圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙
圆的面积公式ppt课件
所以: 圆 的 面 积 = πr × r ＝ πr 2
圆的面积计算公式：
S ＝ πr 2
例2. 已知一个圆的直径为40分米， 求这个圆的面积？
d ＝40 dm
r ＝ 40÷2 ＝20 dm
S＝πr2
＝ 3.14ppt×课件完整20×20
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做一做：
根据下面所给的条件，求圆的面积。 （1）半径2分米 （2）直径10厘米
圆的面积
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1
圆所占平面的大小叫做圆的面积。ຫໍສະໝຸດ 平行四边形的面 积公式是怎样得
到的呢？
长方形的面积=长×宽
这个方法叫做 “割补法”
平形四边形的面积=底×高
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3
想一想 圆的面积公式能不能通过 “割补法” 转化成我
们已学过的图形来推导出来呢？
你想把 圆转化成什么图形呢？
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本课小结
你今天的收获是什么？
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4
四 等 分
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5
八 等 分
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6
十 六 等 分
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7
三
十
二
等
分
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8
以拼成的近似平行四边形为例：
圆面8等分时：
圆面16等分时：
圆面32等分时：
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分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
C 2
＝ πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
圆的面积推导
3.14×32²=3215.36（平方米） 100×（32×2）=6400（平方米）
100m O 32m
3215.36+6400=9615.36（平方米）
答：这个运动场的面积是9615.36平方米。
4. 一根铁丝长37.68米，在一根圆形木棒上正好绕200 圈，木棒横截面的半径是多少厘米？ 37.68÷200=0.1884（米） 0.1884米=18.84厘米 18.84÷3.14=6（厘米） 6÷2=3（厘米） 答：木棒横截面的半径是3厘米。
第五单元 圆
第5课时 圆的面积公式 的推导及应用
想一想 平行四边形的面积公式是怎样推导出来的呢?
原
来
平 行 四 边
（ 长 方 形 的
形宽
的）
高
原来平行四边形的底
（长方形的长）
圆的面积怎么计算呢？
这个圆形草坪的占 地面积是多少平方 米呢？
怎样计算一个圆 的面积呢？
圆形草坪所占平面的大小，就是这个圆形草坪的占地面积。
一个圆形桌面的直径是 1 m ，它的面积是多少平方米？
1 ÷ 2 = 0.5(m) 3.14 × 0.52 = 0.785(m2) 答：茶几桌面的面积是 0.785 平方米。
1. 计算下面各圆的面积。(π取3.14）
S＝π d 2
2 ＝ 3.14×
10 2 2
＝ 78.5(cm2)
S＝πr2 ＝ 3.14×32 ＝28.26(dm2)
C=2πr=2×3.14×3=18.84（m） S=πr2=3.14×32=28.26（m2）
答：这一圈的长是18.84米。这匹马最多可以吃到28.26 平方米的草。
7．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆的面
圆球面积公式
圆球面积公式圆球面积公式是计算圆球表面积的公式，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
