不等式的证明1
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1）目标：(,0)2a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。
过程：一、问题情境把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a 。
如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的实际质量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。
那么如何合理的表示物体的质量呢？把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2a b A +=表示物体的质量。
这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b ==，有2,M ab M ==,0a b >时，2a b +叫,a b,a b 的几何平均数 2a b +二、建构一般，判断两数的大小可采用“比较法”：02a b+-=≥ 2a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a=或0b =时，以上不等式仍成立。
从而有 2a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式”）当且仅当a b =时取等号。
2a b +≤的几何解释： 如图,,2a b OC CD OC CD +≥==三、运用例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a ba +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2ab a b ab +⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭例2 证明：22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用1(2)1(1)1x x x +≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 22≥ 22>例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b+≥+四、小结五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3。
不等式的四个公式证明
不等式的四个公式证明不等式在数学中可是个很重要的家伙，咱们今天就来好好唠唠不等式的四个公式证明。
先来说说什么是不等式。
想象一下，你有一堆糖果，小明也有一堆糖果，你俩谁的糖果多呢？这比较的过程其实就是在研究不等式。
咱先瞅瞅第一个公式，叫加法法则。
简单说，如果 a > b，那么 a +c > b + c。
这就好比你本来就比小明的零花钱多，然后你俩都得到了同样多的额外零花钱，那你还是比他多嘛。
比如说，你有 10 块钱，小明有 5 块钱，老师又给了你俩每人 3 块，那你就有 13 块，小明 8 块，你还是比他多。
再讲讲乘法法则。
当 a > b 且 c > 0 时，ac > bc。
这个也好理解，就像你跑步速度比小明快，然后在同样的时间里跑，时间越长，你跑的距离就比小明跑的更远。
比如你一分钟能跑 200 米，小明一分钟跑 150 米，要是跑 5 分钟，你能跑 1000 米，小明 750 米，差距就更大啦。
还有个除法法则。
当 a > b 且 c > 0 时，a/c > b/c。
这就好比分苹果，本来你的苹果比小明多，然后平均分给同样多的人，你分给每个人的苹果还是比小明多。
最后说一下传递性。
如果 a > b 且 b > c，那么 a > c。
这就像接力赛，你跑在前面，小明在中间，小李在后面，那你肯定也在小李前面。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。
我刚讲完加法法则，让大家做几道练习题巩固一下。
结果这小家伙举着手说：“老师，我懂啦，这就像我吃的巧克力比同桌多，我俩又都吃了同样多的棒棒糖，那我还是巧克力多。
”当时全班都笑了，不过通过这个例子，大家对加法法则的理解更深刻了。
总之，不等式的这四个公式在数学里用处可大啦，咱们解题的时候经常能用到。
大家可得把它们牢牢掌握，这样在数学的海洋里就能游得更顺畅啦！。
苏教版 高中数学必修第一册 基本不等式的证明 课件1
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
高中不等式证明例题(一题多解)
多种方法证明高中不等式例1证明不等式n n2131211<++++(n ∈N *)证法一：(1)当n 等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立； (2)假设n =k (k ≥1)时，不等式成立，即1+k13121+++ ＜2k ，,1211)1(11)1(21121131211+=++++<+++=++<+++++k k k k k k k k k k 则∴当n =k +1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n ∈N *时，都有1+n13121+++ ＜2n .另从k 到k +1时的证明还有下列证法：,1111212212:.12112,01),1(21)1(2,0)1()1()1(2)1(21)1(22+=+++>++=-++<++∴>++<++∴>+-=+++-=+--+k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k 又如.12112+<++∴k k k证法二：对任意k ∈N *，都有：.2)1(2)23(2)12(22131211),1(21221n n n n k k k k k k k =--++-+-+<++++--=-+<+=因此证法三：设f (n )=),131211(2nn ++++-那么对任意k ∈N*都有：1)1(])1(2)1[(11]1)1(2)1(2[1111)1(2)()1(2>+-+=++-+⋅+=-+-++=+--+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k f∴f (k +1)＞f (k )因此，对任意n ∈N * 都有f (n )＞f (n －1)＞…＞f (1)=1＞0， ∴.2131211n n <++++例2求使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值. 