高考数学数列 6专项练习题
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】
2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。
高考文科数学数列专题复习(附答案及解析)
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
高考数学 数列(基础及能力训练)6
高考数学数列（基础及能力训练）61．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于() A．8 B．10 C．12 D．14 2．设等差数列{a n}的公差为d. 若数列{2a1a n}为递减数列，则() A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0 3．设{a n}是首项为a1，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．4．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.5．若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝______时，{a n}的前n项和最大．6．已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．7．等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n .8． 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．9． 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .。
2025版新教材高考数学复习特训卷单元过关检测六数列
单元过关检测六 数列一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 1＋a 3＋a 9＋a 11＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．已知等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 5＋a 8a 2＋a 5＝8，那么S 5的值是( ) A ．15 B ．31 C ．63 D ．643．已知数列{a n }满意a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1a n，则a 2 022＝( ) A ．12 B ．13 C ．32 D ．234．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若S 2＝3，S 4＝6，则S 6＝( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，则k 3＝( )A ．14B ．34C ．41D ．866．[2024·北京通州模拟]已知数列{a n }满意a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，记b n ＝a 2n －1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．n 2B ．(n ＋1)2C ．n （n ＋1）2D ．n (n ＋1)7．[2024·山东德州模拟]意大利闻名数学家斐波那契在探讨兔子繁殖问题时，发觉有这样一列数：1，1，2，3，5，…，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”．记a 2 023＝m ，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 022＝( )A ．m －2B ．m －1C ．mD ．m ＋18．[2024·山东聊城模拟]若函数f (x )使得数列a n ＝f (n )，n ∈N *为递增数列，则称函数f (x )为“数列保增函数”．已知函数f (x )＝e x－ax 为“数列保增函数”，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，e 2－e) C ．(－∞，e) D ．(－∞，e]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若{a n }为等差数列，a 2＝11，a 5＝5，则下列说法正确的是( ) A ．a n ＝15－2nB ．－20是数列{a n }中的项C ．数列{a n }单调递减D ．数列{a n }前7项和最大10．若{a n }为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( ) A ．{a 2n }B ．{k ·a n }(其中k ∈R 且k ≠0)C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n D ．{ln a n }11．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则下列结论正确的是( ) A ．a 2＋a 5＝2a 8 B ．a 3＋a 6＝2a 9 C ．a 28 ＝a 2·a 5 D ．a 29 ＝a 3·a 6 12．已知数列{a n }满意a n >0，a n ＋1n ＝a n a 2n ＋n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．a 1a 2＝1B ．a 1＝1C ．S 2 020·a 2 021＝2 020D ．S 2 020·a 2 021>2 020 [答题区]13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝2，则a 4＋4a 5＋a 6＝________．14．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1＝S n ，n ∈N *，则a n ＝________． 15．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝2n3n －49，则使得S n 取得最小值时n 的值为________.16．[2024·新高考Ⅰ卷]某校学生在探讨民间剪纸艺术时，发觉剪纸时常常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm ，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；假如对折n 次，那么∑k ＝1nS k ＝________ dm 2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)[2024·新高考Ⅱ卷]记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n >a n 成立的n 的最小值．18．(12分)[2024·新高考Ⅰ卷]已知数列{a n }满意a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数．(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{}b n 的通项公式；(2)求{a n}的前20项和．19．(12分)[2024·新高考Ⅱ卷]已知{a n}为等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中元素个数．20．(12分)[2024·河北唐山模拟]已知数列{a n}的各项均不为零，S n为其前n项和，且a n a n＋1＝2S n－1.