圆球面积公式的推导和应用，不仅是数学知识的重要组成部分，也是实际问题中解决困难的有效工具。
一、圆球面积公式的推导圆球是由无数个相等的圆柱体组成的，因此圆球的面积可以看作是无数个圆柱体的表面积之和。
设圆球的半径为r，则圆球的表面积为：S=∑S_i其中，S_i表示每个圆柱体的表面积。
由于圆球是由无数个圆柱体组成的，因此每个圆柱体的高度可以看作是无限小，而它的底面积为圆的面积。
因此，每个圆柱体的表面积可以表示为：S_i=2πrh_i其中，h_i表示每个圆柱体的高度。
将圆柱体的高度表示为： h_i=√(r^2-(r-Δr)^2)其中，Δr表示圆柱体的厚度。
将其带入S_i中，得到：S_i=2πr√(r^2-(r-Δr)^2)将S_i代入S中，得到：S=∑2πr√(r^2-(r-Δr)^2)当Δr趋近于0时，上式可以变为积分形式：S=∫_0^r2πr√(r^2-x^2)dx对上式进行变量替换，令x=rsinθ，则有：S=∫_0^π2πr^2sinθcosθdθ对上式进行积分，可得：S=4πr^2因此，圆球的表面积公式为：S=4πr^2。
二、圆球面积公式的应用圆球面积公式的应用非常广泛，以下是一些典型的应用：1. 计算球体积圆球的体积公式为：V=(4/3)πr^3。
由此可得，圆球的半径和体积之间存在确定的关系。
因此，如果已知圆球的表面积，可以通过圆球面积公式计算出半径，从而计算出圆球的体积。
2. 计算球形物体的表面积圆球面积公式不仅适用于理论计算，也适用于实际问题的解决。
例如，对于球形物体，可以通过测量其表面积来计算其体积、质量等重要参数。
由于圆球面积公式的简单性和精确性，它在实际问题中的应用非常广泛。
3. 圆球的几何性质圆球作为一个几何体，具有很多重要的性质。
其中，最基本的性质就是圆球的表面积和体积公式。
通过圆球面积公式，我们可以更好地理解圆球的几何性质，探究其内在规律，为后续的研究打下基础。
圆的面积推导过程
圆的面积推导过程
求圆的面积推导过程
圆，即圆形，是一种绕着一个或多个中心循环，其距离中心一定的形状。
求圆
的面积是几何数学中一个相当简单的计算，而求圆的面积的推导过程却极其值得学习。
首先，我们假定圆的半径为r，圆的周长为C，由于圆的周长与半径r的关系
为C=2πr，依据此公式我们可以用C=2πr来表达半径r的大小，即r=C/2π。
其次，我们可以将圆分成许多等边三角形，而每个三角形的面积都可以用半径
r以及这个三角形的角度来表示，即一个三角形的面积为 S = 1/2 * r * r *
sinθ，累加所有的三角形就可以得到圆的面积A。
最后，将上面求得的圆的面积A做积分，得到 A = ∫2πr *1/2* r *sin θ
dθ，其中dθ是表示角度变动量，经过相应的代数运算之后可以得到 A = πr*r，即圆的面积为πr*r 。
通过上面的推导过程，我们已经得到了一个非常完整的求圆的面积的数学推导
过程，本推导过程中用到了几何、三角函数以及积分等多种数学知识，通过以上推导过程，当我们知道圆的半径时，就可以用上述数学方法计算出圆的面积，并将其用实验中去验证。
推导圆的面积公式
推导圆的面积公式假设我们有一个圆，圆心为O，半径为r。
要计算这个圆的面积，我们可以考虑将它划分为无数个无限小的扇形，然后将这些扇形求和。
首先，我们将圆划分为n个小的扇形，每个扇形的圆心角为θ（单位为弧度）。
可以通过将圆周长C除以圆的半径r，我们可以得到圆周长中的扇形的周长。
扇形的周长为s=C/n=2πr/n。
接下来我们考虑一个特定的扇形，该扇形的圆心角为θ，在一个圆上，扇形的弧长可以表示为s=θr。
我们可以在扇形的内部绘制一个三角形，该三角形的底边长与圆的半径相同，高为r，这样扇形就被切分成三角形和扇形两部分。
这个三角形的底边长与扇形的圆心角θ一样。
根据三角形的面积公式，三角形的面积为A_triangle = (1/2) * r * r * sinθ。
对于整个圆，我们可以将其划分为无数个扇形，然后将这些扇形的面积相加。
通过将扇形的面积除以圆心角θ，得到单位弧度的扇形面积，再将其乘以2πr/n即可得到一个特定的扇形的面积。
我们可以得到扇形的面积公式为A_sector = (1/2) * r * r * θ。
将上述两个公式结合，可以得到整个圆的面积为A_circle = θ * r * r。
为了计算整个圆的面积，我们需要将圆心角θ的范围设置为0到2π，即一个完整的圆周。
