20道均值不等式练习题总结
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题1、 求下列函数的最小值（1） 已知t > 0 ,y = tt t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ;（3）、y = 182++x x (x > 0 )（4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = xx x 2sin sin 62cos 12++的最小值（5）若x> 0,y > 0,求 (x+22)21()21x y y ++ 的最小值2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +541-x 的最大值。
3、求下列函数的最大值（1）、y = 41622++x x ; （2）、若20<x<60, y = 250022+-x x x4、已知x>0,132++x x x ≤ a 恒成立，求a 的取值范围5、已知a > 0,b > 0, a 2 +4b 2 = 1 , 求t = ba ab 22+的最大值。
6、已知:x > 0, y > 0,且x + y = 20,求lgx + lgy 的最大值7、已知：a > 0,b > 0,且.1222=+b a 求a.21b +的最大值8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。
10、求下列函数的最大值（1）0< x <23,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x -(3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 ,求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示）（4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值（5）、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值11、求下列函数的最小值（1）已知:x > 0, y > 0,且,191=+y x 求 x + y 的最小值（2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba 11+的最小值（3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值（4）、已知：x > 0,y > 0,134=+yx 求x + 3y 的最小值 （5）、已知：x ＞ 0,y ＞0,xlg2+ ylg8 = lg2. 求yx 311+的最小值均值不等式的高级应用12、求下列各式的最小值（1）、求)(162b a b a -+的最小值 (2）、设a ＞0,b ＞0, 求ab b a 211++的最小值。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1.(1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋（2）y ＝x ＋解：(1)y ＝3x 2＋≥2)＝∴值域为[，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋≥2)＝2；当x ＜0时，y ＝x ＋=－（－x －）≤－2)=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式常考题型
.均值不等式2 21. ( 1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab (2)若a,b R ，则 ab a-(当且仅当 a b 时取“=”)22. (1)若 a,b R *，则-_b、ab (2) 若 a,bR *，则 a b 2. ab (当且仅当 a b 时取“=”)22(3)若a,b R *，则ab 乞上 (当且仅当a b 时取“=”)2113.若x 0，则x —2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0，则x —2 （当且仅当xxx右X0，则X1 X2即x 1 亠 -2或xX 1 -2 （当且仅当a b 时取“=”）X3.若 ab0， 则 a b2 (当且仅当ab 时取“=”）b a若ab0， 则 a b 2即a -2或 a b -2 （当且仅当a b 时取“=”）b ab a b a4.若 a,b R ， 则 (a b )2 a2b 2（当且仅当 a b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域(2) y = x + -xX•••值域为（一8，— 2] U [2， 解题技巧： 技巧一：凑项均值不等式及其应用解：(1) y = 3x 2 + +2x22； 2 =，•值域为[6，+（8l ）(2)当 x >0 时，y = x + 1 >2飞1x • = 2;x x -1)<-2 + 8)例1 ：已知x 4，求函数y 4x 2的最大值。
4x 5解：因4x 0，所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0， y4x 21 5 4x 5• 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 54x32 3 15 4x2)1丄，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
6-均值不等式及常考题型总结
1.设a,b∈R+，则下列各式中不一定成立的是()A.a+b≥2abB.b a+a b≥2C.a2+b2ab ≥2ab D.2aba+b≥ab2.(多选)下列结论中，所有正确的结论是()A.当x>1时，x+1x≥2B.当x<0时，x+1x的最大值是-2C.当x>-3时y=x+1x+3的最小值为-1D.当x<54时，y=4x-2+14x-5的最大值是13.已知x>0，y>0，且2x2+y2=3．(1)求xy的最大值；(2)求x1+y2的最大值．4.下列结论正确的是()A.若x<0，则y=x+1x的最大值为-2B.若a>0，b>0，则ab≤a+b22C.若x∈[0，2]，则y=x4-x2的最大值为2D.若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a+1b的最大值为9第 6 讲：均值不等式及常考题型总结5.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(-∞，9)B.[7，+∞)C.[9，+∞)D.(-∞，7)6.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.67.已知正实数a，b满足a+4b=1，则1a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.108.