(1)证明：a n＋2－a n＝2；(2)若a1＝－1，数列{b n}为等比数列，b1＝a1，b2＝a3.求数列{a n b n}的前2 022项和T2 022.21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝(2n－1)a n＋1＋1，a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n S n ，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<32.22．(12分)[2024·辽宁大连模拟]已知数列{a n}是首项a1＝1的正项等比数列，{b n}是公差d＝2的等差数列，且满意b3＝2a2，a3＝b4＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝________，求{c n}的前n项和S n.请在①c n＝3a n＋(b n－1)；②c n＝b n－13a n这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．单元过关检测六 数列1．答案：C解析：由题知S 11＝22，即S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝22，∴a 6＝2，∴a 1＋a 3＋a 9＋a 11＝4a 6＝8. 故选C. 2．答案：B解析：设等比数列的公比为q ，由题得q 4＋q 7q ＋q 4＝8，∴q 4（1＋q 3）q （1＋q 3）＝8，∴q 3＝8，∴q ＝2. 所以S 5＝1－251－2＝31.故选B. 3．答案：D 解析：由a n ＋2＝a n ＋1a n，a 1＝2，a 2＝3， 所以a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝323＝12，a 5＝a 4a 3＝1232＝13，a 6＝a 5a 4＝1312＝23，a 7＝a 6a 5＝2313＝2，即{a n }是周期为6的数列．因为2 022＝6×337，所以a 2 022＝a 6＝23.故选D. 4．答案：C解析：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴S 2＝3，S 4－S 2＝6－3＝3，∴S 6－S 4＝3，∴S 6＝3＋S 4＝3＋6＝9. 故选C. 5．答案：C解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，所以a 2a 1＝3，所以a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，所以d ＝2a 1， 所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝（2n －1）a 1， 又因为a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，所以＝a 1×34＝81a 1，因为＝（2k 3－1）a 1，所以2k 3－1＝81，解得k 3＝41. 故选C. 6．答案：A解析：由题知，∵a n ＋1＝a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1， ∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n ，故b n ＝a 2n －1＝2n －1， ∴b n －b n －1＝2，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 记{b n }的前n 项和为S n ， ∴S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.故选A. 7．答案：B解析：因为a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，所以a 2 023＝a 2 022＋a 2 021＝a 2 022＋a 2 020＋a 2 019＝…＝a 2 022＋a 2 020＋a 2 018＋…＋a 2＋a 1， 又因为a 1＝1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 022＝a 2 023－a 1＝m －1.故选B. 8．答案：B解析：由题意，对∀n ∈N *，f （n ＋1）－f （n ）>0， 即[en ＋1－a （n ＋1）]－（e n －an ）＝（e －1）e n－a >0，即a <（e －1）e n，对∀n ∈N *恒成立， 由于y ＝e x 在R 上单调递增，故e n ≥e 1＝e ，故a <（e －1）e n ≤[（e －1）e n ]min ＝e （e －1）＝e 2－e. 即a ∈（－∞，e 2－e ）. 故选B. 9．答案：ACD解析：因为数列{a n }为等差数列，且a 2＝11，a 5＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，a n＝13＋（n －1）×（－2）＝－2n ＋15，故A 选项正确，由－20＝－2n ＋15，得n ＝352∉N *，故B 错误， 因为d <0，所以数列{a n }单调递减，故C 正确，由数列通项公式a n ＝15－2n 可知，前7项均为正数，a 8＝－1，所以前7项和最大，故D 正确．故选ACD.10．答案：ABC解析：因{a n }为等比数列，设其公比为q ，则有a n ＝a 1qn －1，对于A ，a 2n ＋1 a 2n＝（a n ＋1a n ）2＝q 2是常数，数列{a 2n }是等比数列，A 是；对于B ，k ∈R 且k ≠0，k ·a n ＋1k ·a n ＝a n ＋1a n＝q 是常数，数列{}k ·a n 是等比数列，B 是； 对于C ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q 是常数，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 是； 对于D ，明显a n ＝1，{a n }为等比数列，而ln a n ＝0，数列{ln a n }不是等比数列，D 不是． 故选ABC. 11．答案：AB解析：若公比q ＝1有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1， 此时2S 9≠S 3＋S 6，故公比q ≠1，由题意2S 9＝S 3＋S 6⇒2a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，化简有q ＋q 4＝2q 7，两边同时乘以a 1，可得：a 2＋a 5＝2a 8； 两边同时乘以a 1q ，可得a 3＋a 6＝2a 9， 故有a 2＋a 5＝2a 8或a 3＋a 6＝2a 9. 故选AB. 12．答案：AC 解析：由a n ＋1n ＝a n a 2n ＋n －1得n a n ＋1＝a n ＋n －1a n ，∴a n ＝n a n ＋1－n －1a n； 当n ＝1时，可得a 1a 2＝1，但a 1不肯定为1，∴A 正确，B 错误；S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝（1a 2－0a 1）＋（2a 3－1a 2）＋…＋（n a n ＋1－n －1a n ）＝na n ＋1，∴S n ·a n ＋1＝n .∴n ＝2 020时，S 2 020·a 2 021＝2 020，所以C 正确，D 错误．故选AC. 13．答案：6解析：依据等差数列的性质可得a 1＋a 9＝2a 5＝2， 所以a 5＝1， 又a 4＋a 6＝2a 5，所以a 4＋4a 5＋a 6＝6a 5＝6.14．