高三数学一轮复习必备系列精品(2021)

高三数学一轮复习必备系列精品（2021）

第十二章圆锥曲线与方程

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，

并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a 、b 、c 、e 、p 五个参数的求解． ②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

第1课时 椭圆

1．椭圆的两种定义

(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．

(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数

e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点

F 是椭圆的 ，定直线l

是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程

(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12

22

2=+

b y a x ，其中( > >0，

且=2a )

(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12

22

2=+

b

x a

y ，其中a ，b 满

足： ．

3．椭圆的几何性质(对

12

22

2=+

b y a x ,a > b >0进行讨论)

(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤

(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．

(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．

(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；

e 越接近

0，椭圆越接近于 ．

(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则

=1PF ，1

22PF a PF -== ．

(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a

(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c)2

(3) 面积：21F PF S ∆＝2

1r 1r 2 sin θ＝2

1·2c| y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，

|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25

,23(-；

（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A （-3）

解：

19252

2=+y x （2）16

102

2=+x y

（3）2222

1,128364

843

x y x y +

=+= 变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆

120

242

2=+y x 共准线，且离心率为

21．

(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5

34和5

3

2

，

过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 解：(1) 设椭圆方程

)0,0(12

22

2>>=+

b a b y a x ，则其准线为12±=x ．

∴

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

=+==2

222

2112c b a a c c a 解得⎪⎩⎪⎨

⎧==3

36b a

∴所求椭圆方程为

127

362

2=+y x ． (2) 52221=+=PF PF a ，5=∴a ．

由53

2

2

=

a

b

，得3102=

b ．

∴所求椭圆方程为

110352

2=+y x 或110

3522=+x y ． 例2. 已知点P(3, 4)是椭圆2

22

2b y a x +＝1 (a>b>0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若

PF 1⊥PF 2，求： (1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．

解：（1）法一：令F 1(－C ，0)，F 2(C ，0) ∵ PF 1⊥PF 2，∴ 21PF PF k k ⋅＝－1 即

134

34-=-⋅+c

c ，解得c ＝5

∴ 椭圆的方程为

125

22

22=-+a y a x ∵ 点P （3，4）在椭圆上，∴

125

922=-+a b a 解得a 2＝45或a 2＝5 又a ＞c ，∴ a 2＝5舍去. 故所求椭圆的方程为

120

452

2=+y x .