浙江新昌中学.浦江中学.富阳中学2019届高三三校联考数学试题

2019届高三年级三校联考数学试题卷 命题：新昌中学 审校：浦江中学 富阳中学姓名 准考证号 参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那 13V Sh =么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅ 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =121()3V S S h =球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表 34π3V R =示台体的高 其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则A B =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y xa b的渐近线方程为12=±y x，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）C ．[1,1]-D ．1[,1]8-9．在棱长为D ABC -中，过点D 的平面Γ与底面ABC 所成锐二面角的，设平面Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ，且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ． 16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．（第17题）点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则||=||PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A B C DE -中，2A B B C ==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.DCAE21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=+f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x 所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343()52525=⨯-⨯=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,,0)C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1,=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(2-D ，1(2=-AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++所以110(33)330n nn n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减， 所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分 （II，可设椭圆方程为222212+=x y b b.…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t .…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t 令'()0=f t得2=t，所以(0,2上单调递减，在()2+∞上单调递增.所以()(2≥=f t f .所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：0020028x x x y x +=-=-， 则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分 所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++，由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min ()f x f ===所以2∆≥APQ S ………………15分 22．解：（Ⅰ）当0a =时，()()22112f x x ln x ln x =-+- 因为()1ln x x +≤，当1x =时等号成立， 所以222222*********x ln ,ln ,x ,x x x x x ln x+⎛⎫+<<> ⎪+⎝⎭即即 所以()221012x ln x ln x->+-，即()0f x >． ……………………4分 （Ⅱ）法一：显然0a ≤成立，当0a >时，因为11ln x x≥-，当1x =时等号成立， 所以22222111111x ln x x x x ⎛⎫+>-= ⎪++⎝⎭，即222111x x ln x <+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 要()0f x >即22211x ax x ln x +<⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以221x ax x +<+对一切0x >成立，显然0a >不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 法二：因为2a b a b ln a lnb -+<-，所以 ()2222221211212211x x ,,x ln x ln x ln x ++<<⎛⎫++- ⎪⎝⎭即 要()0f x >即22211x ax x ln x +<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以22212x x ax ++<对一切0x >成立，显然0a >不符合， 综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。