微分几何习题及答案解析

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e

为单位向

量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r

具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r

=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r

×

'r =2

λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意

方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e

，（因

为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具有固

定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，

且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n

= 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂

直于同一非零向量n

，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。

反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0

，由上题

知

)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r ≠

，则存在数量函数

)(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r

①

令n =r ×'r

，则n

≠

0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入得

'n =r ×''r =μ（r ×'r ）

=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n

，即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念

3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。

证明 'r

= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos

=22||||'b

a b

e r k r +=⋅ 为常数，故ϕ为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。 解 'r

= { -a t sin ,a t cos ,b}，s =

t b a dt r t

220

|'|+=⎰

，所以2

2

b

a s t +=

，

代入原方程得 r ={a cos 2

2

b

a s +, a sin 2

2

b

a s +,

2

2

b

a bs +}

§4 空间曲线

1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 在任意点的密切平面的方程。

解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为

sin cos cos sin sin cos t

a t

a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .

2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，

=)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t

={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x =0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112z

y x =-= ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

11-=

=z

y x 。

3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z

= b t 的主法线和z 轴垂直相交。

证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r

={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r

⊥''r

知''r

为主法线

的方向向量，而''r 0=⋅k

所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是

sin sin cos cos bt

z t t a y t t a x -=

-=- 与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。

4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。