第二类换元法解析
D4_2换元法
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证
不定积分的第二类换元积分法
回 代
ln
x2 a2 x
a
a
C1
ln |xx2a2| C 1-ln a
ln|x x2a2|C
❖（2）根式代换(去根式)
例4
求
1 dx x(13 x)
解 令 xt6 (t 0),dx6t5dt
1 dx x(13 x)
6t5 dt t 3 (1 t 2 )
6t 2 1 t2
dt
6
t2 1-1 1t2 dt
2 x2-a2 atant.
d xasettcatn dt
ysexc
例1 求 a2-x2dx (a0)
解 令 xasitn dxaco tdtst - ,
2 2
a2 -x2dx a2-a2sin 2tacotsdt
a2co2stdt
a2
1co2stdt 2
辅助三角形
a2 1
(t sin2t)C
1 dx x4 1
t-3
t1-41-t12dt
- t3 dt -1 1 dt(41)
1 t 4
4 1t4
-1 1t4 C 2
x4 1 2x2
C.
13
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铃
（2）求
dx 4x2 9
解
dx
4x2 9
dx
(2x)2 32
1 d(2x) 2 (2x)2 32
1ln2x 4x29C 2
不定积分的第二类换元积分法
1
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一、第二类换元法根本定理
❖定理2
设xj(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
第二类换元积分法三角代换
第二类换元积分法三角代换积分是高等数学中一个非常重要的概念，也是数学中的一门重要的分支。
在积分的学习中，我们常常需要运用到换元积分法，而换元积分法又分为第一类和第二类。
在本文中，我们将主要讨论第二类换元积分法中的三角代换。
一、第二类换元积分法第二类换元积分法是指在进行积分计算时，通过对被积函数中的某个量进行代换，从而将原函数化为一个更容易积分的形式。
这种方法的本质是代数上的变量代换，可以将变量从原来的自变量x 换成一个新的自变量t，使得原来的积分式变为一个更容易求解的形式。
二、三角代换三角代换是第二类换元积分法中的一种常用方法，它通过将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，从而实现对积分式的简化。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三、三角代换的基本思想三角代换的基本思想是将被积函数中的某些项表示为三角函数的形式，然后通过代换将其化简为更容易求解的形式。
具体的方法如下：1、当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦或余弦代换，即将被积函数中的二次项表示为三角函数的平方。
2、当被积函数中包含平方根时，可以采用正切代换，即将被积函数中的平方根表示为三角函数的比值。
3、当被积函数中包含其他三角函数时，可以采用三角恒等式进行化简，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
四、三角代换的具体方法1、正弦代换当被积函数中包含二次项时，可以采用正弦代换，即将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为正弦函数的平方，即令x=asin t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式sin^2t=1/2(1-cos2t)将正弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
2、余弦代换余弦代换与正弦代换类似，也是将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方。
具体的方法如下：将被积函数中的二次项表示为余弦函数的平方，即令x=acos t，其中a>0。
这时，可以通过三角恒等式cos^2t=1/2(1+cos2t)将余弦函数的平方表示为余弦函数的形式，从而将被积函数化为更容易求解的形式。
第二类换元法
令u =
ex
−1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
∫ = 2x ex −1− 4
u22+u12 − 1+ u2
1
d
u
− 4(u − arctan u) + C
= 2x ex −1 − 4 ex −1 + 4arctan ex −1 + C
方法2 (先换元,再分部)
令 u=
ex
−1,
则
x
=
ln(1 +
u2),
积分得: uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx 分部积分公式
或 ∫uv′dx =∫udv = uv − ∫ vdu
选取 u 及 v′(或dv) 的原则: 1) v’ 容易积，u求导简单 ;
2) ∫ u′v dx 比 ∫ u v′ dx 容易计算 .
2
2
∫ 2. 求 I =
dx . 4x2 + 9
解:
I
=
1 2
∫
d (2x) = 1 ln 2x + (2x)2 + 32 2
4x2 + 9 + C
∫ 3. ∫ x2
1 dx x3 +1
=1 3
1 d (x3 +1) x3 +1
= 2 x3 +1+ C 3
∫ 4.
∫
2x + 3 dx 1+ 2x+ a2 = a2 tan2 t + a2 = a sect
dx = a sec2 t d t
第二类换元法
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
x4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
R(x , n ax b , m ax b) dx ,
令 t p ax b , p为m, n的最小公倍数 .
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例11. 求
1
dx 3x
2
.
解: 令 u 3 x 2 , 则
原式
3u 1
2
u
du
3
(u2 1) 1 u
1 du
则得第二类换元积分法 .