解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )，①∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，②当且仅当x =y 时，②中有等号成立. 比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2. 解法二：设yx xyy x xy y x y x y x yx yx u ++=+++=++=++=212)(2. ∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)， ∴y x xy +2≤1，yx xy+2的最大值是1. 从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为yx+1≤a 1+yx， 设y x =tan θ，θ∈(0，2π). ∴tan θ+1≤a 1tan 2+θ；即tan θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)，③又∵sin(θ+4π)的最大值为1(此时θ=4π). 由③式可知a 的最小值为2.例3 已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1.求证：(a +a 1)(b +b 1)≥425证法一：(分析综合法）欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤41或ab ≥8.∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立 ∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤41，从而得证. 证法二：(均值代换法) 设a =21+t 1，b =21+t 2.∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜21，|t 2|＜21.4254116254123162541)45(41)141)(141()21)(21()141)(141(211)21(211)21(11)1)(1(2242222222222222222112122221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =21时，等号成立.证法三：(比较法）∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41425)1)(1(04)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤41.4251)1(41 16251)1(169)1(434111222≥+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-⇒≥-⇒=-≥-∴ab ab ab ab ab ab 425)1)(1(≥++b b a a 即 证法五：(三角代换法）∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =cos 2α，α∈(0，2π) .425)1)(1(4252sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2222222222222442222≥++≥-⇒⎪⎭⎪⎬⎫≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααααααααααααα例4.已知a ，b ，c 为正实数，a +b +c =1. 求证：(1)a 2+b 2+c 2≥31(2)232323+++++c b a ≤6证明：(1)证法一：a 2+b 2+c 2－31=31(3a 2+3b 2+3c 2－1)=31［3a 2+3b 2+3c 2－(a +b +c )2］=31［3a 2+3b 2+3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ］=31［(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2］≥0 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法二：∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2 ∴3(a 2+b 2+c 2)≥(a +b +c )2=1 ∴a 2+b 2+c 2≥31证法三：∵33222c b a c b a ++≥++∴a 2+b 2+c 2≥3cb a ++ ∴a 2+b 2+c 2≥31证法四：设a =31+α，b =31+β，c =31+γ. ∵a +b +c =1，∴α+β+γ=0∴a 2+b 2+c 2=(31+α)2+(31+β)2+(31+γ)2=31+32 (α+β+γ)+α2+β2+γ2=31+α2+β2+γ2≥31 ∴a 2+b 2+c 2≥31629)(323232323323,23323,21231)23(23:)2(=+++<+++++∴+<++<+++<⨯+=+c b a c b a c c b b a a a 同理证法一 ∴原不等式成立. 证法二：3)23()23()23(3232323+++++≤+++++c b a c b a336)(3=+++=c b a∴232323+++++c b a ≤33＜6 ∴原不等式成立.例5.已知x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，证明：x ，y ，z ∈［0，32］证法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1－x －y )2=21，整理成关于y 的一元二次方程得：2y 2－2(1－x )y +2x 2－2x +21=0，∵y ∈R ，故Δ≥0∴4(1－x )2－4×2(2x 2－2x +21)≥0，得0≤x ≤32，∴x ∈［0，32］ 同理可得y ，z ∈［0，32］证法二：设x =31+x ′，y =31+y ′，z =31+z ′，则x ′+y ′+z ′=0， 于是21=(31+x ′)2+(31+y ′)2+(31+z ′)2 =31+x ′2+y ′2+z ′2+32 (x ′+y ′+z ′)=31+x ′2+y ′2+z ′2≥31+x ′2+2)(2z y '+'=31+23x ′2故x ′2≤91，x ′∈［－31，31］，x ∈［0，32］，同理y ，z ∈［0，32］证法三：设x 、y 、z 三数中若有负数，不妨设x ＜0，则x 2＞0，21=x 2+y 2+z 2≥x 2+21232)1(2)(2222+-=+-=+x x x x z y ＞21，矛盾.x 、y 、z 三数中若有最大者大于32，不妨设x ＞32，则21=x 2+y 2+z 2≥x 2+2)(2z y +=x 2+2)1(2x -=23x 2－x +21=23x (x －32)+21＞21；矛盾. 