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n ≥2，4，n ＝1，n ∈N解析：∵a n ＋1＝S n ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ， 得a n ＋1a n＝2，故数列{a n }从其次项起是等比数列， 又a 2＝S 1＝4， 当n ≥2时，a n ＝a 2×2n －2＝2n，又a 1＝4，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n ≥2，4，n ＝1，n ∈N *.15．答案：16解析：由a n ＝2n 3n －49得a n ＝23＋983×13n －49，当n ≤16时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13n －49单调递减，且13n －49<0，当n ＝1时，a 1<0，故当n ≤16时，a n <0，当n ≥17时，13n －49>0，且a n >0，所以当n ＝16时，S n 最小． 16．答案：5 720－15()n ＋32n －4解析：（1）由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4种不同规格（单位dm 2）；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()dm 2，第n 次对折后的图形面积为120×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，对于第n 次对折后的图形的规格形态种数，依据（1）的过程和结论，猜想为n ＋1种（证明从略），故得猜想S n ＝120（n ＋1）2n －1， 设S ＝∑k ＝1nS k ＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120()n ＋12n －1， 则12S ＝120×221＋120×322＋…＋120n 2n －1＋120（n ＋1）2n， 两式作差得12S ＝240＋120⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－120()n ＋12n＝240＋60⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－120()n ＋12n＝360－1202n －1－120()n ＋12n ＝360－120()n ＋32n， 因此，S ＝720－240()n ＋32n ＝720－15()n ＋32n －4. 17．解析：（1）由等差数列的性质可得S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3，∴a 3＝0， 设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝（a 3－d ）（a 3＋d ）＝－d 2，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 3－2d ）＋（a 3－d ）＋a 3＋（a 3＋d ）＝－2d ，从而－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2， 数列的通项公式为a n ＝a 3＋（n －3）d ＝2n －6.（2）由数列的通项公式可得a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×（－4）＋n （n －1）2×2＝n2－5n ，则不等式S n >a n 即n 2－5n >2n －6，整理可得（n －1）（n －6）>0， 解得n <1或n >6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.18．解析：（1）由题设可得b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5， 又a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1，a 2k ＋1＝a 2k ＋2，故a 2k ＋2＝a 2k ＋3即b n ＋1＝b n ＋3即b n ＋1－b n ＝3， 所以{b n }为等差数列，故b n ＝2＋（n －1）×3＝3n －1. （2）设{a n }的前20项和为S 20，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20， 因为a 1＝a 2－1，a 3＝a 4－1，…，a 19＝a 20－1， 所以S 20＝2（a 2＋a 4＋…＋a 18＋a 20）－10＝2（b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10）－10＝2×（10×2＋9×102×3）－10＝300.19．解析：（1）证明：设数列{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d －2b 1＝a 1＋2d －4b 1a 1＋d －2b 1＝8b 1－（a 1＋3d ），即可解得b 1＝a 1＝d 2，所以原命题得证．（2）由（1）知，b 1＝a 1＝d2，所以b k ＝a m ＋a 1⇔b 1×2k －1＝a 1＋（m －1）d ＋a 1，即2k －1＝2m ，亦即m ＝2k －2∈[1，500]，解得2≤k ≤10，所以满意等式的解k ＝2，3，4， (10)故集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.20．解析：（1）证明：因为a n a n ＋1＝2S n －1①，则a n ＋1a n ＋2＝2S n ＋1－1②， ②－①得a n ＋1（a n ＋2－a n ）＝2a n ＋1，又a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.（2）由a 1＝－1得a 3＝1，于是b 2＝a 3＝1，由b 1＝－1得{b n }的公比q ＝－1.所以b n ＝（－1）n ，a n b n ＝（－1）n a n .由a 1a 2＝2a 1－1得a 2＝3，由a n ＋2－a n ＝2得a 2 022－a 2 021＝a 2 020－a 2 019＝…＝a 2－a 1＝4，因此T 2 022＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4…－a 2 021＋a 2 022＝（a 2－a 1）＋（a 4－a 3）＋…＋（a 2 022－a 2 021）＝1 011×（a 2－a 1）＝1 011×4＝4 044.21．解析：（1）因为4S n ＝（2n －1）a n ＋1＋1，所以4S n －1＝（2n －3）a n ＋1（n ≥2）. 两式相减，得4a n ＝（2n －1）a n ＋1－（2n －3）a n （n ≥2），即（2n ＋1）a n ＝（2n －1）a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1， 在4S n ＝（2n －1）a n ＋1＋1中，令n ＝1，得a 2＝3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3…a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －12n －3·2n －32n －5·2n －52n －7…53·31·1＝2n －1（n ≥2），又a 1＝1满意，所以a n ＝2n －1，所以a n －a n －1＝（2n －1）－（2n －3）＝2（n ≥2），故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，且a n ＝2n －1.