因此圆的面积公式可以表示为：A_circle = ∫[0, 2π] (1/2) * r * r * dθ。
上述积分代表着求取扇形的面积，并将这些扇形的面积进行累加，从而得到整个圆的面积。
进行积分计算，我们得到：A_circle = ∫[0, 2π] (1/2) * r * r * dθ=(1/2)*r*r*θ∣[0,2π]=(1/2)*r*r*2π-(1/2)*r*r*0=r*r*π.因此，圆的面积公式为A=π*r*r，即圆的面积等于半径的平方乘以π。
这就是圆的面积公式的推导过程。
通过将圆划分为无数个小的扇形，并将这些扇形的面积进行累加，我们最终得到了圆的面积公式A=π*r*r。
圆面积的公式推导过程
圆面积的公式推导过程要推导出圆的面积公式，首先需要从圆的定义开始。
圆是平面上到一个固定点的距离等于定值的点的集合。
固定点称为圆心，定值称为半径。
假设圆的半径为r，圆心为O。
我们可以使用几何和代数的方法来推导出圆的面积公式。
1.几何方法推导：我们可以将圆划分成许多小的扇形，并逐步将这些扇形拼接成一个完整的圆。
我们可以将圆划分成n个等角的扇形，每个扇形的角度为360°/n。
这些扇形拼接在一起后，会形成一个近似于圆的多边形。
随着n的增大，这个多边形会越来越接近圆形。
假设我们有一个正n边形（n-gon），它的边长为a。
我们可以根据几何性质推导出它的面积公式：- 由于圆是正n边形的极限情况，我们可以得出：lim(n→∞) n-gon的面积 = 圆的面积。
-正n边形可以分割为n个等腰三角形，每个等腰三角形的面积为：(1/2)×a×r。
- 所以，n-gon的面积为：A(n-gon) = n × (1/2) × a × r。
- 我们知道正n边形的周长L(n-gon) = n × a，当n→∞时趋于圆的周长，即L(n-gon) = 2πr。
- 将上面两个公式合并，我们可以得出正n边形的面积和半径的关系：A(n-gon) = (L(n-gon)/2π) × r，当n→∞时，得到圆的面积公式：A(circle) = (L(circle)/2π) × r。
2.代数方法推导：另一种推导圆的面积公式的方法是使用微积分。
我们以极坐标系为基础进行推导。
在这个坐标系中，圆的方程是r=R，其中R为圆的半径。
我们在第一象限中考虑一个半径在θ到θ+dθ之间的扇形。
我们可以使用微积分方法计算扇形的面积，并将所有扇形的面积相加来得到圆的面积。
-扇形的面积为：dA=(1/2)×r^2×dθ。
-将r替换为R，我们得到：dA=(1/2)×R^2×dθ。
一个圆怎么算平方
一个圆怎么算平方
圆形面积公式=π×半径×半径，即：S=πr²。
其中π是固定比值，数值在3.1415926-3.1415927之间，目前小学生用到的数值为3.14。
r表示半径。
圆面积是指圆形所占的平面空间大小，常用S表示。
圆是一种规则的平面几何图形，其计算方法有很多种，比较常见的是开普勒的求解方法，卡瓦利里的求解方法等。
圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
π也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。
圆是一种几何图形。
根据定义，通常用圆规来画圆。
同圆内圆的直径、半径长度永远相同，圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。
圆的面积——公式推导
圆的面积——公式推导
圆的面积，公式推导
要推导圆的面积公式，我们可以使用积分的方法。
首先，我们考虑一个半径为R的圆，将其看作一连续的圆弧。
现在我们将圆弧分成n个小弧段，使每个小弧段的弧长为Δθ，其中Δθ是一个很小的角度。
我们可以用小矩形来近似每个小弧段的面积。
根据几何知识，每个小弧段的面积可以近似为一个小矩形的面积，该矩形的宽度为R，高度为
RΔθ。
因此，每个小弧段的面积为R*RΔθ。
现在，我们将圆弧分成n个小弧段，通过将所有小弧段的面积相加，可以得到整个圆的面积的近似值。
整个圆的面积的近似值S可以表示为：
S≈R*RΔθ+R*RΔθ+R*RΔθ+...+R*RΔθ
通过合并项，可以得到：
S≈R^2*(Δθ+Δθ+Δθ+...+Δθ)
简化表达式，得到：
S≈R^2*n*Δθ
可以看出，S的近似值与小弧段的数量n和每个小弧段的角度Δθ有关。
现在，我们让n趋近于无穷大，即将小弧段的数量变得非常大。