故x 、y 、z ∈［0，32］例6 .证明下列不等式：(1)若x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R +，则cb a y b ac x a c b +++++22z 2≥2(xy +yz +zx ) (2)若x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =xyz ， 则zyx y x z x z y +++++≥2(z y x 111++))()()()()()(222)(4)(2))(()(2)]()()([)(2)(:)2()(20)()()()2()2()2()(22:)1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222≥-+-+-+-+-+-⇔++≥+++++⇔+++++≥+++++++⇔++≥+++++⋅⇔++≥+++++++≥+++++∴≥-+-+-=-++-++-+=++-+++++y x z x z y z y x y x xy x z zx z y yz xyz z xy yz x xy y x zx x z yz z y xyz z xy yz x x z z y y x xy y x zx x z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy z yx y x z x z y z y x zx yz xy z c b a y b a c x a c b x a c z c a z c b y b c y b a x a b zx x a cz c a yz z c b y b c xy y b a x a b zx yz xy z cb a y b ac x c b 所证不等式等介于证明证明∵上式显然成立，∴原不等式得证.例7.已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . (1)证明：n i A i m ＜m i A i n ； (2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m7.证明：(1)对于1＜i ≤m ，且A i m =m ·…·(m －i +1)，n i n n n n n nm i m m m m m m i i m i i m 11A ,11A +-⋅⋅-⋅=+-⋅⋅-⋅= 同理， 由于m ＜n ，对于整数k =1，2，…，i －1，有mkm n k n ->-， 所以i m i i n i i i mi i n n m mn A A ,A A >>即(2)由二项式定理有：(1+m )n =1+C 1n m +C 2n m 2+…+C nn m n ，(1+n )m =1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，由(1)知m iA in＞n iA i m (1＜i ≤m )，而C i m=!A C ,!A i i i ni n i m =∴m i C i n ＞n i C i m (1＜m ＜n )∴m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n ＞n 2C 2m ，…， m m C m n ＞n m C m m ，m m +1C 1+m n ＞0，…，m n C n n ＞0， ∴1+C 1n m +C 2n m 2+…+C n n m n ＞1+C 1m n +C 2m n 2+…+C m m n m ，即(1+m )n ＞(1+n )m 成立.例8.若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1. 证法一：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以 (a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0. 即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2， 所以ab ≤1.证法二：设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=ab n ba m ，因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0 ① 因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n )所以n =mm 3232-② 将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0， 即mm 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2，由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ， 即n ≤1，所以ab ≤1.证法三：因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3=(a +b )3，所以a +b ≤2，(下略）证法四：因为333)2(2b a b a +-+8))((38]2444)[(22222b a b a ab b a ab b a b a -+=----++=≥0， 所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a +因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +，∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略）证法五：假设a +b ＞2，则a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞(a +b )ab ＞2ab ，所以ab ＜1， 又a 3+b 3=(a +b )［a 2－ab +b 2］=(a +b )［(a +b )2－3ab ］＞2(22－3ab )因为a 3+b 3=2，所以2＞2(4－3ab )，因此ab ＞1，前后矛盾，故a +b ≤2(以下略)。
7.导数应用之不等式证明(1)
1.证明:对任意的 n N ,都有 ln(
1 1 1 1) 2 3 . n n n
n m
2.已知 m, n N ,且 1 m n ,求证: (1 m) (1 n) . 3.设函数 f ( x)
1 a ln( x 1), （ 1 x) n
* *
1
a1 1 , an1 f (an ) (n N ) .