（2）S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2， 所以b n ＝1a n S n ＝1（2n －1）n ＝22n （2n －1）<22n （2n －2）＝12n －2－12n， 当n ＝1时，T 1＝1a 1S 1＝1<32， 当n ≥2时，T n <（1＋12－14＋14－16＋…＋12n －2－12n ）＝32－12n <32， 所以T n <32. 22．解析：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，依据题意，由b 3＝2a 2，a 3＝b 4＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2a 1q a 1q 2＝b 1＋3d ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋4＝2q q 2＝b 1＋7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－6q ＝－1（舍）， 所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1，b n ＝b 1＋（n －1）d ＝2n .（2）选①由（1）可得c n ＝3n ＋2n －1，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋...＋c n ＝（3＋32＋33＋ (3)）＋（1＋3＋5＋…＋2n －1）， 所以S n ＝3（1－3n ）1－3＋n 2（1＋2n －1）＝n 2＋3n ＋12－32. 选②由（1）可得c n ＝2n －13n ，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 则13S n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，②①－②得23S n ＝13＋232＋233＋234＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（13）n －11－13－2n －13n ＋1＝13＋13[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1]－2n －13n ＋1＝23－2（n ＋1）3n ＋1，所以S n ＝1－n ＋13n .。
(天津版)高考数学分项版解析 专题06 数列 理-天津版高三全册数学试题
第六章 数列一．基础题组1.【2005某某，理13】在数列{}n a 中，11a =，22a =且()()*211nn n a a n N +-=+-∈则100S =__________。
【答案】2600【解析】当n 为奇数时，20n n a a +-=；当n 为偶数时，22n n a a +-= 因此，数列{}n a 的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列()()()210010011505021005050260022a a S a a ++=+=+=本题答案填写：26002.【2006某某，理7】已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．100 【答案】C3.【2006某某，理16】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++，n θ是n a 与i 的夹角，（其中()0,1=i），设n n S θθθtan tan tan 21+++= ，则n n S ∞→lim =．【答案】1【解析】设函数()11+=x x f ，点0A 表示坐标原点，点()()()*,N n n f n A n ∈，若向量01121n n n a A A A A A A -=+++=0n A A ，n θ是n a 与i 的夹角，111tan (1)n n n n n θ+==+（其中()0,1=i ），设n n S θθθtan tan tan 21+++= 111111223(1)1n n n +++=-⋅⋅++，则nn S ∞→lim =1．4.【2007某某，理8】设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】k a 是1a 与2k a 的等比中项可得12k k a a a =⨯(*)，由{}n a 为等差数列可得121(1),(21)k k a a k d a a k d =+-=+-及19a d =代入(*)式可得4k =.故选B5.【2007某某，理13】设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则22lim n n na n S →∞-=__________. 【答案】3 【解析】根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-代入极限式得22112134(2)(2)lim 3(1)n n a n a n n a →∞+-+-=+- 6.【2008某某，理15】已知数列{}n a 中，()*31,1111N n a a a n n n ∈=-=++，则=∞→nn a lim .【答案】767.【2009某某，理6】设a ＞0,b ＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba 11+的最小值为（ ） A.8 B.4 C.1 D.41【答案】B【解析】3是3a 与3b 的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a+b ＝3⇒a+b ＝1,∵a＞0,b ＞0,∴41212≤⇒=+≤ab b a ab .∴4411111=≥=+=+ab ab b a b a . 8.【2010某某，理6】已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158【答案】C法二：∵S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋S3·q3， ∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q ＝2. ∴{1n a }是首项为1，公比为12的等比数列． ∴其前5项和为511[1()]31211612-=-9.【2011某某，理4】已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．110 【答案】D.【解析】∵2,9327-=•=d a a a ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴110)2(2910201010=-⨯+⨯=s . 10.【2014某某，理11】设n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ． 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．二．能力题组1.【2005某某，理18】已知：()1221*,0,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++++∈>>。
专题06数列解答题-2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知12nb +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；的(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：1231112na a a ++<…+19．(2014高考数学课标1理科·第17题)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．(1)证明:;{}n a n n S 11a =0n a ≠11n n n a a S +=-λλ2n n a a l +-={}n a(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
