拱桥的计算

j
（9-3-18）
M
1/ 4
自拱顶至拱跨1/4点的恒载对l/4截面的力 矩。
求得
y1/ 4 f
后，即可求得m值：
1 f m ( 2) 2 1 2 y1/ 4
y1/ 4 1 f 2(m 1) 2
（9-3-19）
空腹式拱桥的m值，仍按逐次渐近法确定。即先假定一个m
值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑，然后计算拱圈和拱上建 筑的结构自重对l／4和拱脚截面的力矩 M1/ 4 和 M j ，根据 式
3、抛物线（三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴线为抛物线） 在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。
对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢
筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥）， 往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：
y1
4f 2 x 2 l
1）拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为： 弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
实腹式悬链线拱轴计算图示
对拱脚截面取矩， 有:
Hg
M f
（9-3-1）
M
半拱恒载对拱脚的弯矩。
Mx y1 Hg
对任意截面取矩，有：
(9-3-2）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； Mx任意截面以右的全部恒载对该截面的
弯矩值。 对式（9-3-2）两边对x取两次导数，可得： 恒载集度 d2y 1 d 2M g
dx
1 2

Hg

dx2

x
Hg
（9-3-3）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程， 需首先知道恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的 恒载可以用下式表示： g x gd y1 （9-3-4）
g d 拱顶处恒载集度；
拱上材料的容重。 由上式，取y1=f，可得拱脚 处恒载集度 gj 为：
a) 先假设m值
b) 查表得拱脚处的 cos j ； c)根据计算出的 cos j ，代入（9-3-14）
g j 1hd 2 h d cos j
计算出gj，连同（9-3-13） g d 1hd d 由 m 计算出m值。
gj gd
d)比较假设值m，如两者相符，即假定的m为真实值； 如两者相差较大,则以计算出的m作为假设值，重新计 算，直到两者相等。
g j gd f mgd
其中：
（9-3-5）
m
gj gd
称为拱轴系数。
（9-3-6）
(m 1) gd / f
（9-3-8）
y1 这样gx可变换为： g x g d y1 g d 1 (m 1) f
将上式代入式（9-3-3） 参数:
（1）实腹式拱m值的确定 gj m gd 拱顶恒载分布集度 gd
g d 1hd d （9-3-13）
拱脚恒载分布集度 gj
d g j 1hd 2 h cos j
（9-3-14）
d d h f 2 2 cos j （9-3-15）
由上计算m值的公式可以看出，除 j 为未知数外，其余均为已知； 在具体计算m值时可采用逐次逼近法，具体做法如下：
2
ds
dx l 1 d cos 2 cos
cos 1 1 tg 2 1 1 2 sh 2 k
其中： 则： 这样：
ds
l 1 2 sh 2 k d 2
查表
1 2 sh 2 k d 1 f
ys
y1ds
s
ds
s

2、悬链线 实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力 线是一条悬链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹 式拱桥的拱轴线。
2、悬链线
空腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如
下图），其恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函 数来表达。目前最普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴 线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一点和拱脚与压力线 重合。
y1/ 4 f
y1/ 4
随m的增大而减小（拱轴线抬高)，随m减小而增大（拱轴 线降低）。
（2）空腹式拱拱轴系数的确定 空腹式拱桥中，桥跨结构的 恒载由两部分组成，即主拱圈承 受由实腹段自重的分布力和空腹 部分通过腹孔墩传下的集中力 （如左图）。由于集中力的存在， 拱的压力线为在集中力作用点处 有转折的曲线。但实际设计拱桥 时，由于悬链线的受力情况较好， 故多用悬链线作为拱轴线。 为了使悬链线与其恒载压力 线重和，一般采用“五点重和法” 确定悬链线的m值。即要求拱轴线 在全拱（拱顶、两1/4l点和两拱 脚）与其三铰拱的压力线重和。 其相应的拱轴系数确定如下
chk m
通常m为已知，则可以用下式计算k值：
k ch1m ln(m m2 1)
反双曲余弦函数对数表示
（9-3-12）
当m=1时 gx=gd，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二 次抛物线，其方程变为：
y1 f
2
拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重 1y,1 , 2f (chk 1) 由悬链线方程 可以看出，当拱的跨度和 m 1 拱顶填料厚度 h d 失高确定后，拱轴线各点的坐标取确于拱轴系数m。可查表 d 拱圈厚度 得到。 j 拱脚处拱轴线的水平倾角 2、拱轴系数m值的确定
可以证明当
y1ds s EI ys 12 21＝0 时， ds s EI
设想沿拱轴线作宽度等于1/EI的图形，则ds/EI就代表此图的 微面积，而上式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为 弹性中心。 对于悬链线无铰拱 l 有： f x l1
y1 m 1 (chk 1)

