经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ）⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ）2、基本不等式定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。

定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么当且仅当a=b 时，等号成立。

即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

结论：已知x, y 都是正数。

（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。

3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离：a b b a<⇔>ca cb b a >⇒>>,Rc b a ∈>,0>c 0<c 0>>d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2a b+≥214s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当且仅当时，等号成立。

即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

2122,,,,n nn a a a a a na a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。

任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间的距离。

定理1 如果a, b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab ≥0时，等号成立。

（绝对值三角不等式）如果a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|定理2 如果a, b, c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。

2、绝对值不等式的解法（1）|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c 和|t|≥c 型不等式，然后再求x ，得原不等式的解集。

②分段讨论法：① 用绝对值不等式的几何意义 ② 零点分区间法 ③ 构造函数法00||(0)()a x b a x b a x b c c a x b c a x b c+≥+<⎧⎧+≤>⇔⎨⎨+≤-+≤⎩⎩或00||(0)()a x b a x b a x b c c a x b c a x b c +≥+<⎧⎧+≥>⇔⎨⎨+≥-+≥⎩⎩或型不等式的解法和）（c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-2典型例题例1 解不等式例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

例3 解不等式|x2-3|x|-3|<1。

例4 求使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范围。

例5不等式证明的基本方法知识点一：比较法比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。

1、作差比较法常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.理论依据：①；②；③。

一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.第四步：得出结论。

注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。

2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.理论依据：若、，则有①；②；③.基本步骤:第一步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。

如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。

注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。

知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。

知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。

思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。

适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。

注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。

在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。

理论依据：不等式的传递性：a>b,b>c a>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。

规律方法指导1、不等式证明的常用方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。

2、反证法的证明步骤：①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；④肯定结论：原命题正确。

3、放缩法的常用技巧：①在恒等式中舍掉或者加进一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；例如：③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)<f(x)<f(x+1)④应用基本不等式进行放缩。

例如：若，则有；若，则有。

这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式：（1）；（2）(a，b均为正数，且a≠b)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：（1）当且仅当a=b=c时等号成立，（当且仅当a=b=c取等号）.（2）∵a>0, b>0, a≠b,∴a+b>0, (a-b)2>0,∴，∴.总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+2≥2(a+b)(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)(3)a2+b2≥ab+a+b-1【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：（1）(a，b均为正实数，且a≠b)（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）证明：（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴，∴∴（2）证明：不妨设a>b>c，则∴所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1 结论。

举一反三：【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b<ab【变式2】已知a，b均为正实数，求证：a a b b≥a b b a类型二：综合法证明不等式3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证明：法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：【变式1】a , b, m∈R+，且a<b，求证：.4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,∴,∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x, y,z∈R+, 求证：类型三：分析法证明不等式5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2<c2-ab，即证a2+ab<2ac，∵a>0，只需证a+b<2c∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3．基本思路：执果索因4. 格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

举一反三：【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)【变式2】a , b, m∈R+，且a<b，求证：.【变式3】求证：【变式4】设x>0，y>0，x≠y，求证：类型四：反证法证明不等式6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。