2019年高考数学(理)第六章数列 6-4-2习题及答案
1．若a ，b 是函f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个可适当排序后成等差列，也可适当排序后成等比列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4， ∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差列， 所以－2是第一项或第三项，不防设a <b ， 则－2，a ，b 成递增的等差列，∴2a ＝b －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，消去b 得a 2＋a －2＝0， 得a ＝1或a ＝－2，又a >0， ∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5， ∴p ＋q ＝9，选D.2.设S n 为等比列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差列，则a n ＝________.点击观看解答视频答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.3．设S n 是列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.4.设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．点击观看解答视频(1)求列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x22n －1，证明：T n ≥14n.解 (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝n －2n2>n －2－1n2＝2n －22n ＝n －1n. 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，都有T n ≥14n.5．设等差列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函f (x )的图象上，求列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋ 2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n n －2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.6．已知列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n n＋2＝(2)n (n ＋1)．故列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋2n －1， 而n n ＋2n－n ＋n ＋2n ＋1＝n ＋n －2n ＋1>0，得n n ＋2n≤＋25<1.所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.7．设列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整n ，总存在正整m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 列”．(1)若列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 列”； (2)设{a n }是等差列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 列”，所以存在正整m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n2是小于2的整，n ∈N *. 于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m .所以{a n }是“H 列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋12a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m .所以{b n }是“H列”．同可证{c n }也是“H 列”．所以，对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。
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数列
一、选择题
1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 2.已知等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =（ ）
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84
3.等比数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知3
2110S
a a =+，59a =，则1a =（
）
A .13
B .13
- C .19 D .19
-
4.已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a 5 a 6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）
A. 7
B. 5
C. -5
D. -7
二、填空题
1.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ ．
2.设S n 是数列{a n }的前项和，且1
1a
=-，11n n n a S S ++=，则S n =________________．
3.等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，已知10
0S
=，1525S =，则n nS 的最小值为____.
4.数列}{n
a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n
a 的前60项和为 . 三、解答题
1.（满分12分）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28. 记
b n =[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. （Ⅰ）求b 1，b 11，b 101；（Ⅱ）求数列{b n }的前1 000项和.
2.已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1.
（Ⅰ）证明1{}2
n
a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）证明：1
2
3111
…2
n a a a +++<.
3. 等比数列{}n
a 的各项均为正数，且21
2326231,9.a
a a a a +==
4.
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）设3
1
3
2
3
log log log n
n
b a a a =+++L L ，求数列1{}n
b 的前n 项和.。