而Δθ可以表示为圆的总角度2π除以小弧段的数量n，即Δθ=2π/n。
将Δθ代入上述近似式中，得到：
S≈R^2*n*(2π/n)
通过化简，可以得到：
S≈2πR^2
因此，圆的面积公式为：
S=πR^2
这个公式告诉我们，圆的面积等于π乘以半径的平方。
这是著名的圆的面积公式。
需要注意的是，这个公式只适用于平面上的圆。
如果我们要计算球体的表面积，需要使用不同的公式。
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圆面积公式的各种证明方法刘晓丽李小龙
TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
圆面积公式的各种证明方法证明方法1：转化（小学段）
（1）拼成平行四边形，4份，8份，16份。
（2）拼成长方形。
近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
长方形的面积 = 长×宽
圆的面积 = πr × r
所以，圆的面积公式是：S =πr²
（3）拼成两层平行四边形（两层）
近似平行四边形的面积 = 底×高
圆的面积 = 1
2 C × 2r
= 1
2πr × 2r
所以，圆的面积公式是： S =πr²（4）用三角形（小）拼
三角形的面积 = 1
2×底×高
圆的面积 = 1
2×（
1
16× C ）× r ×16
所以，圆的面积公式是：S =πr²（5）拼成梯形
梯形的面积 = 1
2（上底+下底）×高
圆的面积 = 1
2×（
5
16 +
3
16）× C × 2r
所以，圆的面积公式是：S =πr²
拼成三角形（大）
（6）三角形的面积 = 1
2底×高
圆的面积 = 1
2×（
1
4× C ）× 4r
所以，圆的面积公式是：S =πr²
证明方法2：
半径为r的圆的圆周长为2πr
1.先将圆周等分成n份:每份长为2πr/n.
2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形.
3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)·r·(2πr)/n/2.(因为在n充分大时,各个三角形的高近似等于r,并且有n-1个三角形,所以有该公式)
取极限:l im (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2,因为lim(n→+∞)(n-1)/n=1
所以lim (n→+∞)(n-1)·r·(2πr)/n/2=πr^2
证明方法3：极限法（高中段:
以圆的正n边形表示圆的面积:
设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积: Sn=(n/2)r²sin(2π/n)
当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限):
当x→0时,lim[(sinx)/x]=1
[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]
把Sn变形:
Sn=πr²lim[sin(2π/n)/(2π/n)]
于是,当n→∞时,2π/n→0
lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1
Sn=πr²
证明方法4：极坐标法
设圆的极坐标方程R(θ)=R
圆心角为dθ扇形的面积dA=1/2R^2dθ.
则圆的面积为A=∫(0-2π)dA=∫(0-2π)1/2R^2dθ=πR^2
在极坐标系中，圆心在原点，圆的半径r。
取一微小的圆心角dθ，对应的弧长rdθ，由于rdθ极短，可以看成直线，则这个微小的扇形可以看成是一直角三角形，面积ds=(1/2)*r*r*dθ。
对ds积分就得到圆面积：S=∫ds=(1/2)∫(r^2)dθ（积分下限为0，上限为2π），
所以S=πr^2
证明方法5：微积分
一个圆可以看成是无数个同心圆环组成，设所求圆的半径为R，任取某一个内径为r，外径为r+dr的同心圆环，由于dr很小，可以认为将圆环沿径向剪开后，展开得到的是一个长为2πr，宽为dr的矩形（近似的),易知其面积为2πrdr。
设面积微元
dA=2πrdr。
A=∫2πrdr（积分下限是0，积分上限是R)=πR^2
证明方法6：见下图。