9.3.2简单体系的计算 一、拱轴线的选择与确定 拱轴线的形状直接影响主截面的内力分布与大小，选
择拱轴线的原则，是要尽可能降低荷载产生的弯矩。最理
想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，使 拱圈截面只受压力，而无弯矩及剪力的作用，截面应力均 匀，能充分利用圬工材料的抗压性能。 我们把在巳知荷载作用下拱截面上只有轴向压力的拱
轴线称为合理拱轴线。
实际上由于活载、主拱圈弹性压缩以及温度、砼收缩 等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线。 一般以恒载压力线作为设计拱轴线。
1、圆弧线（三铰拱在径向均布荷载作用下的合理拱轴线为 圆弧线） 圆弧线拱，线形最简单，施工最方便，易为群众掌握。但 圆弧拱轴线一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不 够均匀。常用于15~20m以下的小跨径拱桥。
M1 1 M p H g y
s EI s I X 1 1 p ds M12 ds 11
s
M 1M p ds
Mp
ds
EI
M 2 M p ds

H g

y
s
s
I
I ds s I
ds
（9－3－20）
M2 y
X 2 2 p
22
1、不考虑弹性压缩的恒载内力 1）实腹拱 实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，恒载作用拱的 任意截面存在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以 下公式计算。 在进行悬链线方程推导时有：
2 l g k 2 1 d (m 1) Hg f
13 31 0 23 32 0
但副系数仍有 12 21 0 为了使 12 21＝0 ，可以按下图引用 “刚臂”的办法达到。
作用于弹性中心的三个多余未知力以单位力分别作用时 引起的内力为：
M 2 y, Q2 sin , N 2 cos M 3 x, Q3 cos , N 3 sin M 1 1, Q1 0, N1 0
y1/ 4 f
1/ 4 j
M 1 f y f m ( 2) 2 1 算出m值， 1 / 4 求出 ，然后利用式 M 2 y1/ 4
如与假定的m值不符，则应以求得的m值作为新假定值，重新计
Байду номын сангаас
算，直至两者接近为止。
（3）悬链线无铰拱的弹性中心 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰拱若从拱顶切开取 基本结构
拱顶处弯矩Md=0；剪力Qd=0。 对拱脚取矩，由 M A 0 有：
Hg M f
（9-3-17）
j
对l/4截面取矩，由 MB 0 有：
Hg M
1/ 4
H g y1/ 4 M 1/ 4 0 y1/ 4
代上式到式（9-3-17），可得：
y1/ 4 f
M 1/ 4 M
则
d 2 y1 l12 g d 2 k y1 2 d Hg
（9-3-10）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力 线）方程为：
y1 f (chk 1) m 1
为悬链线方程。
（9-3-11）
双曲余弦函数
e k e k chk 2
(chk 1) 对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式（9-3-11） y1 m 1 得： f
拱轴线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：
1 1 当 2 时，y1 y1/ 4 ；代 2 到悬链线方程
y1
f (chk 1) m 1
半圆公式
y1/ 4 1 k (ch 1) f m 1 2 ch
chk m
k chk 1 m 1 2 2 2 m 1 1 1 2 m 1 2( m 1) 2
拱脚：M j X1 X 2 ( f ys ) 0
其中，ys弹性中心至拱顶的距离。
（5）拱轴系数初值的选定
m
gj gd
坦拱：m值选用较小 陡拱：m值选用较大
9.3.3拱桥内力计算 （一）、等截面悬链线拱桥恒载（自重）内力计算 不考虑弹性压缩 拱轴线与压力线相 符 弹性压缩 恒载内 拱轴线与压力线不相符产生次 力 内力 拱轴线与压力线不 不考虑弹性压缩 相符 弹性压缩
d 2 y1 1 d 2M gx 2 2 dx H g dx Hg
，并引
x l1
可得：
则：dx l1d
d 2 y1 l12 gd y1 1 ( m 1) d 2 Hg f l12 g d k (m 1) Hg f
2
令
（9-3-9）
yy s EI s I ds Hg M 22 ds y 2 ds s EI s I
（9－3－21）
任意截面的弯矩为：
M X1 X 2 y M p
注：其中：y以弹性中心为原点（向上为正）的 拱轴坐标。
拱顶、拱脚处：Mp=0
拱顶：M d X1 X 2 ys 0
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 p 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 p 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
赘余力X1（弯矩），X2 （轴力）为对称，而X3 （剪力）是反对称的，故 有副系数
拱桥的计算
9.3.1概述
联合作用与横向分布： 活载作用于桥跨结构时，拱上建筑参与主拱圈共同承受活 载的作用，称为“拱上建筑与主拱的联合作用”或简称“联 合作用”。 在横桥方向，活载引起桥梁横断面上不均匀应力分布的出 现，称为“活载的横向分布”。 联合作用：偏于安全可不考虑。 横向分布：板、双曲、箱可不考虑，刚架拱、桁架拱要考 虑。 拱桥计算包括成桥状态受力分析和强度、刚度、稳定验 算以及必要的动力分析，施工阶段结构受力分析和验算。
f 0 m 1
1
(chk 1) 1 2 sh 2 k d

1
0
（4）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏 离弯矩值Mp可以按下式计算：
M p H g y
其中：y为三铰拱压力线在 该截面的偏离值 对于无铰拱，由于其是超静定 结构，偏离弯矩将引起次内力， 其计算过程如下： 取C图所示的基本结构，赘余力 X1，X2作用在弹性中心，则有：