秩
08:14
0 0 1
A
1 1
1 0
x 0
，x取什么值时能对角化？
0 1
| A E | 1 1
x (1 )
1 ( 1)2 ( 1)
所有特征值i ,都有f (i ) 0, A PP1
f (1 )
f ( A) Pf ()P1 P
f (2 )
P1 POP1 O
f
(n
)
7
2
15
4
3
1
6
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1
7
2
15 4
5 2
1
5 2
7
2
15 3
4
1
5 2
1
1 0
1 1,必然有特征向量，不用计算。 2 3 1，仔细计算 ( A E)x 0，解特征向量
解集秩＝2 R( A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
1
0
x
~
0
0
x 1
1 0 1 0 0 0
R( A E) 1 x 1 0 x 1的时候可以对角化。