若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a+3b的最小值为()A.2B.26C.5D.439.若m>0，n>0，且3m+n=1，下列结论正确的是()A.mn的最大值为112B.1m+m n的最小值为5C.1m+1+2n+2的最小值为16(5+26)D.9m2+n2的最大值为1210.(多选)已知a >0，b >0，a +b =1，则下列结论正确的是()A.a 2b +ab 2的最大值为14B.a +b 的最大值为1C.a +2b +2ab的最小值为7+43D.12a +b +4a +2b的最小值为311.(多选)已知x >0，y >0，且x +y +xy -3=0，则下列结论正确的是()A.xy 的取值范围是(0，9]B.x +y 的取值范围是[2，3)C.x +2y 的最小值是42-3D.x +4y 的最小值是312.若实数a ，b 满足2a 2+2b 2-3ab =1，则()A.a +b ≥2B.a +b ≤2C.a 2+b 2≤1D.a 2+b 2≥213.若a >0，b >0，则ba2+4b +a 2的最小值为()A.2B.2C.22D.414.设x >0，y >0，下列不等式中等号能成立的有()A.x +1x y +1y≥4； B.x +y 1x +1y≥4；C.x 2+9x 2+5≥4；D.x +y +2xy ≥415.若a >0，b >0，且a +b =1，则a +1a b +1b的最小值为.16.若x ，y 是正数，则x +12y 2+y +12x 2的最小值是()A.3B.72C.4D.92巩固强化1.若a>0，b>0，a+2b=3，则3a+6b的最小值为()A.5B.6C.8D.92.已知a>0，b>0，3a+2b=ab，则2a+3b的最小值为()A.20B.24C.25D.283.若实数a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.44.下列结论正确的是()A.当x>0时，x+1x≥2B.当x>0时，x2+5x2+4的最小值是2C.当x<0时，2x-1+24x-5的最小值是5 2D.若x>0，y>0，且x+y=2，则1x+4y的最小值是92。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b ++≥2. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：2222222()a b b c a c a b c +++++≥++3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222b c a a b c a b c++≥++4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =求证：1818189a b c +++++≥7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()63a b c a b c+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求112x y +的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
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最新模拟题均值不等式练习题总结
1.在平面直角坐标系中，A(-4，0)，B(-1，0)，点P(a ，b )(ab ≠0)满足
AP BP =，则
2
241
a b
+的最小值为( ) A.4 B.9 C.
32 D. 94
2已知x ＞0，y ＞0，2x +y =2，则xy 的最大值为（ ） A.
B. 1
C.
D.
3. 下列函数中，最小值为4的是（ ） A.
x x y 4+
= B.)0(sin 4sin π<<+=x x
x y C.x x
e
e y 4
+
= D.81log log 3x x y += 4、已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则1
1
3x
y
+
的最小值是（ ） A ．2 B ．
．4
D ．5.设为正数，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆22
2410x y x y ++-+=截得弦长为
4，则41
a b
+的最小值是（ ）
.A 9 .B 4 .
C 12
.D 1
4 7、已知0,0x y >>，182x y x
y
-=-，则2+x y 的最小值为( )
A B ． C ． D ．4
8．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b
=+的最小值是（ ）
A ．72
B. 92
C ．5
D ．4
9．已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b
a
+++的最小值为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．
10．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24m
x
y
+≥恒成立，则m 的取值范围是 A
．)+∞
B ．[)2,+∞
C
．(
D ．(]0,2
11．设，
是与的等比中项，则1
1a
b
+的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．4
12已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为______________；
13.设1,0>>b a ,若2=+b a ,则1
1
4-+b a 的最小值为
__________________．
答案
1. D
2. A
3. C
4. 【答案】C
【解析】∵lg2x +lg8y ＝lg2，∴lg （2x •8y ）＝lg2，∴2x +3y ＝2，∴
0a >0b >3a 3b 28
3
x +3y ＝1．
∵x ＞0，y ＞0，∴()11
11333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭
2
323y x x y +
+≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号．故选：
C ． 5.【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本不等式即可求出． 【详解】设为正数，且
，当且仅当
时取等号，
故选：
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 6.A 7.C 8.B 9.C 10.B 11.D 12
1
16
13.9。