1
an 1 ；
(3)求证:对任意的 n N ,都有 an 2 an 2an1 . 7.记函数 f n ( x) 1
x x2 xn (n N ) ,求证:当 n 为偶数时,方程 f n ( x) 0 没有实数根；当 n 1! 2! n!
x
(1)求函数 f ( x) 的单调区间； (2)当 m n 0 时,求证: e 5.设函数 f ( x)
m n
1 ln(m 1) ln(n 1) .
x ,且 f1 ( x) f ' ( x) , f n1 ( x) f n ' ( x) (n N ) . ex
(1)求 f1 ( x) , f 2 ( x) , f 3 ( x) , f n ( x) 的解析式； (2)求证:对任意的实数 a, b ,以及任意的正整数 n ,都有 f 2 n (a) f 2 n1 (b) f (n) . 6.设函数 f ( x) mx x ln x 在 x 1 处取得极值,数列 {an } 满足 e (1)求函数 f ( x) 的单调区间； (2)求证:对任意的 n N ,都有 e
为奇数时,方程 f n ( x) 0 有唯一实数根 xn ,且 xn 2 xn . 8.设函数 f n ( x ) 1
第08课时不等式证明(1)
① ，②(a+b)2>(b+1)2,③(a-1)2>(b-1)2[ ]
A.1个B.2个C.3个D.0个
7.若0<a< ,则(1-a)2a2；若c>a>b>0，则 .
8.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两根x1,x2满足：
0＜x1＜x2＜ ,当x∈(0, x1)时，证明：x<f(x)<x1.
则x,y,的大小关系是[ ]
A.x>y>zB.x>z>yC.z>y>x D.y>z>x
5.在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1=b1>0，a3=b3>0，a1≠a3,
则a5与b5的大小关系为[ ]
A.a5>b5B.a5=b5C.a5<b5D.不确定
6.若a,b,x∈R，且a>b，则在下面三个不等式中，不成立的个数
第08课时§6.3不等式证明（1）
学习目标：①熟悉用比较法证明不等式的理论依据；
②掌握用比较法证明不等式的一般步骤.
重点难点：变形是作差证明不等式的难点
知识要点：
①比较实数a与b的大小关系的方法是：
a-b>0 a>b a-b=0 a=b a-b<0 a<b
②用比较法证明不等式的依据，变形是判断符号的手段，判断符号才是目的.
③常见的变形方法：
1.对于多项式常用配方法化为一个常数与一个或几个数的平方和的形式；
2.对于分式的差通常通分为一个分式，转化为判断分子与分母是否同号或异号；
不等式的证明(一)
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
b
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0 b
故
a
ab
1，当且仅当a
b时, 等号成立
b
所以，原不等式成立
作业：
1.课本P： 75 B组 Ex1①② 2.(2010年湖北)设 a＞0，b＞0,称a2abb 为a，b的调和平均数
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法1：如图，易得
y=x y = tanx
y = sinx
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得
S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO
而 S⊿APO= AO • PM sin x
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
基本不等式的证明(1)
1 1 x x 1 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 3， x 1
1 当且仅当x 1 ，即x 2时，取“ ”， x 1
因此，当x=2时，函数有最小值3.
2.已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3. a b c bc a c a b a b c b c c a a b 证明: 3 a b c a a b b c c
8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科
技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中 国家举办的规模最大的数学会议.
有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
a b
2
证法3：综合法
对于正数a, b有
a b
2
0，
a b 2 ab 0，
a b 2 ab，
ab ab， 2
当且仅当a b时，取“ ” .
ab 如果a, b是正数，那么 ab (当且仅当a b时取“” ) 2
ab a 0, b 0称为基本不等式. 我们把不等式 ab 2
1 2
1 2
2
a
2
b
2 a b
a b
2
0，
当且仅当 a b，即a b时，取“ ” .