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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
F(x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
t
1
12
t
1
1 t2
dx
t3 1
dt t2
1 2
t 2 dt 2 1 t2
u t2
1 2
u 1
u
du
2 第二节 第二类换元法
x 例 求 dx （三角代换很繁琐） 2 1 x 2 2 2 解 令 t 1 x x t 1, xdx tdt , 5 2 2 x t 1 4 2 dx t 2 t 1dt 1 x 2 t tdt 1 5 2 3 1 2 4 2 t t t C (8 4 x 3 x ) 1 x C . 5 3 15
第二类换元法
定理2 . 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式：
x (t )
1
其中 t ( x ) 是 x (t )的反函数。
根式代换 三角代换
倒代换
1
1 dx . x 1 e
1
dx
3
x2
.
dx 1 2x
1 1 x x x dx
2 2 2 2
d x a sec t tan t d t a sec t tan t ∴ 原式 d t sec t d t
ln sec t tan t C1
a tan t
ln x x a
2
x x a ln a a
2
2
C1
C
t
x a
2
2
2
(C C1 ln a )
t ln t 1 C
2 x ln( 1 2x ) C
4
例. 求
1
dx
3
x2
2
.
3 u x 2 ,则 解: 令
3 u ( u 1) 1 原式 du 3 du 1 u 1 u
2
1 3 ( u 1 )du 1 u 1 2 3 u u ln 1 u C 2
不定积分的第二类换元法
不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。
它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。
通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。
第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。
通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。
比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。
2.其次，根据选择的新变量进行变换。
这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。
变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。
但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。
3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。
这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。
4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。
这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。
在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。
需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。
对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。
举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。
这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。
进行变换后，积分式变为∫√u du。
根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。
再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。
通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。
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例1. 求 1 dx 1 x
解 令 x u， x u2 (u 0) dx 2udu
1
1
x
dx
2u du 1 u
2
(u 1) 1 u
1du
2[
(1
1
1
)du] u
2(u
ln
1
u
)
C
回代 2( x ln 1 x ) C
2. 当被积函数含有两种或两种以上根式 k x,, l x
第二类换元法
第二类换元法
思考：求
1 dx
1 x
该不定积分不能直接积分，也不属于常见的凑 微分法的类型。
该积分矛盾在于被积函数含有根式，为了去掉根 号，我们可以做变量代换，令
xt
第二类换元法
思考：求
1 dx
1 x
解 令 x t 则 x t 2 dx 2tdt
所以
1 dx 1 x
2t dt 1 t
2去根(1号 t) 1dt 1 t
2 (1 1 )dt 2(t ln 1 t ) C 1 t
上述用的变量代换求积分的方法就是变量置换法。
变量置换法也称为第二换元法
第二类换元法
第一类换元法
恒等变形（凑）
g( x)dx
f [ ( x)]d ( x)
代换u ( x)
f (u)du
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下： 当被积函数中含有
(1)
a2 x2
可令 x a sin u , u ( , ) 22
(2)
a2 x2
可令
x
a tanu
,
u (
,
)
22
(3)
x2 a2
可令 x a sec u ,
u
(0,
)
2
4. 当分母的阶较高时，可采用倒代法，令x 1.
t
例4
可采用令 x u（n 其中 n为各根指数的最小公倍数）
例2 求
1 dx.
x 3 x2
解 令 x u6 dx 6u5du,
1 dx
x 3 x2
1
u3 u4
6u5du
u2
6
1
du u
6
u2 1 1 u
1du
6
u
1
1
1
u
du
6(1 u2 u ln | 1 u |) C
2
回代
33 x 6 6 x 6ln | 1 6 x | C
3. 被积函数含有根式 a2 x2或 x2 a2
例3 求 a2 x2dx (a 0)
解 令 x a sin u，u ( , ) ,
22
ax
u
a2 x2
dx a cosudu
a2 x2 a cos u
则 a2 x2dx a cos u a cosudu a2 cos2 udu
F (u) C 回代u ( x)
F[ ( x)] C.
“先凑后换，不如不换” 一步到位
但有的问题还得先换.
f ( x)dx 令x (u) f [ (u)] (u)du F (u) C
回代u
1
(
x)
F
[
1
(
x
)]
C
第二类换元法
使用第二类换元法的关键是合理地选择变量代换：
1. 被积函数含有根式 n ax b.
a2
a2
1
2
(1 cos 2u)du
(u sin 2u) C 22
sin u x , cos u a2 x2
aasin 2u 来自sin ucos u2 a2
x
a2 x2
a2 x2dx a2 arcsin x 1 x
2
a2
a2 x2 C
说明：以上三个例子所使用的均为三角代换.
求
x(
x
1 7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
t 17
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
14
14
2
作业 P207习题4-2
2(36)(38)(42)