证法2：分析法
ab 要证 ab ， 2
只要证2 ab a b，
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不等式的证明(一)
【知识点精讲】
1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。
比较法的两种形式： ①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b 且b>0，只须证 >b
a 0。
说明：①作差比较法证明不等式时， 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。
证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。
基本不等式：(1)若,0,0>>b a 则b
a a
b b a b a 1122222+≥≥+≥+ 当且仅当a=b 时取等号。
(2)时取等号当且仅当b a ab b a R b a =≥+∈2,
,22 (3)a,b 同号, 时取等号当且仅当b a a b b a =≥+1
3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程
4. 重点难点: 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。
5. 思维方式: 掌握证明不等式的常用方法，对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。
6. 特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
【例题选讲】
例1、已知a,b ∈R,求证: a 2+b 2+1>ab+a
证明：
p=
a 2+
b 2+1-ab-a=]1)12()2[(212222+++-++-b a a b ab a =]1)1()[(212
22++-+-b a b a 显然p>0
∴得证
[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”. 通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断
例2、 设,0,0>>b a 求证.)()(2121212212
b a a
b b a +≥+ 【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。
【证法一】左边-右边=)()()(3
3b a ab b a +-+ =ab
b a ab b ab a b a )
())((+-+-+ = ab b ab a b a )
2)((+-+ =0))((2
≥-+ab b a b a ∴原不等式成立。
【证法二】左边>0，右边>0。
=右边左边12)()())((=-≥+-=++-+ab
ab ab ab b ab a b a ab b ab a b a ∴原不等式成立。
[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。
变形的主要手段是通分、因式分解或配方。
在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。
例3、已知a,b,x,y 11,x y R x y a b x a y b
+∈>>>++且求证 [思维点拔] 观察特征,用比较法或分析法
例4、设x>0,y>0且x ≠y,求证()()21223133y x
y x +<+ 证明：由x>0,y>0且x ≠y,要证明()()21223133y x y
x +<+ 只需()()3222
33y x y x +<+ 即()22223332y x y x y x +< 只需222y x xy +<
由条件,显然成立.∴原不等式成立
[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式
练习: .若a 、b 、c 是不全相等的正数， 求证：c b a c a b c b a lg lg lg 2
lg 2lg 2lg ++>+++++ 【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。
【证法一】（综合法）：+∈R c b a ,, ，02>≥+∴ab b a ，02
>≥+cb b c ，02
>≥+ac c a 又∵a 、b 、c 是不全相等的正数，∴有
abc c a b c b a >+⋅+⋅+2
22。
∴abc c a b c b a lg )222lg(>+⋅+⋅+ 即c b a c a b c b a lg lg lg 2
lg 2lg 2lg ++>+++++ 【证法二】 （分析法）要证c b a c a b c b a lg lg lg 2
lg 2lg 2lg ++>+++++ 即证abc c a b c b a lg )222lg(>+⋅+⋅+成立。
只需证abc c a b c b a >+⋅+⋅+2
22成立。
∵02>≥+ab b a ，02>≥+cb b c ，02
>≥+ac c a 。
∴0222>≥+⋅+⋅+abc c a b c b a （*） 又∵a 、b 、c 是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。
∴原不等式成立。
例5.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t 每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支出运费900元
(1).求该厂多少天购买一次面粉.才能使平均每天所支付的总费用最小;
(2)若提供面粉的公司规定:当一次性购买面粉不少于210t 时,其价格可优惠9折,问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.
[点评]
【课堂小结】
不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法
比较法：①比差法：要证a>b ，只须证a-b>0。
②比商法：要证a>b 且b>0，只须证 >b
a 0 综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件
分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程。